Leçon 106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

(2023) 106

Dernier rapport du Jury :

(2023 : 106 - Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.) Les premières définitions et propriétés générales du groupe linéaire doivent être présentées : familles de générateurs, les liens avec le pivot de Gauss sont à détailler. et sous-groupes remarquables. Il est important de savoir faire correspondre certains sous-groupes du groupe linéaire avec les stabilisateurs de certaines actions naturelles (sur des formes quadratiques, sur des drapeaux, sur une décomposition en somme directe, etc.). Il faut aussi savoir réaliser $\mathfrak{S}_n$ dans $GL(n,K)$ et faire le lien entre signature et déterminant. Il est souhaitable de dégager des propriétés particulières r selon le corps de base, en particulier d'étudier les propriétés topologiques de ce groupe lorsque le corps est $\mathbb{R}$ ou \mathbb{C}$. Pour aller plus loin, les candidates et candidats peuvent exploiter le fait que la théorie des représentations permet d'illustrer l'importance de $GL(n, \mathbb{C})$ et de son sous-groupe unitaire. Ils peuvent également étudier les sous-groupes compacts maximaux et les sous-groupes fermés de $GL(n)$.

(2022 : 106 - Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.) Cette leçon ne doit pas se résumer à un catalogue de résultats épars sur $GL(E)$. Il est important de savoir faire correspondre les sous-groupes du groupe linéaire avec les stabilisateurs de certaines actions naturelles (sur des formes quadratiques, sur des drapeaux, sur une décomposition en somme directe, etc.). On doit présenter des systèmes de générateurs de $GL(E)$ et étudier la topologie de ce groupe en précisant pourquoi le choix du corps de base est important. Les liens avec le pivot de Gauss sont à détailler. Il faut aussi savoir réaliser $\mathfrak{S}_n$ dans $GL(n,K)$ et faire le lien entre signature et déterminant. S'ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en remarquant que la théorie des représentations permet d'illustrer l'importance de $GL(n,C)$ et de son sous-groupe unitaire. Ils peuvent également étudier les sous-groupes compacts maximaux et les sous-groupes fermés de $GL(n)$.
(2020 : 106 - Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.) Cette leçon ne doit pas se résumer à un catalogue de résultats épars sur $GL(E)$. Il est important de savoir faire correspondre les sous-groupes du groupe linéaire avec les stabilisateurs de certaines actions naturelles (sur des formes quadratiques, sur des drapeaux, sur une décomposition en somme directe, etc.). On doit présenter des systèmes de générateurs de $GL(E)$ et étudier la topologie de ce groupe en expliquant l’importance du choix du corps de base. Les liens avec le pivot de Gauss sont à détailler. Il faut aussi savoir réaliser $\mathfrak{S}_n$ dans $GL(n,K)$ et faire le lien entre signature et déterminant. S’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en remarquant que la théorie des représentations permet d’illustrer l’importance de $GL(n,C)$ et de son sous-groupe unitaire. Ils peuvent également étudier les sous-groupes compacts maximaux et les sous-groupes fermés de $GL(n)$.
(2019 : 106 - Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.) Cette leçon ne doit pas se résumer à un catalogue de résultats épars sur $GL(E)$. Il est important de savoir faire correspondre les sous-groupes du groupe linéaire avec les stabilisateurs de certaines actions naturelles (sur des formes quadratiques, sur des drapeaux, sur une décomposition en somme directe, etc.). On doit présenter des systèmes de générateurs de $GL(E)$ et étudier la topologie de ce groupe en précisant pourquoi le choix du corps de base est important. Les liens avec le pivot de Gauss sont à détailler. Il faut aussi savoir réaliser $\mathfrak{S}_n$ dans $GL(n,K)$ et faire le lien entre signature et déterminant. S’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en remarquant que la théorie des représentations permet d’illustrer l’importance de $GL(n,C)$ et de son sous-groupe unitaire. Ils peuvent également étudier les sous-groupes compacts maximaux et les sous-groupes fermés de $GL(n)$.
(2017 : 106 - Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie $E$, sous-groupes de $GL(E)$. Applications) Cette leçon ne doit pas se résumer à un catalogue de résultats épars sur $GL(E)$. Il est important de savoir faire correspondre les sous-groupes du groupe linéaire avec les stabilisateurs de certaines actions naturelles (sur des formes quadratiques, symplectiques, sur des drapeaux, sur une décomposition en somme directe, etc. ). On doit présenter des systèmes de générateurs, étudier la topologie et préciser pourquoi le choix du corps de base est important. Les liens avec le pivot de Gauss sont à détailler. Il faut aussi savoir réaliser $\mathfrak{S}_n$ dans $GL(n,K)$ et faire le lien entre signature et déterminant. S’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en remarquant que la théorie des représentations permet d’illustrer l’importance de $GL_n(C)$ et de son sous-groupe unitaire.
