Leçon 106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

(2023) 106

Dernier rapport du Jury :

(2023 : 106 - Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.) Les premières définitions et propriétés générales du groupe linéaire doivent être présentées : familles de générateurs, les liens avec le pivot de Gauss sont à détailler. et sous-groupes remarquables. Il est important de savoir faire correspondre certains sous-groupes du groupe linéaire avec les stabilisateurs de certaines actions naturelles (sur des formes quadratiques, sur des drapeaux, sur une décomposition en somme directe, etc.). Il faut aussi savoir réaliser $\mathfrak{S}_n$ dans $GL(n,K)$ et faire le lien entre signature et déterminant. Il est souhaitable de dégager des propriétés particulières r selon le corps de base, en particulier d'étudier les propriétés topologiques de ce groupe lorsque le corps est $\mathbb{R}$ ou \mathbb{C}$. Pour aller plus loin, les candidates et candidats peuvent exploiter le fait que la théorie des représentations permet d'illustrer l'importance de $GL(n, \mathbb{C})$ et de son sous-groupe unitaire. Ils peuvent également étudier les sous-groupes compacts maximaux et les sous-groupes fermés de $GL(n)$.

(2022 : 106 - Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.) Cette leçon ne doit pas se résumer à un catalogue de résultats épars sur $GL(E)$. Il est important de savoir faire correspondre les sous-groupes du groupe linéaire avec les stabilisateurs de certaines actions naturelles (sur des formes quadratiques, sur des drapeaux, sur une décomposition en somme directe, etc.). On doit présenter des systèmes de générateurs de $GL(E)$ et étudier la topologie de ce groupe en précisant pourquoi le choix du corps de base est important. Les liens avec le pivot de Gauss sont à détailler. Il faut aussi savoir réaliser $\mathfrak{S}_n$ dans $GL(n,K)$ et faire le lien entre signature et déterminant. S'ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en remarquant que la théorie des représentations permet d'illustrer l'importance de $GL(n,C)$ et de son sous-groupe unitaire. Ils peuvent également étudier les sous-groupes compacts maximaux et les sous-groupes fermés de $GL(n)$.
(2020 : 106 - Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.) Cette leçon ne doit pas se résumer à un catalogue de résultats épars sur $GL(E)$. Il est important de savoir faire correspondre les sous-groupes du groupe linéaire avec les stabilisateurs de certaines actions naturelles (sur des formes quadratiques, sur des drapeaux, sur une décomposition en somme directe, etc.). On doit présenter des systèmes de générateurs de $GL(E)$ et étudier la topologie de ce groupe en expliquant l’importance du choix du corps de base. Les liens avec le pivot de Gauss sont à détailler. Il faut aussi savoir réaliser $\mathfrak{S}_n$ dans $GL(n,K)$ et faire le lien entre signature et déterminant. S’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en remarquant que la théorie des représentations permet d’illustrer l’importance de $GL(n,C)$ et de son sous-groupe unitaire. Ils peuvent également étudier les sous-groupes compacts maximaux et les sous-groupes fermés de $GL(n)$.
(2019 : 106 - Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.) Cette leçon ne doit pas se résumer à un catalogue de résultats épars sur $GL(E)$. Il est important de savoir faire correspondre les sous-groupes du groupe linéaire avec les stabilisateurs de certaines actions naturelles (sur des formes quadratiques, sur des drapeaux, sur une décomposition en somme directe, etc.). On doit présenter des systèmes de générateurs de $GL(E)$ et étudier la topologie de ce groupe en précisant pourquoi le choix du corps de base est important. Les liens avec le pivot de Gauss sont à détailler. Il faut aussi savoir réaliser $\mathfrak{S}_n$ dans $GL(n,K)$ et faire le lien entre signature et déterminant. S’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en remarquant que la théorie des représentations permet d’illustrer l’importance de $GL(n,C)$ et de son sous-groupe unitaire. Ils peuvent également étudier les sous-groupes compacts maximaux et les sous-groupes fermés de $GL(n)$.
