(2023 : 149 - Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.)
Cette leçon doit aborder le bagage théorique propre aux vecteurs propres et aux valeurs propres et mettre en lumière l'exploitation de techniques d'algèbre ou d'analyse pour aborder leur recherche. Après avoir exploré la détermination théorique exacte des éléments propres, on s'intéresse à des exemples de matrices dont les éléments propres sont remarquables (matrices compagnons, matrices circulantes, matrices d'ordre ni, matrices stochastiques...) et donne des exemples de situations où la connaissance d'éléments propres s'avère utile. On doit connaître les limites du calcul exact, même si le cadre mathématique nécessaire est non exigible et hors programme et introduire sur $\mathbb{R}$ ou \mathbb{C}$ une ou plusieurs méthodes itératives, dont on démontre la convergence. On peut citer les méthodes de la puissance, puissance inverse et $QR$ pour la recherche d'éléments propres. Les notions de norme matricielle, de rayon spectral doivent être maîtrisées. Le lien avec la convergence des suites du type $X_{n+1} = A X_n$ doit être connu et illustré. On peut aussi s'intéresser à la localisation des valeurs propres.
Pour aller plus loin, on peut aborder la problématique du conditionnement en distinguant le problème général et le cas particulier des matrices auto-adjointes, s'intéresser aux liens qui peuvent aussi être faits avec la théorie des représentations et la transformée de Fourier rapide, ainsi qu'au comportement de la suite des itérées de matrices stochastiques ou plus généralement de matrices à coefficients positifs, au moins dans des cas particuliers.
171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Longs échanges à propos du développement, quelques questions sur le plan. Puis un petit exercice (trouver le maximum sur la sphère unité de la fonction $x \mapsto \langle u(x), x \rangle$ pour $u$ endomorphisme symétrique d'un espace vectoriel de dimension finie).
RAS. Le jury était peu bavard, mais efficace dans ses questions. Ils cherchent vraiment à tester la compréhension des résultats écrits par le candidat. Ah si, un membre a qualifié ma défense du plan de "lecture insipide" (mais c'était probablement le cas, ce n'est pas un point sur lequel j'ai travaillé au cours de l'année).
Alors, premier jour donc pas mal d'organisation à expliquer. On tire les couplages, et je me décompose littéralement en découvrant deux sujets que je ne maîtrise pas. Je me ressaisis et choisis la leçon qui me parle le plus, et dont les développements sont les plus simples (histoire de réussir au moins ça).
La préparation se passe bien, mais je m'y étais préparé au cours de l'année. J'ai globalement fait le plan que j'avais prévu, qu'on peut découper en deux grosses parties : calcul exact de valeurs propres / localisation et calcul approché de valeurs propres.
Pendant l'oral j'ai l'impression de plutôt bien réussir sur les questions qui concernent la première partie, mais je n'ai quasi rien réussi sur la deuxième. Je ressors donc extrêmement pessimiste de ce premier jour.
Finalement, la note obtenue est au-dessus de mes espérances.
Au niveau du temps, on a bien eu pile poil les trois heures de préparation et on a même un petit temps pour relire le développement choisi par le jury. Donc il faut penser à le rédiger proprement au brouillon.
10.25