(2016 : 106 - Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie $E$, sous-groupe de $GL(E)$. Applications.) Cette leçon ne doit pas se résumer à un catalogue de résultats épars sur $GL(E)$. Il est important de savoir faire correspondre les sous-groupes du groupe linéaire avec les stabilisateurs de certaines actions naturelles (sur des formes quadratiques, symplectiques, sur des drapeaux, sur une décomposition en somme directe, etc.). On doit présenter des systèmes de générateurs, étudier la topologie et préciser pourquoi le choix du corps de base est important. Les liens avec le pivot de Gauss sont à détailler. Il faut aussi savoir réaliser $\mathfrak{S}_n$ dans $GL(n,K)$ et faire le lien entre signature et déterminant. S’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en remarquant que la théorie des représentations permet d’illustrer l’importance de $GL_n(C)$ et de son sous-groupe unitaire.
(2015 : 106 - Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie $E$, sous-groupes de $GL(E)$. Applications.) Cette leçon est souvent présentée comme un catalogue de résultats épars et zoologiques sur $GL(E)$. Il serait bien que les candidats unifient la présentation de la leçon en faisant correspondre les sous-groupes du groupe linéaire avec les stabilisateurs de certaines actions naturelles (sur des formes quadratiques, symplectiques, sur des drapeaux, sur une décomposition en somme directe, etc.). À quoi peuvent servir des générateurs du groupe $GL(E)$ ? Qu'apporte la topologie dans cette leçon ? Il est préférable de se poser ces questions avant de les découvrir le jour de l'oral. Certains candidats affirment que $GL_n(\mathbb{K})$ est dense (et ouvert) dans $M_n(\mathbb{K})$. Il est judicieux de préciser les hypothèses nécessaires sur le corps $\mathbb{K}$ ainsi que la topologie sur $M_n(\mathbb{K})$. La présentation du pivot de Gauss et de ses applications se justifient pleinement. Il faut aussi savoir réaliser $\mathfrak{S}_n$ dans $GL(n,\mathbb{K})$ et faire le lien entre signature et déterminant. Dans le même ordre d'idée, la théorie des représentations permet d'illustrer, dans les leçons plus robustes, l'omniprésence de $GL_n(\mathbb{C})$ et de son sous-groupe unitaire.
(2014 : 106 - Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie $E$, sous-groupes de $GL(E)$. Applications.) Cette leçon est souvent présentée comme un catalogue de résultats épars et zoologiques sur $GL(E)$. Il faudrait que les candidats sachent faire correspondre sous-groupes et noyaux ou stabilisateurs de certaines actions naturelles (sur des formes quadratiques, symplectiques, sur des drapeaux, sur une décomposition en somme directe, etc.). À quoi peuvent servir des générateurs du groupe $GL(E)$ ? Qu'apporte la topologie dans cette leçon ? Il est préférable de se poser ces questions avant de les découvrir le jour de l'oral. Certains candidats affirment que $GL_n(K)$ est dense (respectivement ouvert) dans $M_n(K)$ . Il est judicieux de préciser les hypothèses nécessaires sur le corps K ainsi que la topologie sur $M_n(K)$. Il faut aussi savoir réaliser $S_n$ dans $GL(n,R)$ et faire le lien entre signature et déterminant.

Développements :

Plans/remarques :

2024 : Leçon 106 - Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    J'ai inclus une partie sur les groupes projectifs qui est tout à fait dispensable, surtout si on n'est pas au point dessus.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
  • Fichier :

2023 : Leçon 106 - Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Voici mes plans de leçons que j'ai réalisé en format complet.
    Si cela peut aider des gens, avec plaisir !
    Tout mes plans de leçons sont inspirés majoritairement de Jouaucon, Marvin et abarrier ( Merci à eux ! ).
    Les références sont à la fin.
    Attention aux éventuels coquilles.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.
  • Fichier :

2022 : Leçon 106 - Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.


2020 : Leçon 106 - Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Toutes les références sont à la fin du plan.

    Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...
  • Fichier :

2019 : Leçon 106 - Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.


2018 : Leçon 106 - Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E , sous-groupes de $GL(E)$ . Applications.


2017 : Leçon 106 - Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie $E$, sous-groupes de $GL(E)$. Applications


2016 : Leçon 106 - Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie $E$, sous-groupe de $GL(E)$. Applications.