(2017 : 106 - Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie $E$, sous-groupes de $GL(E)$. Applications) Cette leçon ne doit pas se résumer à un catalogue de résultats épars sur $GL(E)$. Il est important de savoir faire correspondre les sous-groupes du groupe linéaire avec les stabilisateurs de certaines actions naturelles (sur des formes quadratiques, symplectiques, sur des drapeaux, sur une décomposition en somme directe, etc. ). On doit présenter des systèmes de générateurs, étudier la topologie et préciser pourquoi le choix du corps de base est important. Les liens avec le pivot de Gauss sont à détailler. Il faut aussi savoir réaliser $\mathfrak{S}_n$ dans $GL(n,K)$ et faire le lien entre signature et déterminant. S’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en remarquant que la théorie des représentations permet d’illustrer l’importance de $GL_n(C)$ et de son sous-groupe unitaire.
(2016 : 106 - Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie $E$, sous-groupe de $GL(E)$. Applications.) Cette leçon ne doit pas se résumer à un catalogue de résultats épars sur $GL(E)$. Il est important de savoir faire correspondre les sous-groupes du groupe linéaire avec les stabilisateurs de certaines actions naturelles (sur des formes quadratiques, symplectiques, sur des drapeaux, sur une décomposition en somme directe, etc.). On doit présenter des systèmes de générateurs, étudier la topologie et préciser pourquoi le choix du corps de base est important. Les liens avec le pivot de Gauss sont à détailler. Il faut aussi savoir réaliser $\mathfrak{S}_n$ dans $GL(n,K)$ et faire le lien entre signature et déterminant. S’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en remarquant que la théorie des représentations permet d’illustrer l’importance de $GL_n(C)$ et de son sous-groupe unitaire.
(2015 : 106 - Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie $E$, sous-groupes de $GL(E)$. Applications.) Cette leçon est souvent présentée comme un catalogue de résultats épars et zoologiques sur $GL(E)$. Il serait bien que les candidats unifient la présentation de la leçon en faisant correspondre les sous-groupes du groupe linéaire avec les stabilisateurs de certaines actions naturelles (sur des formes quadratiques, symplectiques, sur des drapeaux, sur une décomposition en somme directe, etc.). À quoi peuvent servir des générateurs du groupe $GL(E)$ ? Qu'apporte la topologie dans cette leçon ? Il est préférable de se poser ces questions avant de les découvrir le jour de l'oral. Certains candidats affirment que $GL_n(\mathbb{K})$ est dense (et ouvert) dans $M_n(\mathbb{K})$. Il est judicieux de préciser les hypothèses nécessaires sur le corps $\mathbb{K}$ ainsi que la topologie sur $M_n(\mathbb{K})$. La présentation du pivot de Gauss et de ses applications se justifient pleinement. Il faut aussi savoir réaliser $\mathfrak{S}_n$ dans $GL(n,\mathbb{K})$ et faire le lien entre signature et déterminant. Dans le même ordre d'idée, la théorie des représentations permet d'illustrer, dans les leçons plus robustes, l'omniprésence de $GL_n(\mathbb{C})$ et de son sous-groupe unitaire.
(2014 : 106 - Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie $E$, sous-groupes de $GL(E)$. Applications.) Cette leçon est souvent présentée comme un catalogue de résultats épars et zoologiques sur $GL(E)$. Il faudrait que les candidats sachent faire correspondre sous-groupes et noyaux ou stabilisateurs de certaines actions naturelles (sur des formes quadratiques, symplectiques, sur des drapeaux, sur une décomposition en somme directe, etc.). À quoi peuvent servir des générateurs du groupe $GL(E)$ ? Qu'apporte la topologie dans cette leçon ? Il est préférable de se poser ces questions avant de les découvrir le jour de l'oral. Certains candidats affirment que $GL_n(K)$ est dense (respectivement ouvert) dans $M_n(K)$ . Il est judicieux de préciser les hypothèses nécessaires sur le corps K ainsi que la topologie sur $M_n(K)$. Il faut aussi savoir réaliser $S_n$ dans $GL(n,R)$ et faire le lien entre signature et déterminant.

