Leçon 149 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.

(2022) 149
(2024) 153

Dernier rapport du Jury :

(2023 : 149 - Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.) Cette leçon doit aborder le bagage théorique propre aux vecteurs propres et aux valeurs propres et mettre en lumière l'exploitation de techniques d'algèbre ou d'analyse pour aborder leur recherche. Après avoir exploré la détermination théorique exacte des éléments propres, on s'intéresse à des exemples de matrices dont les éléments propres sont remarquables (matrices compagnons, matrices circulantes, matrices d'ordre ni, matrices stochastiques...) et donne des exemples de situations où la connaissance d'éléments propres s'avère utile. On doit connaître les limites du calcul exact, même si le cadre mathématique nécessaire est non exigible et hors programme et introduire sur $\mathbb{R}$ ou \mathbb{C}$ une ou plusieurs méthodes itératives, dont on démontre la convergence. On peut citer les méthodes de la puissance, puissance inverse et $QR$ pour la recherche d'éléments propres. Les notions de norme matricielle, de rayon spectral doivent être maîtrisées. Le lien avec la convergence des suites du type $X_{n+1} = A X_n$ doit être connu et illustré. On peut aussi s'intéresser à la localisation des valeurs propres. Pour aller plus loin, on peut aborder la problématique du conditionnement en distinguant le problème général et le cas particulier des matrices auto-adjointes, s'intéresser aux liens qui peuvent aussi être faits avec la théorie des représentations et la transformée de Fourier rapide, ainsi qu'au comportement de la suite des itérées de matrices stochastiques ou plus généralement de matrices à coefficients positifs, au moins dans des cas particuliers.

(2022 : 149 - Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.) Cette leçon doit aborder la notion de vecteurs propres et de valeurs propres de façon générale et mettre en lumière l'exploitation de techniques d'algèbre ou d'analyse pour aborder leur recherche. Après avoir exploré la détermination théorique exacte des éléments propres, on s'intéresse à des exemples de matrices dont les éléments propres sont remarquables (matrices compagnons, matrices circulantes, matrices d'ordre fini...) et donné des exemples de situations où la connaissance d'éléments propres s'avère utile. On doit connaître les limites du calcul exact, même si le cadre mathématique nécessaire est non exigible et hors programme et introduire sur R ou C une ou plusieurs méthodes itératives, dont on démontre la convergence. Les notions de norme matricielle, de rayon spectral doivent être maîtrisées. Le lien avec la convergence des suites du type $X_{n+1} = AX_n$ doit être connu et illustré. On peut s'intéresser à la localisation des valeurs propres. La problématique du conditionnement doit être abordée en distinguant le problème général et le cas particulier des matrices auto-adjointes. Parmi les points intéressants à développer, on peut citer les méthodes de la puissance, puissance inverse et QR pour la recherche d'éléments propres. S'ils le désirent, les candidats peuvent s'intéresser aux liens qui peuvent aussi être fait avec la théorie des représentations et la transformée de Fourier rapide, ainsi qu'au comportement de la suite des itérées de matrices stochastiques ou plus généralement de matriices à coefficients positifs, au moins dans des cas particuliers.

Développements :

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2023 : Leçon 149 - Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.

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Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 531 versions au total)
Petit guide de calcul différentiel [Doublon], François Rouvière (utilisée dans 19 versions au total)
Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation , Ciarlet (utilisée dans 64 versions au total)
Algèbre linéaire , Grifone (utilisée dans 102 versions au total)
Algèbre linéaire numérique., Allaire, Grégoire & Kaber, Sidi Mahmoud (utilisée dans 8 versions au total)
Algèbre , Gourdon (utilisée dans 341 versions au total)
Algèbre linéaire réduction des endomorphismes, R. Mansuy, R. Mneimné (utilisée dans 62 versions au total)
Analyse matricielle , Rombaldi (utilisée dans 21 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 169 versions au total)
Algèbre linéaire numérique, Allaire (utilisée dans 25 versions au total)
Analyse Numérique, Francis Filbet (utilisée dans 5 versions au total)
Matrices , Serre (utilisée dans 10 versions au total)