2015 : Leçon 106 - Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie $E$, sous-groupes de $GL(E)$. Applications.


Retours d'oraux :

2024 : Leçon 106 - Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

  • Leçon choisie :

    106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

  • Autre leçon :

    144 : Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Décomposition polaire

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Des questions sur mon développement (comment je construis formellement Q le polynome associant les valeurs propres lambda_i de AtA à leur racine, est ce que je connais des applications de la decomposition polaire)
    Puis des corrections de mon plan (j'ai du corrigé les formules du cardinal de Gln(K) et Sln(K) où K est un corps fini, j'avais fait des erreurs de recopiage...)
    Ensuite des exercices portant surtout sur des sous groupes de Gln(K) (par exemple si G est un sous groupe de Gln(K) vérifiant pour tout A dans G : A^2=In, alors G est abelien et donner son cardinal)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    très souriants, encourageants. Ils m'ont donné des pistes régulièrement et si je ne voyais vraiment pas ils disaient "pas grave on passe à autre chose"

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    L'oral s'est passé mieux que je ne le pensais notamment grâce au jury qui m'a mise en confiance.

  • Note obtenue :

    13.75

  • Leçon choisie :

    106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

  • Autre leçon :

    121 : Nombres premiers. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Von Neumann des sous-variétés

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Plan :

    I- $\mathrm{GL}(E)$ et $\mathrm{SL}(E)$, générateurs. (Perrin, Rombaldi)
    1. Déterminant et $\mathrm{SL}(E)$,
    2. Centres et générateurs,
    3. Aspects combinatoires dans les corps finis.

    II- Actions et sous-groupes remarquables de $\mathrm{GL}(E)$ (Rombaldi, Perrin)
    1. Translation et équivalence.
    2. Conjugaison et réduction.
    3. Stabilisateurs et autres sous-groupes remarquables.

    III- Aspects topologiques et géométriques (Rombaldi, Alessandri, Mneimné-Testard).

    Je suis content du plan, je l'avais déjà préparé pendant l'année mais cette fois j'ai pu rajouter la partie de combinatoire sur les corps finis qui est un vrai plus dans cette leçon. La partie I tourne autour de la simplicité de PSL$(E)$ globalement, la partie II permet de mettre en valeur les aspects présentés dans le rapport du jury (stabilisateurs d'actions sur des sommes directes, des drapeaux, des formes quadratiques avec de la classification...) et qui est très bien présenté dans le Rombaldi, avec une sous-partie 2. qui n'a plus ou moins qu'un seul item : la réduction de Frobenius. J'ai pu mettre en annexe un tableau regroupant les différentes actions et les "formes normales" dans une orbite. La troisièle partie, enfin, traite du cas $K = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ avec de la topologie (compacité de $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$, densité de $\mathrm{GL}_n$ et connexité par arcs lorsque $K = \mathbb{C}$, connexité par arcs également de $\mathrm{SO}_n(\mathbb{R})$,...) et également de la géométrie en lien avec la topologie (produits scalaires invariants sur les sous-groupes compacts de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ : mon premier développement, et une petite partie sur l'exponentielle et les groupes de Lie matriciels avec mon deuxième développement : le théorème de Cartan-Von Neumann disant que les sous-groupes fermés de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ sont des sous-variétés de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$).

    Défense du plan :

    Je fais au tableau un triangle avec un sommet algèbre linéaire, un sommet géométrie et un sommet groupe et j'ai mis au milieu GL(E) (celui qui unifie le tryptique) et ça justifiait donc l'intérêt de ce groupe. J'ai dit que la partie I traitait plutôt de l'aspect groupe (générateurs, centres, simplicité...), la partie II faisait le lien entre groupes et algèbre linéaire en regardant des actions sur des objets particuliers (sommes directes, drapeaux, formes quadratiques). Enfin je disais que la partie III traitait du lien entre groupes et géométrie avec un peu de topologie en plus.