Développements :

Plans/remarques :

2023 : Leçon 106 - Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Voici mes plans de leçons que j'ai réalisé en format complet.
    Si cela peut aider des gens, avec plaisir !
    Tout mes plans de leçons sont inspirés majoritairement de Jouaucon, Marvin et abarrier ( Merci à eux ! ).
    Les références sont à la fin.
    Attention aux éventuels coquilles.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.
  • Fichier :

2022 : Leçon 106 - Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.


2020 : Leçon 106 - Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Toutes les références sont à la fin du plan.

    Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...
  • Fichier :

2019 : Leçon 106 - Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.


2018 : Leçon 106 - Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E , sous-groupes de $GL(E)$ . Applications.


2017 : Leçon 106 - Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie $E$, sous-groupes de $GL(E)$. Applications


2016 : Leçon 106 - Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie $E$, sous-groupe de $GL(E)$. Applications.


2015 : Leçon 106 - Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie $E$, sous-groupes de $GL(E)$. Applications.


Retours d'oraux :

2023 : Leçon 106 - Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

  • Leçon choisie :

    106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

  • Autre leçon :

    121 : Nombres premiers. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Le groupe SO3(R) est simple

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    (Il y a des problèmes d'affichage dans les retours d'oraux, mon 2e développement était la décomposition polaire avec une application aux sous-groupes compacts maximaux de $GL_n(\mathbb{R})$)

    - Dans mon développement (présenté en 13mn20), il y avait un argument pas convaincant. Lorsque j'ai expliqué avec un dessin comment écrire un élément de $SO_3$ comme produit de deux réflexions, j'ai fixé un point pour illustrer mon propos, et les réflexions que j'ai construites semblaient dépendre du point... (en fait, ce point servait à construire deux réflexions qui convenaient ensuite pour tous les points, mais je l'ai mal expliqué)... Ça m'a beaucoup déstabilisé. Avec de l'aide, j'ai réussi à rendre l'argument rigoureux, mais j'ai un peu ramé car il y avait plusieurs façons de s'en sortir, le jury m'en suggérait une par ses indications, et je voulais me diriger vers une autre... bref.

    - Un petit détail à corriger dans le développement : l'un des éléments considérés devait être distinct de l'identité, ce que j'avais oublié de préciser.

    - J'ai admis un lemme de connexité par arcs pour mon développement, on m'a demandé pourquoi (parce que ça rendait le développement trop long et que ce n'était pas dans le thème de la leçon) et si c'était difficile à démontrer, j'ai dit non, on m'a répondu OK.

    - Pourquoi considérer les composantes connexes par arcs et pas juste connexes ? ... parce que ça marche.

    - Quel est le centre de $GL(E)$ (c'était dans le plan) ? Une matrice du centre commute avec les transvections, donc avec les matrices élémentaires, donc elle est scalaire. La réciproque est facile.

    - Dans la classification des isométries, l'unicité des angles est à quoi près ? Au départ, j'ai dit "à permutation près", SAUF QUE, il faut faire attention à l'orientation des axes (pour des axes non orientés, l'angle est défini dans $[0,2\pi[$, non multiple entier de $\pi$, ET au signe près).

    - Que se passe-t-il avec la décomposition polaire dans $\mathscr{M}_n(\mathbb{R})$ ? J'ai répondu qu'il y avait toujours existence dans $O_n(\mathbb{R}) \times \mathscr{S}_n^+(\mathbb{R})$ mais pas unicité (la matrice nulle est symétrique positive... ). On m'a demandé la preuve mais j'ai eu un trou (cf. Rombaldi).

