Profil de Baptiste Breton

Transfert de factorialité de Gauss

Développement :
Transfert de factorialité de Gauss
Remarque :
- Lemme de Gauss sur le contenu d'un produit de polynômes ;
- Description des irréductibles de $A[X]$ en fonction de ceux de $A$ et de ceux de $\mathrm{Frac}(A)[X]$ ;
- Transfert de factorialité de $A$ à $A[X]$ ;
- Compléments : autre preuve du lemme de Gauss plus efficace et plus conceptuelle / discussions autour des anneaux de polynômes en plusieurs variables, voire en un nombre infini dénombrable de variables pour construire des exemples classiques d'anneaux factoriels non principaux, ou factoriels non noethériens.

Leçons concernées : 122, 141, 142
Référence :
- Cours d'algèbre , Perrin
Fichier :
- Transfert de factorialité de Gauss

Algorithme de Berlekamp

Développement :
Algorithme de Berlekamp
Remarque :
- Théorème de décomposition des polynômes sur un corps fini ;
- Application à l'irréductibilité d'un polynôme de $\mathbb{F}_p[X]$ ;
- Complément pour appliquer l'algorithme sur un polynôme quelconque.

Leçons concernées : 123, 141, 142
Référence :
- Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré
Fichier :
- Algorithme de Berlekamp

Automorphismes de Sn

Développement :
Automorphismes de Sn
Remarque :
- Calcul des automorphismes de $\mathfrak{S}_n$ pour $n \neq 6$ par la deuxième méthode proposée dans le Perrin : on utilise les actions de certains centralisateurs ;
- Complément sur le cas $n=6$ (on détaille les arguments donnés dans le Perrin).

Leçons concernées : 101, 103, 104, 105, 108
Référence :
- Cours d'algèbre , Perrin
Fichier :
- Automorphismes de Sn

Dénombrement des matrices diagonalisables de Mn(Fq)

Développement :
Dénombrement des matrices diagonalisables de Mn(Fq)
Remarque :
- Calcul du cardinal de l'ensemble des matrices diagonalisables de $\mathcal{M}_n(\mathbb{F}_q)$ ;
- Calcul de la probabilité asymptotique d'obtenir une matrice diagonalisable lors d'un tirage uniforme sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{F}_q)$ lorsque $q$ tend vers $+\infty$.

Leçons concernées : 101, 123, 152, 190
Référence :
- Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
Fichier :
- Cardinal de Dn(Fq)

Par cinq points passe une conique

Développement :
Par cinq points passe une conique
Remarque :
- Existence d'une conique passant par cinq points quelconques du plan affine ;
- Discussion sur l'unicité d'une telle conique, et sur son caractère non dégénéré (ou propre) ;
- Compléments pour justifier quelques outils utilisés lors du développement.

Leçons concernées : 162, 171, 181, 191
Références :
- L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte
- Géométrie analytique classique , Eiden
Fichier :
- Conique des 5 points

Théorème du min-max de Courant-Fischer et continuité des valeurs propres dans le cas hermitien

Développement :
Théorème du min-max de Courant-Fischer et continuité des valeurs propres dans le cas hermitien
Remarque :
- Théorème de Courant-Fischer sur le quotient de Rayleigh ;
- Inégalités de Weyl et conséquence sur la continuité des valeurs propres.

Leçons concernées : 153, 157, 158
Référence :
- Analyse matricielle , Rombaldi
Fichier :
- Théorème de Courant-Fischer

Condition de cyclicité des (Z/nZ)^x

Développement :
Condition de cyclicité des (Z/nZ)^x
Remarque :
- Cyclicité de $(\mathbb{Z}/p^\alpha\mathbb{Z})^\times$ pour $p$ premier impair et $\alpha \geqslant 1$ ;
- Condition sur $n$ pour que $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$ soit cyclique.

Leçons concernées : 104, 108, 120, 121
Références :
- Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
- Cours d'algèbre , Perrin
Fichier :
- Cyclicité de (Z/nZ)*

Déterminant de Gram, projection sur un sev et inégalité d'Hadamard

Développement :
Déterminant de Gram, projection sur un sev et inégalité d'Hadamard
Remarque :
- Expression de la distance à un sous-espace par les déterminants de Gram ;
- Inégalité sur le déterminant de Gram et inégalité d'Hadamard.

Leçons concernées : 149, 161
Référence :
- Algèbre , Gourdon
Fichier :
- Déterminant de Gram

Dimension du commutant

Développement :
Dimension du commutant
Remarque :
- Invariance du rang par extension ;
- Minoration de la dimension du commutant ;
- Équivalence entre $\mathcal{C}(A) = \mathbb{K}[A]$ et $\mu_A = \chi_A$.

Leçons concernées : 148, 162
Référence :
- Oraux X-ENS Algèbre 2 , Francinou, Gianella, Nicolas
Fichier :
- Dimension du commutant

Théorème de Dirichlet faible

Développement :
Théorème de Dirichlet faible
Remarque :
- Les polynômes cyclotomiques sont dans $\mathbb{Z}[X]$ ;
- Version faible du théorème de Dirichlet.