    Questions posées
    I- Développement
    1. Où est-ce qu'on utilise, dans le développement, que $\mathfrak{g}$ et $\mathfrak{g}'$ (un supplémentaire) sont supplémentaires ? Je réponds que ça intervient clairement pour appliquer le théorème d'inversion locale à la fonction :
    \[
    \begin{array}{ccrcl}
    \Phi & : & \mathfrak{g} \times \mathfrak{g}' & \longrightarrow & \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\\
    & & (M,M') & \longmapsto & \exp(M)\exp(M').
    \end{array}
    \]
    en $(\textbf{O}_n,\textbf{O}_n)$.
    2. Réexpliquer pourquoi il existe un voisinage $W \in \mathcal{V}_{\mathfrak{g}'}(\textbf{O}_n)$ tel que $\exp(W) \cap G = \{I_n\}$. On utilise le lemme que j'ai montré précédemment : Soit $(H_k)_{k \in \mathbb{N}} \in G^{\mathbb{N}}$ tel que :
    \[
    H_k \xrightarrow[k \to +\infty]{} I_n
    \]
    et :
    \[
    \forall k \in \mathbb{N}, \quad H_k \neq I_n.
    \]
    Alors toute valeur d'adhérence de la suite $\displaystyle \left(\frac{\mathrm{Log}(H_k)}{\Vert \mathrm{Log}(H_k) \Vert}\right)$ (bien définie à partir d'un certain rang) appartient à l'algèbre de Lie $\mathfrak{g}$.

    En effet, grâce à ce lemme, on raisonne par l'absurde : si pour tout voisinage $W$ de $\textbf{O}_n$ dans $\mathfrak{g}'$, $\exp(W) \cap G \neq \{I_n\}$, alors on a :
    \[
    \forall k \in \mathbb{N}^*, \quad \exp\left(B_{\mathfrak{g}'}\left(\textbf{O}_n,\frac{1}{k}\right)\right)\cap G \neq \{I_n\}.
    \]
    On a donc à disposition une suite $H_k = \exp(N_k)$ avec $N_k \xrightarrow[k \to +\infty]{}0$, $N_k \in \mathfrak{g}'$ et $H_k \in G \setminus \{I_n\}$. Ainsi, d'après le lemme, les valeurs d'adhérence de la suite $\displaystyle \left(\frac{N_k}{\Vert N_k \Vert}\right)$ sont dans $\mathfrak{g}$, mais également dans $\mathfrak{g}'$ par fermeture de ce sous-espace vectoriel de dimension finie ! ABUSRDE !
    3. Comment est défini l'exponentielle/le logarithme de matrice ? Si on prend une norme d'algèbre sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$, alors, pour tout $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$, la série :
    \[
    \sum_{k \geqslant 0} \frac{M^k}{k!}
    \]
    converge absolument, donc converge. Cela définit donc une application $\exp$. Par convergence normale, on montre que $\exp$ est en fait de classe $\mathcal{C}^{\infty}$. De même, pour toute matrice $M \in B(I_n,1)$, la série :
    \[
    \sum_{k \geqslant 1}(-1)^{k-1}\frac{(M-I_n)^k}{k}
    \]
    converge absolument, donc converge. Cela définit une application $\mathrm{Log}$ et on vérifie qu'il s'agit de la réciproque de $\exp$ sur ce voisinage.
    4. Redéfinir ce qu'est une sous-variété et l'espace tangent en un point. Je bugue un peu mais en refaisant un dessin j'arrive à retrouver la définition. Dans mon développement, j'ai utilisé la définition suivante de l'espace tangent en un point $x$ d'une sous-variété $M$ de $\mathbb{R}^n$:
    \[
    T_xM = \left\{\gamma'(0), \text{ } \gamma : (-1,1) \longrightarrow M, \text{ }\gamma(0) = x\right\}.
    \]

    II- Plan
    1. Item $4$ : ça veut dire quoi ? J'avais mis la suite exacte :
    \[
    \{e\} \rightarrow \mathrm{SL}(E) \hookrightarrow \mathrm{GL}(E) \overset{\det}{\twoheadrightarrow} K^* \rightarrow \{e\} \
    \]
    en disant que ça permettait de montrer l'isomorphisme suivant :
    \[
    \mathrm{GL}(E) \simeq \mathrm{SL}(E) \rtimes K^*.
    \]
    Je réexplique donc quelle est la loi du produit semi-direct : on la trouve à partir d'une section du déterminant, qui doit être un morphisme de groupes :
    \[
    \begin{array}{rcl}
    K^* & \longrightarrow & \mathrm{GL}(E) \\
    \lambda & \longmapsto & D_{\lambda} := \mathrm{Diag}(1,\ldots,1,\lambda).
    \end{array}
    \]
    et on a la loi :
    \[
    \forall (M_1,M_2,\lambda_1,\lambda_2) \in \mathrm{SL}(E)^2\times \left(K^*\right)^2, \quad (M_1,\lambda_1) \rtimes (M_2,\lambda_2) = (M_1D_{\lambda_1}M_2D_{\lambda_1}^{-1},\lambda_1\lambda_2),
    \]
    de sorte que l'application :
    \[
    \begin{array}{rcl}
    \mathrm{SL}(E) \rtimes K^* & \longrightarrow & \mathrm{GL}(E) \\
    (M,\lambda) & \longmapsto & MD_{\lambda}
    \end{array}
    \]
    soit un isomorphisme de groupe. Le jury a l'air content.
    2. Redémontrer les formules des cardinaux sur les corps finis. Pour rappel :
    - $\left \vert \mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_q)\right\vert = \left(q^n-1\right)\left(q^n-q\right)\ldots\left(q^n-q^{n-1}\right)$.
    - $\displaystyle \left \vert \mathrm{SL}_n(\mathbb{F}_q)\right \vert = \left \vert \mathrm{PGL}_n(\mathbb{F}_q)\right\vert = \frac{\left \vert \mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_q)\right\vert}{q-1}$,
    - $\displaystyle \left \vert \mathrm{PSL}_n(\mathbb{F}_q)\right\vert = \frac{\left \vert \mathrm{SL}_n(\mathbb{F}_q)\right\vert}{n \wedge (q-1)}$.