    - Montrer que $GL_n(\mathbb{C})$ est connexe par arcs. J'ai utilisé le pivot de Gauss pour écrire un matrice $M$ inversible comme produit de transvections et de $diag(1,...,1,\det M)$, et j'ai joint continûment chaque matrice à l'identité (bon, j'ai fait comme si $\mathbb{C}^*$ était convexe, erreur d'étourderie, mais j'ai bien dit "connexe par arcs", et je n'ai pas eu de remarque).

    - Comment montre-t-on que $PGL_2(\mathbb{F}_3)$ est isomorphe à $\mathfrak{S}_4$ ? J'ai bien répondu (cf. Perrin pour la preuve).

    - Quels sont les automorphismes de $SO_3$ ? Je n'en sais trop rien, mon brave monsieur (c'est écrit quelque part dans le Perrin).

    - Déterminer les morphismes de groupe de $SL_n(\mathbb{K})$ vers $\mathbb{K}^*$. Il n'y a que le morphisme trivial (regarder l'image d'un commutateur).

    - Déterminer les morphismes de groupes de $GL_n(\mathbb{C})$ vers $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$. Pas le temps de faire grand-chose : l'oral s'est arrêté là.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury, composé de trois personnes, était bienveillant et n'hésitait pas à m'aider lorsque je séchais.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Ne vous fiez pas à votre impression ! J'ai eu du mal à digérer le fait que le jury insiste bien sur les points que je maîtrisais le moins, cela m'a déstabilisé, mais j'ai quand même obtenu une très bonne note.

  • Note obtenue :

    17


2019 : Leçon 106 - Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

  • Leçon choisie :

    106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

  • Autre leçon :

    121 : Nombres premiers. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Décomposition polaire

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Je pense avoir fait un plan riche que je ma^trisais bien, et les questions ont
    principalement tourne autour, ce qui fait que je m'en suis bien sorti. La seule
    question qui ne ressemblait a rien de ce que j'avais deja vu je n'ai pas reussi a
    y repondre!
    Dans mon plan je parle de generateurs de Gl(E), O(E)...etc avec des appli-
    cations a la structure de ces groupes, je reduis les matrices orthogonales et
    unitaires et les deux parties que je prefere et sur lesquelles j'aimerais ^etre inter-
    roge sont le denombrement sur les corps nis gr^ace a des actions de Gln(Fq) et
    les representations de groupe.
    Je propose en developpements la surjectivite de l'exponentielle matricielle com-
    plexe via Dunford que je montre dans le dev, et la decomposition polaire dans
    Gln(R)+ application a unitairement semblables implique orthogonalement sem-
    blables (pour deux matrices reelles)+ application a la reduction des matrices
    orthogonales en partant de celle des unitaires.
    Ils choisissent le deuxieme dev, je le fais dans le temps imparti, rien de special
    a dire (la montre electrique au poignet pour se chronometrer aide bien).
    Les questions:
    Jury: dans votre dev vous utilisez l'existence et l'unicite d'une racine symetrique
    de nie positive, comment montreriez-vous ce resultat?
    Moi: pour l'existence on fait comme ca (je commence a detailler l'unicite au
    tableau).
    Jury: ok, nissez d'expliquer a l'oral (je le fais).En quoi votre dev est pertinent
    par rapport a la lecon?
    Moi: deja on montre et on utilise la decomposition polaire qui nous dit que
    quand on restreint l'action par translation a gauche de Gln(R) sur lui-m^eme a
    On(R), chaque orbite contient une unique matrice de nie positive.Et aussi...
    Jury:ok c'est ce que je voulais entendre.Soient a et b des reels tels que a2+b2 6= 0
    et A =
    a

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Pas de réponse fournie.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    19


2016 : Leçon 106 - Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie $E$, sous-groupe de $GL(E)$. Applications.

  • Leçon choisie :

    106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie $E$, sous-groupe de $GL(E)$. Applications.

  • Autre leçon :

    142 : Algèbre des polynômes à plusieurs indéterminées. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Décomposition polaire

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Une question sur le développement : pourquoi on a $\mu_i ^2 = \mu_i ' ^2 \iff \mu_i = \mu_i '$ (j'avais donné l'argument à l'oral) ? Pourquoi ces valeurs propres sont-elles bien positives ?

