Développement : Théorème de Frobenius-Zolotarev

Détails/Enoncé :

Soient $p$ un nombre premier au moins égal à $3$, $m \in \mathbb{N}^*$ et $u \in GL_n(\mathbb{F}_p)$. Alors $u$ est une permutation de $\mathbb{F}_p^n$, de signature $(\frac{ \det(u)}{p} )$.

Recasages pour l'année 2026 :

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    J'aime beaucoup ce développement.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
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    Développement très sympa. Attention à se préparer à répondre à des questions pour les cas non traités par le théorème et sur le calcul du groupe dérivé de GL_n(K).
    Le lien pour le document:
    https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/thomas.courant/Agr%C3%A9gation.html
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    Pont inattendu entre groupe symétrique et algèbre linéaire, cette relation permet de montrer la seconde loi complémentaire de la réciprocité quadratique, et même avec un peu plus de boulot la loi tout court (c'était l'objectif de Zolotarev !) de la façon la plus efficace que je connaisse. En particulier on apprend que les exposants dans la LRQ ont une interprétation combinatoire comme coefficients binomiaux. Pas mal, hein ? Et puis ce dév comble magnifiquement bien les trous (quand on n'a pas la simplicité de A_n ou la cyclicité de Z/nZ* en dév...). Certifié sans calculs, ce qui est une perle pour la 105. J'utilise la preuve originale de Zolotarev par factorisation du déterminant, qui est éminemment rapide, algébrique et intuitive.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 334 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 197 versions au total)