Développement : Théorème du min-max de Courant-Fischer et continuité des valeurs propres dans le cas hermitien

Détails/Enoncé :

Le théorème du min-max de Courant-Fischer donne une formule de calcul des valeurs propres d'un endomorphisme auto-adjoint $u$ d'un espace euclidien ou hermitien $E$ en fonction du quotient de Rayleigh-Ritz :
$$
\forall x \in E\setminus\{0\}, \quad R_u(x) = \frac{\langle u(x),x \rangle}{\Vert x \Vert^2}.
$$
Il est connu que son maximum est la plus grande valeur propre de $u$ et que son minimum est la plus petite valeur propre de $u$, mais quid des autres ? Ce théorème nous dit que, si $E$ est de dimension $n$, alors, en notant $\lambda_1(u) \leq \ldots \leq \lambda_n(u)$ les valeurs propres de $u$, on a :
$$
\forall k \in [\![1,n]\!], \quad \lambda_k(u) = \min_{F \in \mathcal{F}_k}\left(\max_{x \in F\setminus\{0\}} R_u(x) \right) = \max_{F \in \mathcal{F}_{n-k+1}}\left(\min_{x \in F\setminus\{0\}} R_u(x) \right)
$$
où $\mathcal{F}_k$ désigne l'ensemble des sous-espaces vectoriels de $E$ de dimension $k$.
De ce théorème peut se déduire que les applications $u \mapsto \lambda_k(u)$ sont continues, et même 1-lipschitziennes pour la norme subordonnée à la norme euclidienne sur $E$ !

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