    On considère la décomposition $\nu : O_n(\mathbb{R}) \times T_n^+(\mathbb{R}) \to GL_n(\mathbb{R})$ avec $T_n^+(\mathbb{R})$ ensemble des matrices triangulaires supérieures à coefficients diagonaux strictement positifs. A quel résultat est-elle liée ? Orthonormalisation de Gram-Schmidt. Quelle est l'expression de $\mu^{-1} \circ \nu$ ? S'écrit facilement.

    Ensuite, plusieurs questions sur le plan, je ne me souviens pas de toutes, mais en tout cas : démonstration des isomorphismes exceptionnels (cf. Perrin), démonstration de la connexité de $GL_n(\mathbb{C})$, cas de $\mathbb{R}$.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Plutôt sympa. Un des membres du jury n'a pas dit un mot.
    Un autre me demandait tout le temps de réexpliquer un argument alors que ça n'avait pas l'air de poser problème aux autres.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    17


2015 : Leçon 106 - Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie $E$, sous-groupes de $GL(E)$. Applications.

  • Leçon choisie :

    106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie $E$, sous-groupes de $GL(E)$. Applications.

  • Autre leçon :

    229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème du point fixe de Kakutani et sous-groupes compacts de GLn(R)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    A la suite du développement sur Kakutani : que peut on dire des sous groupes finis de GL2 ? Indication : on pourra utiliser le développement que vous venez de prouver... On se ramène aux sous groupes finis de O2. Puis comme sous-question : que peut on dire des sous groupes de SO2 ? On montre finalement qu'ils sont cycliques et puis rapidement pour le cas de O2 on dit que ça fait le diédral.

    Etant donné deux matrices J=(1 1, 0 1), K = (1 1, -1 0), montrer qu'elles engendrent SL2(Z). Sous-question : est ce que les transvections engendrent SL2(Z) ? On adapte le pivot de Gauss pour montrer que oui, et en calculant J^n et JK on obtient toutes les transvections.

    Des questions de topologie : pourquoi est ce que l'application inverse est un homéo ? Réponse avec la formule de la comatrice. Est ce un difféomorphisme ? Je pars dans les calculs de la différentielle en A pendant que le jury essaye de me faire remarquer que comme tout est polynomial, ça marche tout seul, et que pour montrer que la différentielle est bijective, il suffit de remarquer que l'application inverse est une involution.

    Montrer que les matrices diagonalisables sont denses dans M_n(C). Pas trop eu le temps de finir la question, j'ai expliqué avec les mains qu'il faut perturber la matrice pour que le poly caract soit scindé à racines simples.

    Une dernière question "pédagogique" : si vous enseignez cette partie à une classe, quels seraient les points délicats sur lesquels il faudrait insister ? Réponse : le lien avec la géométrie pour les petites dimensions, avec acquiescement du jury (notamment parce que j'ai pas mal galéré pour les sous groupes de SO2...)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Les questions étaient de niveau moyen, mais le jury n'était pas très attentif et blaguait beaucoup entre eux... Mais jury plutôt sympathique et enclin à aider.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de questions sur le plan, et le jury qui semblait pas trop concentré pendant les questions.

  • Note obtenue :

    16


Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Cours d'algèbre , Perrin (utilisée dans 285 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 276 versions au total)
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 214 versions au total)
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni (utilisée dans 91 versions au total)
Algèbre , Gourdon (utilisée dans 237 versions au total)
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni (utilisée dans 34 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 123 versions au total)
Groupes de Lie classiques, Mneimné, Testard (utilisée dans 23 versions au total)
Oraux X-ENS Algèbre 2 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 45 versions au total)
Théorie des Groupes, Félix Ulmer (utilisée dans 43 versions au total)
Algèbre Géométrique, Artin (utilisée dans 2 versions au total)