Leçon 105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

(2018) 105
(2020) 105

Dernier rapport du Jury :

(2019 : 105 - Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.) Parmi les attendus, il faut savoir relier la leçon avec les notions d’orbites et d’actions de groupes.Il faut aussi savoir décomposer une permutation en cycles à supports disjoints, tant sur le plan théorique (preuve du théorème de décomposition), que pratique (sur un exemple). Il est important de savoir déterminer les classes de conjugaisons du groupe symétrique par la décomposition en cycles, d’être capable de donner des systèmes de générateurs. L’existence du morphisme signature est un résultat non trivial mais ne peut pas constituer, à elle seule, l’objet d’un développement.Il est bon d’avoir en tête que tout groupe fini se plonge dans un groupe symétrique et de savoir calculer la signature des permutations ainsi obtenues dans des cas concrets. Les applications sont nombreuses, il est très naturel de parler du déterminant, des polynômes symétriques ou des fonctions symétriques des racines d’un polynôme. On peut également parler du lien avec les groupes d’isométries des solides. S’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en s’intéressant par exemple aux automorphismes du groupe symétrique, à des problèmes de dénombrement, aux représentations des groupes des permutations ou encore aux permutations aléatoires.

(2017 : 105 - Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.) Parmi les attendus, il faut savoir relier la leçon avec les notions d’orbites et d’actions de groupes. Il faut aussi savoir décomposer une permutation en cycles à supports disjoints, tant sur le plan théorique (preuve du théorème de décomposition), que pratique (sur un exemple). Il est important de savoir déterminer les classes de conjugaisons du groupe symétrique par la décomposition en cycles, d’être capable de donner des systèmes de générateurs. L’existence du morphisme signature est un résultat non trivial mais ne peut pas constituer, à elle seule, l’objet d’un développement. Les applications sont nombreuses, il est très naturel de parler du déterminant, des polynômes symétriques ou des fonctions symétriques des racines d’un polynôme. S’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en s’intéressant aux automorphismes du groupe symétrique, à des problèmes de dénombrement, aux représentations des groupes des permutations ou encore aux permutations aléatoires.
(2016 : 105 - Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.) Parmi les attendus, il faut savoir relier la leçon avec les notions d’orbites et d’actions de groupes. Il faut aussi savoir décomposer une permutation en cycles à supports disjoints, tant sur le plan théorique (preuve du théorème de décomposition), que pratique (sur un exemple). Il est important de savoir déterminer les classes de conjugaisons du groupe symétrique par la décomposition en cycles, d’être capable de donner des systèmes de générateurs. L’existence du morphisme signature est un résultat non trivial mais ne peut pas constituer, à elle seule, l’objet d’un développement. Les applications sont nombreuses, il est très naturel de parler des déterminants, des polynômes symétriques ou des fonctions symétriques des racines d’un polynôme. S’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en s’intéressant aux automorphismes du groupe symétrique, à des problèmes de dénombrement ou aux représentations des groupes des permutations.
(2015 : 105 - Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.) Parmi les attendus, il faut savoir relier la leçon avec les notions d'orbites et d'actions de groupes. Il faut aussi savoir décomposer une permutation en cycles à supports disjoints, tant sur le plan théorique (preuve du théorème de décomposition), que pratique (sur un exemple). Il est important de savoir déterminer les classes de conjugaisons du groupe symétrique par la décomposition en cycles, et, pour les candidats confirmés, dominer les problèmes de dénombrement qui en résultent. Des dessins ou des graphes illustrent de manière commode ce que sont les permutations. Par ailleurs, un candidat qui se propose de démontrer que tout groupe simple d'ordre 60 est isomorphe à $\mathfrak{A}_5$ devrait savoir donner des applications à la simplicité d'un groupe. L'existence du morphisme signature est un résultat non trivial mais ne peut pas constituer, à elle seule, l'objet d'un développement. Comme pour toute structure algébrique, il est souhaitable de s'intéresser aux automorphismes d'un groupe, par exemple, à ceux du groupe symétrique. On note que les candidats connaissent en général les applications du groupe symétrique aux polyèdres réguliers de l'espace.
(2014 : 105 - Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.) Il faut relier rigoureusement les notions d'orbites et d'action de groupe. Il faut aussi savoir décomposer une permutation en cycles disjoints, tant sur le plan théorique (preuve du théorème de décomposition), que pratique (sur un exemple). Des dessins ou des graphes illustrent de manière commode ce que sont les permutations. Par ailleurs un candidat qui se propose de démontrer que tout groupe simple d'ordre 60 est isomorphe à $A_5$ devrait aussi savoir montrer que $A_5$ est simple. L'existence du morphisme signature est un résultat non trivial mais ne peut pas constituer, à elle seule, l'objet d'un développement. Comme pour toute structure algébrique, il est souhaitable de s'intéresser aux automorphismes du groupe symétrique. Les applications du groupe symétrique ne concernent pas seulement les polyèdres réguliers. Il faut par exemple savoir faire le lien avec les actions de groupe sur un ensemble fini. Il est important de savoir déterminer les classes de conjugaisons du groupe symétrique par la décomposition en cycles.

