Développement : Décompositions LU et de Cholesky

Détails/Enoncé :

Théorème: (décomposition LU) Soit $A=(a_{i,j})\in\mathcal{M}_n(\mathbf{K})$ telle que: $\forall k\in [[1;n]]$

\[
\Delta^k :=
\begin{bmatrix}
a_{1,1} \dots a_{1,k}\\
\ddots \\
a_{k,1} \dots a_{k,k}
\end{bmatrix} \in GL_k(\mathbf{K}).
\]
Alors: $\exists ! L,U\in GL_n(\mathbf{K})$ telles que: $A=LU$ avec $L$ triangulaire inférieure avec des 1 sur sa diagonale et $U$ triangulaire supérieure.


Théorème: (décomposition de Cholesky) Soit $A\in S^{++}_n(\mathbf{R})$.
Alors: $\exists ! B\in GL_n(\mathbf{R})$ telle que $A=BB^*$ avec $B$ triangulaire inférieure à diagonale positive.

Recasages pour l'année 2024 :

Versions :

  • Auteur :
  • Remarque :
    Version manuscrite, désolée pour l'écriture .

    Tel quel je le trouvais un peu forcé pour la leçon 162, d'où le blabla au crayon de papier à la fin. C'est juste les idées phares mais en gros j'expliquais rapidement en quoi cette décomposition est intéressante, en me servant du résultat 2) de la proposition. Pour cette leçon je ne montrais pas le théorème de Cholesky que je gardais pour la leçon 157 où dans ce cas je ne montrais pas le 2) de la proposition. A adapter selon votre rapidité et aisance.

    Il se peut qu'il reste des coquilles, n'hésitez pas à me contacter au besoin.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Algèbre linéaire numérique, Allaire (utilisée dans 16 versions au total)