Développement : Simplicité du groupe alterné An

Détails/Enoncé :

Le groupe alterné $\mathfrak{A}_n$ est simple si $n \ge 5$.

Recasages pour l'année 2025 :

Autres années :

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    D'après moi pour les leçons : 103, 104, 105 et 108.

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
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    Se fait bien en 15 minutes mais il faut savoir aller vite sur certains points (par exemple ne pas détailler comment vous dénombrez les éléments de $\mathfrak{A}_5$). Assez bénéfique pour travailler les permutations je trouve.
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    La partie sur les 5-cycles n'est pas dans le livre, il faut savoir la refaire tout seul.
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  • Remarque :
    Pas de commentaire spécial sur ce développement, je l'ai trouvé un peu abrupt au début mais en fait ça va quand on le travaille un peu. Je trouve qu'il se retient très bien par contre !

    Je prends ce développement pour les leçons 103, 104, 105 et 108.

    On trouvera la preuve aux alentours de la page 29.
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  • Remarque :
    La preuve, telle qu'elle est rédigée, est un "mix" entre celles qui sont disponibles dans le Perrin et le Rombaldi.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
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  • Remarque :
    Version manuscrite, désolée pour l'écriture .

    Le développement ne tenais pas en 15 minutes (du moins avec ma dose de détails). J'ai préféré garder le cas n=3 et 4 quitte à délaisser la preuve de l'existence de F dans la partie 3) b). Choix discutable, à vous de voir ce que vous préférez mettre en avant.

    Il se peut qu'il reste des coquilles, n'hésitez pas à me contacter au besoin.
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    Attention aux éventuelles coquilles.

    Développement archi classique, pas très dur mais j'aime pas forcément. Il faut savoir parler de A2, A3 et A4! Il est peut-être de savoir en quoi ce résultat est important (je crois que ca aidé Galois pour la non resolubité par radicaux de certains polynômes).
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Cours d'algèbre , Perrin (utilisée dans 441 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 510 versions au total)
Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy (utilisée dans 119 versions au total)
Thèmes pour l'agrégation de mathématiques - Eléments de cours, développements et exercices corrigés, Houkari (utilisée dans 15 versions au total)
Algèbre , Lang (utilisée dans 4 versions au total)