    Les parties délicates à justifier sont le cardinal de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_q)$ et celui de $\mathrm{PSL}_n(\mathbb{F}_q)$. Pour $\mathrm{GL}_n$, on dénombre les bases sur $\mathbb{F}_q^n$ : le premier vecteur de base doit être non-nul : $q^n-1$ choix. Le deuxième vecteur de base doit être non-colinéaire au premier. On retire donc un sev de dimension $1$ : $q^n-q$ choix. Le troisième vecteur de base ne doit pas être dans le plan engendré par les deux premiers vecteurs de base : $q^n-q^2$ choix, etc. Enfin, pour justifier le cardinal de $\mathrm{PSL}_n(\mathbb{F}_q)$, il faut dire que le centre de $\mathrm{SL}_n(\mathbb{F}_q)$ est constitué des homothéties qui sont dans $\mathrm{SL}_n(\mathbb{F}_q)$. Ce doit donc être des homothéties de rapport une racine $n$-ième de l'unité dans $\mathbb{F}_q$. Il ne reste donc plus qu'à justifier qu'il y a $n \wedge (q-1)$ racines $n$-ième de l'unité dans $\mathbb{F}_q$. Si $\delta := n \wedge (q-1)$, on montre que les racines $n$-ièmes de l'unité dans $\mathbb{F}_q$ sont des racines $\delta$-ièmes de l'unité dans $\mathbb{F}_q$ grâce au théorème de Lagrange, et enfin, le polynôme $X^{\delta}-1$ est scindé à racines simples dans $\mathbb{F}_q$ étant donné qu'il divise $X^{q-1}-1$ qui est scindé à racines simples dans $\mathbb{F}_q$ : il y a donc exactement $\delta$ racines $\delta$-ièmes de l'unité dans $\mathbb{F}_q$, et donc il y a $\delta$ racines $n$-ièmes de l'unité dans $\mathbb{F}_q$.
    3. Redémontrer que les éléments de $\mathrm{O}(q)$, pour $q$ une forme quadratique non-dégénérée sont produits d'au plus $n$ réflexions. Je réponds que dans le cas général c'est très dur (c'est un de mes développements). Elle me demande donc dans le cas euclidien. Je refais sans problèmes avec un dessin (qu'ils m'ont demandé de refaire parce qu'au début il était trop petit), puis la dame qui m'a posé la question me demande ce que ça donne en dimension $2$. Je fais un dessin avec une rotation et je dis que ladite rotation s'écrit comme produit de deux réflexions. La dame me demande alors en dimension $3$. Je suis un peu perdu, et elle me demande "c'est quoi les éléments de $\mathrm{O}_3(\mathbb{R})$ ?" Je commence donc à lister : les rotations, les anti-rotations,... et enfin elle me demande "du coup elles s'écrivent comme produit de combien de réflexions ?" du coup je dis "euh au plus 3 du coup" et elle a l'air satisfaite. J'ai pas trop compris du coup. Elle me demande enfin si je connais les grandes lignes de la démonstration dans le cas général. Je dis qu'il faut distinguer les cas selon s'il y a des vecteurs fixes isotropes ou non. Globalement j'écris les étapes de mon développement et elle a l'air satisfaite.