Développements :

Plans/remarques :

2019 : Leçon 105 - Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.


2018 : Leçon 105 - Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.


2017 : Leçon 105 - Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.


2016 : Leçon 105 - Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.


2015 : Leçon 105 - Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.


Retours d'oraux :

2019 : Leçon 105 - Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

  • Leçon choisie :

    105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

  • Autre leçon :

    170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Sous-groupes distingués et tables de caractères

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Questions sur le développement, je m'en sors.

    Question 1 : Montrer le théorème de Cayley (tout groupe G de cardinal n s'injecte transitivement dans le groupe symétrique de taille n). Je répond correctement.

    Question 2 : Montrer que le quotient S4/H où H est le groupe composé des doubles transpositions et de l'identité, est isomorphe à S3.

    Indication: Faire agir S4 par conjugaison sur H. Même avec l'indication, je peine.

    Réponse : On voit que, puisque cette action fixe H qui en est le noyau, on peut, avec le premier théorème d' isomorphisme exhiber un morphisme de S4/H dans S3 (car il y a trois classes de conjugaisons restantes et l'action par conjugaison envoie une classe de conjugaison sur une autre).

    Question 3 : Quel groupe est isomorphe à l'ensemble des isométries directes du tétraèdre régulier ? Prouvez le ? Je sais que c'est S4. Mais je n'arrive pas à visualiser correctement quelle symétrie correspond à quelle permutation.

    Idée 1: On peut se ramener aux isométries vectorielles car une isométrie affine qui fixe quatre points fixe leur barycentre. Il suffit donc de considérer les isométries vectorielles dont l'origine est le barycentre du tétraèdre régulier.

    Idée 2: Trouver une symétrie qui effectue une permutation entre deux sommets, qui correspond donc à une transposition.

    Idée 3 : Puisque les transpositions engendrent S4, on a une surjection de S4 dans le groupe des isométries du tétraèdre régulier. Puis voir qu'un endomorphisme qui fixe les quatre sommets du tétraèdre fixe une base. C'est donc l'identité. D'où l'injectivité.

    Je sèche sur les idées 1 et 2 mais j'arrive à donner la conclusion (idée 3).

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury aidant mais l'un d'eux est assez pressé et me laisse peu de temps pour réfléchir à ses questions.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'avais parlé de représentations mais je ne pensais pas être interrogé sur la géométrie affine et les isométries du tétraèdre.

  • Note obtenue :

    11

  • Leçon choisie :

    105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

  • Autre leçon :

    260 : Espérance, variance et moments d’une variable aléatoire.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Lemme de Zolotarev

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :
  • Liste des références utilisées pour le plan :
  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Sur le développement :
    Q: Comment vous calculez la signature d'une permutation je comprends pas bien ce que vous avez écrit.
    Q: Précisez quelques notations.

    Sur le plan :
    Q: Sur les polynômes symétriques : on prend P = X^3 - 3X + 2, est-ce que vous pouvez calculer la somme des carrés de ses racines ?
    J'ai bien galéré, il faut regarder un polynôme symétrique avec trois indéterminées et essayer de calculer les sommes des racines pour se ramener au théorème sur les polynômes symétriques je crois.

    Q: Le centre de S_n ?
    R: On regarde les générateurs et on essaye de comprendre ce qu'il se passe en conjugant...

    Q: Qu'est ce que vous pouvez dire sur une permutation qui est un carré ?
    R: On peut donner un théorème de structure apparemment mais franchement je commençais à avoir du mal.

    Q: Si on a un groupe d'ordre p, et qu'on peut l'injecter dans S_n, que dire de n par rapport à p ?
    R: p >= n

    Q: Même question pour p^\alpha
    R: C'est toujours vrai mais un peu plus difficile à chopper (j'ai pas réussi)

    Q: Sur le théorème de Cayley, à quoi ça ressemble les sous-groupes de S_n isomorphes à G de cardinal n ?
    R: euh....
    Q: Et si on regarde pour n=6 par exemple ?
    R: euh....
    et globalement j'ai galéré gentiment jusqu'à la fin de l'oral là dessus.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury vraiment très sympa, c'est assez perturbant de passer du coq à l'âne comme ça d'une question à l'autre, ils hésitent vraiment pas à s'arrêter à un moment quand ils en ont marre de te voir galérer sur une question ou qu'ils estiment que t'as donné assez d'éléments de réponse.

    Ils donnent pas mal de pistes, si bien que quand tu prends 10s pour réfléchir tu te sens mal d'interrompre un peu le dialogue tellement l'oral ressemble à une discussion !

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Franchement top, l'organisation du concours est tellement rôdée, c'est assez impressionnant à voir, rien que pour ça ça vaut le coup d'y aller ! C'est assez intéressant d'avoir vraiment réfléchi aux leçons avant, comme ça entre le moment où tu tire le sujet et le moment où tu vas te poser dans la salle, tu peux commencer à réfléchir à ce que tu vas faire, les bouquins que tu vas utiliser, tout ça.