Leçons concernées : 102, 120, 121
Référence :
- Théorie de Galois, Gozard
Fichier :
- Dirichlet faible

Ellipsoïde de John Loewner

Développement :
Ellipsoïde de John Loewner
Remarque :
- Expression de la norme d'une matrice symétrique via sa forme quadratique associée ;
- Lemme préliminaire sur les ellipsoïdes ;
- Expression du volume d'un ellipsoïde en fonction du déterminant de la matrice associée à la forme quadratique ;
- Stricte log-concavité du déterminant sur $\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ ;
- Existence et unicité de l'ellipsoïde de John-Loewner ;
- Compléments : commentaires sur le fait que les ellipsoïdes considérés sont centrés en l'origine / application aux sous-groupes compacts de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$.

Leçons concernées : 157, 203, 206, 219, 229, 253
Références :
- Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis
- L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte
Fichier :
- Ellipsoïde de John-Loewner

Réduction des endomorphismes normaux

Développement :
Réduction des endomorphismes normaux
Remarque :
- Un endomorphisme d'un $\mathbb{R}$-espace vectoriel admet toujours une droite ou un plan stable ;
- Si $u$ est normal et $F$ est $u$-stable, alors $F^\perp$ est $u$-stable ;
- Réduction des endomorphismes normaux d'un plan euclidien ;
- Théorème général en dimension quelconque.

Leçons concernées : 150, 151, 152, 158
Référence :
- Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
Fichier :
- Endomorphismes normaux

Endomorphismes semi-simples

Développement :
Endomorphismes semi-simples
Remarque :
- Les projecteurs spectraux sont des polynômes en l'endomorphisme ;
- Décomposition d'un sous-espace stable ;
- Preuve de l'implication $\mu_f$ irréductible $\Rightarrow$ $f$ semi-simple en introduisant une autre structure linéaire ;
- Caractérisation de la semi-simplicité par le polynôme minimal.

Leçons concernées : 122, 150, 151
Références :
- Algèbre , Gourdon
- L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte
Fichier :
- Endomorphismes semi-simples

Enveloppe convexe de On(R)

Développement :
Enveloppe convexe de On(R)
Remarque :
- Caractérisation de l'appartenance à l'enveloppe convexe fermée d'une partie par les formes linéaires ;
- Calcul de l'enveloppe convexe de $\mathcal{O}_n(\mathbb{R})$ ;
- Compléments : preuve de la projection sur un convexe fermé dans le cadre euclidien / preuve du théorème de Carathéodory et de son corollaire utilisé dans le développement / preuve du fait que les éléments de $\mathcal{O}_n(\mathbb{R})$ sont exactement les points extrémaux de la boule unité de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.

Leçons concernées : 159, 161, 181
Références :
Fichier :
- Enveloppe convexe de On(R)

Formes de Hankel

Développement :
Formes de Hankel
Remarque :
- Définition de la forme $q$ associée à $P = \prod\limits_{k=1}^t(X-\alpha_k)^{m_k} \in \mathbb{R}[X]$ de degré $n$ par $q(R) = \sum\limits_{k=1}^t m_kR(\alpha_k)^2$ pour $R \in \mathbb{R}_{n-1}[X]$ ;
- Lien entre la signature de $q$ et le nombre de racines (réelles et non réelles) distinctes de $P$ ;
- Compléments : comment déterminer la signature de $q$ sans connaître les racines de $P$ en utilisant les sommes de Newton de $P$ / application au degré $2$ pour retrouver les résultats connus sur la résolution des équations quadratiques.

Leçons concernées : 144, 170, 171
Référence :
- Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
Fichier :
- Formes de Hankel

Morphismes continus du cercle dans GLn(R)

Développement :
Morphismes continus du cercle dans GLn(R)
Remarque :
- Morphismes continus de $\mathbb{R}$ dans $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ via l'exponentielle matricielle ;
- Morphismes continus de $\mathbb{S}^1$ dans $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ ;
- Compléments : précisions sur le passage $\mathbb{C}$-semblables $\Rightarrow$ $\mathbb{R}$-semblables / lien entre la diagonalisabilité d'une matrice et de son exponentielle.

Leçons concernées : 102, 106, 155
Référence :
- Oraux X-ENS Algèbre 2 , Francinou, Gianella, Nicolas
Fichier :
- Morphismes continus de S^1 dans GLn(R)

Théorème de Wantzel

Développement :
Théorème de Wantzel
Remarque :
- Stabilité des nombres constructibles positifs par racine carrée ;
- Théorème de Wantzel et corollaire sur le degré des nombres constructibles ;
- Impossibilité de la duplication du cube et de la trisection de l'angle.