    III- Exercice
    On considère $(E, \Vert \cdot \Vert)$ un $\mathbb{R}$-evn de dimension finie et on suppose que le groupe $\mathrm{O}(E) := \left\{u \in \mathrm{GL}(E) \text{ } \left \vert \text{ } \forall x \in E, \quad \Vert u(x) \Vert = \Vert x \Vert \right. \right\}$ agit transitivement sur la sphère unité. Montrer que la norme $\Vert \cdot \Vert$ est euclidienne. V'là l'exo ! Je suis complètement perdu au début et j'essaie de montrer que la norme vérifie l'identité du parallélogramme et je n'y arrive pas. Ensuite le monsieur du jury me demande ce que je sais sur le groupe $\mathrm{O}(E)$. Je réponds qu'il est compact. Le monsieur me demande pourquoi et je réponds qu'il est fermé et borné. Et ensuite le monsieur du jury me dit "donc il possède un produit scalaire invariant." J'étais pas prêt du tout à utiliser ce résultat ! On a donc à disposition une norme euclidienne $\Vert \cdot \Vert_e$ sur $E$ tel que les éléments de $\mathrm{O}(E)$ stabilisent cette norme. Je dis donc ensuite qu'il suffit de montrer que $\Vert \cdot \Vert$ et $\Vert \cdot \Vert_e$ sont égales. Le monsieur du jury me fait raffiner en disant qu'il suffit de montrer qu'elles sont égales sur la sphère unité pour $\Vert \cdot \Vert$ puis, par transitivité de l'action de $\mathrm{O}(E)$ sur la sphère, il suffit de montrer qu'elles sont égales en un seul vecteur. Puis il me demande s'il n'y a qu'un seul produit scalaire invariant. Là j'étais trop perturbé, du coup j'ai dit "euh oui ? Je sais pas." Le monsieur du jury me dit donc qu'on peut multiplier le produit scalaire invariant par un scalaire strictement positif, et ça restera un produit scalaire invariant. On s'est arrêté là mais du coup en y réfléchissant, si on prend $x$ tel que $\Vert x \Vert = 1$, on a juste à renormaliser la norme euclidienne invariante par $\Vert x \Vert_e$ pour avoir $\Vert x \Vert_e = 1$ et donc on en conclut que $\Vert \cdot \Vert = \Vert \cdot \Vert_e$ : c'est une norme euclidienne.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Les membres du jury étaient très gentils et mettaient à l'aise : ils me laissaient boire quand je le voulais, ils me laissaient prendre des pauses si j'étais stressé etc.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Oui, tout à fait. Vous pouvez regarder mon retour d'analyse (celui où j'ai choisi la 244 par rapport à la 243) pour plus de détails. Un truc qui m'a étonné par contre c'est qu'ils me demandaient beaucoup de détailler. Je pensais au début qu'il suffisait de donner les idées pour que ça passe, mais des fois j'ai dû détailler à fond (je crois que c'était sur les questions auxquelles j'étais pas sûr au premier abord)

  • Note obtenue :

    19.75


2023 : Leçon 106 - Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

  • Leçon choisie :

    106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

  • Autre leçon :

    121 : Nombres premiers. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Le groupe SO3(R) est simple

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    (Il y a des problèmes d'affichage dans les retours d'oraux, mon 2e développement était la décomposition polaire avec une application aux sous-groupes compacts maximaux de $GL_n(\mathbb{R})$)

    - Dans mon développement (présenté en 13mn20), il y avait un argument pas convaincant. Lorsque j'ai expliqué avec un dessin comment écrire un élément de $SO_3$ comme produit de deux réflexions, j'ai fixé un point pour illustrer mon propos, et les réflexions que j'ai construites semblaient dépendre du point... (en fait, ce point servait à construire deux réflexions qui convenaient ensuite pour tous les points, mais je l'ai mal expliqué)... Ça m'a beaucoup déstabilisé. Avec de l'aide, j'ai réussi à rendre l'argument rigoureux, mais j'ai un peu ramé car il y avait plusieurs façons de s'en sortir, le jury m'en suggérait une par ses indications, et je voulais me diriger vers une autre... bref.

    - Un petit détail à corriger dans le développement : l'un des éléments considérés devait être distinct de l'identité, ce que j'avais oublié de préciser.

    - J'ai admis un lemme de connexité par arcs pour mon développement, on m'a demandé pourquoi (parce que ça rendait le développement trop long et que ce n'était pas dans le thème de la leçon) et si c'était difficile à démontrer, j'ai dit non, on m'a répondu OK.

    - Pourquoi considérer les composantes connexes par arcs et pas juste connexes ? ... parce que ça marche.

    - Quel est le centre de $GL(E)$ (c'était dans le plan) ? Une matrice du centre commute avec les transvections, donc avec les matrices élémentaires, donc elle est scalaire. La réciproque est facile.

