Soient $p$ un nombre premier au moins égal à $3$, $m \in \mathbb{N}^*$ et $u \in GL_n(\mathbb{F}_p)$. Alors $u$ est une permutation de $\mathbb{F}_p^n$, de signature $(\frac{ \det(u)}{p} )$.
Développement original et très intéressant faisant le lien entre les permutations et le groupe linéaire d'un F_p espace vectoriel.
Résultats bonus:
1. L'application qui a un élément a de F_p inversible associe son symbole de Legendre (a/p) est un morphisme de groupes.
2. Il y a (p+1)/2 carrés et (p-1)/2 non-carrés dans F_p.
3. Si K a au moins 3 éléments et E un K-e.v., alors GL(E) est engendré par les dilatations.
4. Si K est un corps fini, alors K* est cyclique i.e. il existe a dans K* tel que K* = .
Développement très sympa. Attention à se préparer à répondre à des questions pour les cas non traités par le théorème et sur le calcul du groupe dérivé de GL_n(K).
Le lien pour le document:
https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/thomas.courant/Agr%C3%A9gation.html
Attention, ce développement est utilisé dans des leçons de votre couplage. Voulez-vous quand même le supprimer de votre couplage ?
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