Leçons concernées : 125, 127, 148, 191
Références :
- Théorie de Galois, Gozard
- Cours d'algèbre , Perrin
Fichier :
- Nombres constructibles

Nombres de Bell

Développement :
Nombres de Bell
Remarque :
- Formule de récurrence sur les nombres de Bell ;
- Expression explicite par les séries génératrices exponentielles et les développements en série entière.

Leçons concernées : 190, 243
Références :
- Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis
- Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas
Fichier :
- Nombres de Bell

Réduction de Jordan (par la dualité)

Développement :
Réduction de Jordan (par la dualité)
Remarque :
- Construction de sous-espaces cycliques par la dualité pour un endomorphisme nilpotent ;
- Réduction de Jordan des endomorphismes nilpotents ;
- Réduction de Jordan générale.

Leçons concernées : 151, 156, 159
Référence :
- Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
Fichier :
- Réduction de Jordan

Simplicité du groupe alterné An

Développement :
Simplicité du groupe alterné An
Remarque :
- Pour $n \geqslant 5$, les $3$-cycles sont $\mathfrak{A}_n$-conjugués et engendrent $\mathfrak{A}_n$ ;
- Pour $n \geqslant 5$, $\mathfrak{A}_n$ est simple ;
- Pour $n \geqslant 5$, les sous-groupes distingués de $\mathfrak{S}_n$ sont $\{\mathrm{id}\}$, $\mathfrak{A}_n$ et $\mathfrak{S}_n$.

Leçons concernées : 103, 105, 108
Références :
- Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
- Cours d'algèbre , Perrin
Fichier :
- Simplicité de An

Critère de nilpotence par la trace et théorème de Burnside

Développement :
Critère de nilpotence par la trace et théorème de Burnside
Remarque :
- Critère de nilpotence par la trace en caractéristique nulle ;
- Théorème de Burnside sur les sous-groupes de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ d'exposant fini ;

Leçons concernées : 104, 106, 156
Référence :
- Oraux X-ENS Algèbre 2 , Francinou, Gianella, Nicolas
Fichier :
- Théorème de Burnside

Théorème de Flanders

Développement :
Théorème de Flanders
Remarque :
- Majoration de l'indice de Witt pour une certaine forme quadratique réelle ;
- Théorème de Flanders sur la dimension d'un sous-espace matriciel de rang maximal donné ;
- Tout sous-espace de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ de codimension $< n$ contient une matrice inversible.

Leçons concernées : 148, 149, 170
Référence :
- Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
Fichier :
- Théorème de Flanders

Théorème des deux carrés de Fermat (par les entiers de Gauss)

Développement :
Théorème des deux carrés de Fermat (par les entiers de Gauss)
Remarque :
- L'anneau des entiers de Gauss est euclidien, d'inversibles $\{\pm1,\pm i\}$ ;
- Un nombre premier $p$ est somme de deux carrés si et seulement si $p = 2$ ou $p \equiv 1\ [4]$ ;
- Théorème des deux carrés de Fermat ;
- Description des irréductibles de $\mathbb{Z}[i]$.

Leçons concernées : 121, 122, 127
Référence :
- Cours d'algèbre , Perrin
Fichier :
- Théorème des deux carrés

Théorème de descente de Springer pour les formes quadratiques

Développement :
Théorème de descente de Springer pour les formes quadratiques
Remarque :
- Réduction au cas d'une extension monogène ;
- Théorème de Springer par récurrence sur le degré impair de l'extension ;
- Remarque sur la nécessité de l'hypothèse "degré impair".

Attention, comme le mentionne Wulfhartus, la référence fait une erreur en affirmant qu'un certain polynôme est de degré pair. Ce n'est a priori pas le cas en général, mais je pense avoir corrigé cette erreur dans ma version.

Leçons concernées : 125, 141, 170
Référence :
- Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
Fichier :
- Théorème de Springer

Profil de Baptiste Breton

Informations :

Ses versions de développements :

Transfert de factorialité de Gauss

Algorithme de Berlekamp

Automorphismes de Sn

Dénombrement des matrices diagonalisables de Mn(Fq)

Par cinq points passe une conique

Théorème du min-max de Courant-Fischer et continuité des valeurs propres dans le cas hermitien

Condition de cyclicité des (Z/nZ)^x

Déterminant de Gram, projection sur un sev et inégalité d'Hadamard

Dimension du commutant

Théorème de Dirichlet faible

Ellipsoïde de John Loewner

Réduction des endomorphismes normaux

Endomorphismes semi-simples

Enveloppe convexe de On(R)

Formes de Hankel

Morphismes continus du cercle dans GLn(R)

Théorème de Wantzel

Nombres de Bell

Réduction de Jordan (par la dualité)

Simplicité du groupe alterné An

Critère de nilpotence par la trace et théorème de Burnside

Théorème de Flanders

Théorème des deux carrés de Fermat (par les entiers de Gauss)

Théorème de descente de Springer pour les formes quadratiques

Ses plans de leçons :