    - Dans la classification des isométries, l'unicité des angles est à quoi près ? Au départ, j'ai dit "à permutation près", SAUF QUE, il faut faire attention à l'orientation des axes (pour des axes non orientés, l'angle est défini dans $[0,2\pi[$, non multiple entier de $\pi$, ET au signe près).

    - Que se passe-t-il avec la décomposition polaire dans $\mathscr{M}_n(\mathbb{R})$ ? J'ai répondu qu'il y avait toujours existence dans $O_n(\mathbb{R}) \times \mathscr{S}_n^+(\mathbb{R})$ mais pas unicité (la matrice nulle est symétrique positive... ). On m'a demandé la preuve mais j'ai eu un trou (cf. Rombaldi).

    - Montrer que $GL_n(\mathbb{C})$ est connexe par arcs. J'ai utilisé le pivot de Gauss pour écrire un matrice $M$ inversible comme produit de transvections et de $diag(1,...,1,\det M)$, et j'ai joint continûment chaque matrice à l'identité (bon, j'ai fait comme si $\mathbb{C}^*$ était convexe, erreur d'étourderie, mais j'ai bien dit "connexe par arcs", et je n'ai pas eu de remarque).

    - Comment montre-t-on que $PGL_2(\mathbb{F}_3)$ est isomorphe à $\mathfrak{S}_4$ ? J'ai bien répondu (cf. Perrin pour la preuve).

    - Quels sont les automorphismes de $SO_3$ ? Je n'en sais trop rien, mon brave monsieur (c'est écrit quelque part dans le Perrin).

    - Déterminer les morphismes de groupe de $SL_n(\mathbb{K})$ vers $\mathbb{K}^*$. Il n'y a que le morphisme trivial (regarder l'image d'un commutateur).

    - Déterminer les morphismes de groupes de $GL_n(\mathbb{C})$ vers $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$. Pas le temps de faire grand-chose : l'oral s'est arrêté là.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury, composé de trois personnes, était bienveillant et n'hésitait pas à m'aider lorsque je séchais.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Ne vous fiez pas à votre impression ! J'ai eu du mal à digérer le fait que le jury insiste bien sur les points que je maîtrisais le moins, cela m'a déstabilisé, mais j'ai quand même obtenu une très bonne note.

  • Note obtenue :

    17


2019 : Leçon 106 - Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

  • Leçon choisie :

    106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

  • Autre leçon :

    121 : Nombres premiers. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Décomposition polaire

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Je pense avoir fait un plan riche que je ma^trisais bien, et les questions ont
    principalement tourne autour, ce qui fait que je m'en suis bien sorti. La seule
    question qui ne ressemblait a rien de ce que j'avais deja vu je n'ai pas reussi a
    y repondre!
    Dans mon plan je parle de generateurs de Gl(E), O(E)...etc avec des appli-
    cations a la structure de ces groupes, je reduis les matrices orthogonales et
    unitaires et les deux parties que je prefere et sur lesquelles j'aimerais ^etre inter-
    roge sont le denombrement sur les corps nis gr^ace a des actions de Gln(Fq) et
    les representations de groupe.
    Je propose en developpements la surjectivite de l'exponentielle matricielle com-
    plexe via Dunford que je montre dans le dev, et la decomposition polaire dans
    Gln(R)+ application a unitairement semblables implique orthogonalement sem-
    blables (pour deux matrices reelles)+ application a la reduction des matrices
    orthogonales en partant de celle des unitaires.
    Ils choisissent le deuxieme dev, je le fais dans le temps imparti, rien de special
    a dire (la montre electrique au poignet pour se chronometrer aide bien).
    Les questions:
    Jury: dans votre dev vous utilisez l'existence et l'unicite d'une racine symetrique
    de nie positive, comment montreriez-vous ce resultat?
    Moi: pour l'existence on fait comme ca (je commence a detailler l'unicite au
    tableau).
    Jury: ok, nissez d'expliquer a l'oral (je le fais).En quoi votre dev est pertinent
    par rapport a la lecon?
    Moi: deja on montre et on utilise la decomposition polaire qui nous dit que
    quand on restreint l'action par translation a gauche de Gln(R) sur lui-m^eme a
    On(R), chaque orbite contient une unique matrice de nie positive.Et aussi...
    Jury:ok c'est ce que je voulais entendre.Soient a et b des reels tels que a2+b2 6= 0
    et A =
    a

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Pas de réponse fournie.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    19


2016 : Leçon 106 - Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie $E$, sous-groupe de $GL(E)$. Applications.

  • Leçon choisie :

    106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie $E$, sous-groupe de $GL(E)$. Applications.

