Développement : Décompositions LU et de Cholesky

Détails/Enoncé :

Théorème: (décomposition LU) Soit $A=(a_{i,j})\in\mathcal{M}_n(\mathbf{K})$ telle que: $\forall k\in [[1;n]]$

\[
\Delta^k :=
\begin{bmatrix}
a_{1,1} \dots a_{1,k}\\
\ddots \\
a_{k,1} \dots a_{k,k}
\end{bmatrix} \in GL_k(\mathbf{K}).
\]
Alors: $\exists ! L,U\in GL_n(\mathbf{K})$ telles que: $A=LU$ avec $L$ triangulaire inférieure avec des 1 sur sa diagonale et $U$ triangulaire supérieure.


Théorème: (décomposition de Cholesky) Soit $A\in S^{++}_n(\mathbf{R})$.
Alors: $\exists ! B\in GL_n(\mathbf{R})$ telle que $A=BB^*$ avec $B$ triangulaire inférieure à diagonale positive.

Versions :