    Et comme annoncé : faites vraiment pas les cons quand vous écrivez des trucs dans vos plans, faut vraiment savoir ce que ça veut dire parce que le jury sait aller chercher là où ça fait mal, et je suppose que c'est souvent sur les mêmes points pour une leçon donnée donc ils mettent pas longtemps à trouver ! En préparant je me suis dit allez on met les polynômes symétriques et bingo j'ai eu une question là dessus direct !

  • Note obtenue :

    10.25


2017 : Leçon 105 - Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.

  • Leçon choisie :

    105 : Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.

  • Autre leçon :

    126 : Exemples d'équations diophantiennes.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Isomorphisme kleinien

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    - Jury très attentif pour le développement puis beaucoup de questions sur les résultats utilisés (classification des formes quadratiques sur un corps fini, pourquoi le Frobenius permute les racines du polynôme minimal (...) ainsi que quelques questions sur le groupe dérivé).
    - Jury moins attentif sur le plan (une des jury m'a demandé pourquoi je n'avais pas parlé de groupes d'isométries de solide, ma réponse fut de lui indiquer le numéro correspondant dans le plan...).
    - Très insistant sur les polynômes symétriques et l'algorithme associé, résolution sur un exemple.
    - Rapide question sur le nombre minimal de transposition pour engendrer S_n.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Seul un des jurys posait des questions, tendance à l'aide, pas cassant du tout... Certains passages ressemblaient plus à une discussion qu'à autre chose.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'ai mis un peu de théorie de Galois, j'étais surpris que le jury ne parte pas dans cette direction. Sinon il faut veiller à tout définir même les choses évidentes comme le S... de SL_n(K), SO(n,K), SO(q)...

  • Note obtenue :

    18.75


2015 : Leçon 105 - Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.

  • Leçon choisie :

    105 : Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.

  • Autre leçon :

    158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Pas de réponse fournie.

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Jury : Est-ce que la représentation standard est toujours utile ?
    Votre serviteur : Oui, mais autant on peut trouver la table de $\mathfrak{S}_4$, autant c'est moins évident pour les autres $\mathfrak{S}_n$. D'ailleurs, peut-être que ça ne donne qu'un caractère en plus parfois ?* [Regarde pour la classe des transpositions.] Ah, pour $n\neq 3$ ça donne bien toujours deux représentations. Et pour $n=3$ [Calculs.] le caractère tordu est le même.
    * Ça donne toujours un caractère en plus, et parfois la torsion par la signature en donne un deuxième gratuit.

    J (c'est le vieux qui baragouine) : Est-qu'il y a un élément d'ordre 15 dans $\mathfrak{S}_5$ ?
    VS : Non parce que…
    J : Regardez le cardinal de $\mathfrak{S}_5$.
    VS, un peu agacé : C'est 120, donc ça ne nous aide pas. Par contre, on peut conclure parce que si on avait un élément d'ordre 15, blablabla, d'après la décomposition en produit de cycles, blablabla.
    J : Alors quel est le premier $\mathfrak{S}_n$ pour lequel on a un élément d'ordre 15 ?
    VS : $\mathfrak{S}_8$ pour les mêmes raisons.

    J : Si on regarde les isométries du carrés comme un sous-groupe de $\mathfrak{S}_4$, qu'est-ce qu'on trouve ?
    VS : Alors il y a telle symétrie qui donne telle permutation, telle rotation qui donne telle permutation…
    J : Qu'est-ce que vous êtes en train de construire comme groupe ?
    VS : Le groupe diédral $D_4$ ?
    J : Et est-ce qu'on peut généraliser le résultat ?
    VS : oui, $D_n$ est toujours inclus dans $\mathfrak{S}_n$.

    J : Que peut-on dire des représentations des groupes de cardinal $p^3$ ?
    VS (je fais la version sans l'hésitation, ça a pris un certain temps) : Soit le groupe est commutatif, et on connait ses représentations, soit $Z(G)$ est de cardinal $p$ (centre non trivial et quotient non cyclique). Ensuite, on peut regarder les représentations de dimension 1, qui se factorisent par le groupe dérivé. Je n'ai pas été franchement plus loin.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Plutôt faisable, pas facile mais pas franchement dur non plus. Les gens ont été plutôt cools, sauf un vieux qui marmonnait et qui ne faisait aucun effort d'articulation. Mais les autres lui demandaient de se taire, donc ça allait.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas du tout de questions sur le plan, ça m'a étonné.

  • Note obtenue :

    17.25


Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Cours d'algèbre , Perrin (utilisée dans 285 versions au total)
Fondamentaux d'Algèbre et d'Arithmétique, Dany-Jack Mercier (utilisée dans 3 versions au total)
Invitation à l'algèbre, Alain Jeanneret et Daniel Lines (utilisée dans 7 versions au total)
Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 115 versions au total)