  • Autre leçon :

    142 : Algèbre des polynômes à plusieurs indéterminées. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Décomposition polaire

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Une question sur le développement : pourquoi on a $\mu_i ^2 = \mu_i ' ^2 \iff \mu_i = \mu_i '$ (j'avais donné l'argument à l'oral) ? Pourquoi ces valeurs propres sont-elles bien positives ?

    On considère la décomposition $\nu : O_n(\mathbb{R}) \times T_n^+(\mathbb{R}) \to GL_n(\mathbb{R})$ avec $T_n^+(\mathbb{R})$ ensemble des matrices triangulaires supérieures à coefficients diagonaux strictement positifs. A quel résultat est-elle liée ? Orthonormalisation de Gram-Schmidt. Quelle est l'expression de $\mu^{-1} \circ \nu$ ? S'écrit facilement.

    Ensuite, plusieurs questions sur le plan, je ne me souviens pas de toutes, mais en tout cas : démonstration des isomorphismes exceptionnels (cf. Perrin), démonstration de la connexité de $GL_n(\mathbb{C})$, cas de $\mathbb{R}$.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Plutôt sympa. Un des membres du jury n'a pas dit un mot.
    Un autre me demandait tout le temps de réexpliquer un argument alors que ça n'avait pas l'air de poser problème aux autres.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    17


2015 : Leçon 106 - Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie $E$, sous-groupes de $GL(E)$. Applications.

  • Leçon choisie :

    106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie $E$, sous-groupes de $GL(E)$. Applications.

  • Autre leçon :

    229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème du point fixe de Kakutani et sous-groupes compacts de GLn(R)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    A la suite du développement sur Kakutani : que peut on dire des sous groupes finis de GL2 ? Indication : on pourra utiliser le développement que vous venez de prouver... On se ramène aux sous groupes finis de O2. Puis comme sous-question : que peut on dire des sous groupes de SO2 ? On montre finalement qu'ils sont cycliques et puis rapidement pour le cas de O2 on dit que ça fait le diédral.

    Etant donné deux matrices J=(1 1, 0 1), K = (1 1, -1 0), montrer qu'elles engendrent SL2(Z). Sous-question : est ce que les transvections engendrent SL2(Z) ? On adapte le pivot de Gauss pour montrer que oui, et en calculant J^n et JK on obtient toutes les transvections.

    Des questions de topologie : pourquoi est ce que l'application inverse est un homéo ? Réponse avec la formule de la comatrice. Est ce un difféomorphisme ? Je pars dans les calculs de la différentielle en A pendant que le jury essaye de me faire remarquer que comme tout est polynomial, ça marche tout seul, et que pour montrer que la différentielle est bijective, il suffit de remarquer que l'application inverse est une involution.

    Montrer que les matrices diagonalisables sont denses dans M_n(C). Pas trop eu le temps de finir la question, j'ai expliqué avec les mains qu'il faut perturber la matrice pour que le poly caract soit scindé à racines simples.

    Une dernière question "pédagogique" : si vous enseignez cette partie à une classe, quels seraient les points délicats sur lesquels il faudrait insister ? Réponse : le lien avec la géométrie pour les petites dimensions, avec acquiescement du jury (notamment parce que j'ai pas mal galéré pour les sous groupes de SO2...)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Les questions étaient de niveau moyen, mais le jury n'était pas très attentif et blaguait beaucoup entre eux... Mais jury plutôt sympathique et enclin à aider.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de questions sur le plan, et le jury qui semblait pas trop concentré pendant les questions.

  • Note obtenue :

    16


Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 408 versions au total)
Cours d'algèbre , Perrin (utilisée dans 377 versions au total)
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 251 versions au total)
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni (utilisée dans 109 versions au total)
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni (utilisée dans 49 versions au total)
Oraux X-ENS Algèbre 2 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 62 versions au total)
Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier (utilisée dans 76 versions au total)
Algèbre linéaire réduction des endomorphismes, R. Mansuy, R. Mneimné (utilisée dans 49 versions au total)
Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy (utilisée dans 82 versions au total)
Oraux X-ENS Algèbre 3 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 60 versions au total)
Topologie générale et espaces normés , Hage Hassan (utilisée dans 24 versions au total)
Algèbre , Gourdon (utilisée dans 301 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 132 versions au total)
Groupes de Lie classiques, Mneimné, Testard (utilisée dans 24 versions au total)
Théorie des Groupes, Félix Ulmer (utilisée dans 50 versions au total)
Algèbre Géométrique, Artin (utilisée dans 2 versions au total)