Leçon 154 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.

(2023) 148

Dernier rapport du Jury :

(2023 : 148 - Exemples de décompositions de matrices. Applications.) [Rapport du jury 2022 et non 2023] Dans cette leçon, le candidat choisit quelques exemples de décompositions de matrices qu'il présente avec quelques applications significatives. Citons les plus classiques : décomposition LU, décomposition de Dunford, décomposition de Frobenius, décomposition de Jordan, décomposition QR, décomposition polaire, décomposition de Cholesky... Il ne s'agit pas d'établir un catalogue complet, mais plutôt de faire un choix avec des méthodes et des domaines d'applications variées. Les aspects de constructions effectives ou approches algorithmiques doivent être abordés. Les relations entre les différentes décompositions proposées, s'il y en a, doivent être connues.

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Développements :

Plans/remarques :

2024 : Leçon 154 - Exemples de décompositions de matrices. Applications.

Plan de ma_tilde

Auteur :
ma_tilde
Remarque :
Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.

Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.

Bon courage pour votre préparation !
Références :
Fichier :
- Leçon_154.pdf

Plan de Hugo

Auteur :
Hugo
Remarque :
Leçon assez sympa à préparer, mais plus compliquée qu'il n'y paraît. Bien s'entraîner à faire quelques exercices de décomposition avant de la choisir.

Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
Fichier :
- 154.pdf

Plan de Théo Ternier

Auteur :
Théo Ternier
Remarque :
Voici un plan possible pour la leçon 154.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)
Références :
Fichier :
- Leçon 154.pdf

Plan de Mathis Lemay

Auteur :
Mathis Lemay
Remarque :
J'ai trouvé cette leçon très cool, ça a été l'occasion pour moi de découvrir plein de choses que je ne connaissais pas (qui étaient passées à la trappe dans les enseignements que j'avais reçus jusqu'à la prépa agreg) : décompositions LU, Cholesky, QR, Jordan et Frobenius (que j'avais vus avant mais j'ai pu les approfondir ici), décomposition polaire...
Concernant Jordan et Frobenius, comme j'avais bien bossé les endomorphismes cycliques, je connaissais bien Frobenius et j'en déduisais Jordan. Problème : je connaissais assez peu la méthode par les noyaux itérés et je recommanderais plutôt d'apprendre Jordan en passant par là ; C'est utile pour résoudre certains exos théoriques.
Il est important de noter que si on parle d'une décomposition dans le plan, il faut savoir faire en pratique : certaines démos sont "algorithmiques" et permettent de savoir faire sur une matrice de petite taille.
On peut bien sûr aussi parler du pivot de Gauss dans cette leçon.
Références :
Fichier :
- Leçon 154.pdf

Plan de TC&WM

Auteur :
TC&WM
Remarque :
Retrouvez tous nos plans de leçons ainsi que les fichiers latex associés à nos leçons sur notre site : https://sites.google.com/view/tribalchiefandwiseman/home?authuser=0
Bonne preparation à vous !

Plan de Tintin

Auteur :
Tintin
Remarque :
Cette leçon est l'occasion de faire le point sur la réduction de matrices (diagonalisation, trigonalisation, décomposition de Dunford, décomposition de Jordan, décomposition de Frobenius, etc.) ainsi que des générateurs du groupe linéaire. Il n'est pas essentielle de présenter toutes les décompositions de matrices que l'on connaît, mais il est important de noter que si on parle d'une décomposition dans le plan, il faut savoir la faire en pratique : certaines démonstrations sont "algorithmiques" et permettent de savoir faire sur une matrice de petite taille.
Attention à la décomposition de Dunford car c'est un développement très (vraiment trop !!) vu donc il vaut mieux trouver autre chose pour se démarquer un peu (d'autant plus que le jury vous attends au tournant à la moindre erreur et sera plus vite lassé étant donné qu'il l'a déjà vu 10 fois avant). De plus, le lemme des noyaux peut se démontrer de plusieurs manières en fonction du résultat (juste la décomposition en somme directe ou en plus des résultats sur les projecteurs) et cela peut donc également poser problème...

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
Références :
Fichier :
- Leçon 154 - Exemples de décompositions de matrices. Applications..pdf

2023 : Leçon 148 - Exemples de décompositions de matrices. Applications.

Plan de raph.ou67

Auteur :
raph.ou67
Remarque :
Références en fin de plan avec les notations, essentiellement le Rombaldi à part pour mes développements (Dunford et décompo. polaire).

La partie algorithmique mériterait d'être plus poussée (QR, Iwasawa entre autres) mais mon quotient intellectuel ne me le permettrait pas le jour J.

On peut remplacer le Isenmann par le Gourdon.
Références :
Fichier :
- 148 Exemples de décompositions de matrices. .pdf

Plan de Laeti

Auteur :
Laeti
Remarque :
Les références sont à la fin du plan.
On peut prendre le Rombaldi à la place de Carnet de voyage. C'est juste que je préfère la preuve de la décomposition LU dans Carnet de voyage :)

On peut aussi développer un peu plus la sous-partie sur la factorisation QR et peut-être mettre une partie sur l'aspect algorithmique de la décomposition de Dunford.

Développements choisis :
1) Décomposition de Dunford + Application à l'exponentielle de matrice
2) Décomposition LU + Cholesky

Plan :
I. Réduction de matrices
1) Eléments propres
2) Diagonalisation
3) Trigonalisation
4) Décomposition de Jordan

II. Approche linéaire
1) Prérequis
2) Décomposition de Dunford
3) Théorème spectral et décomposition polaire

III. Point de vue algorithmique
1) Méthode du pivot de Gauss
2) Factorisation LU et décomposition de Cholesky
3) Factorisation QR
Références :
Fichier :
- 148_Exemples_de_decomposition_de_matrices.pdf

Plan de Crépusculaire

Auteur :
Crépusculaire
Remarque :
Développements choisis : Décomposition polaire et Décompositions LU + Cholesky.
Il faut peut-être ajouter les algorithmes en annexe.
Références :
Fichier :
- 148.pdf

Plan de EWna

Auteur :
EWna
Remarque :
La leçon d'algèbre que j'aime le moins. Ce plan est bien trop court: je ne veux pas parler de LU, QR et compagnie, mais je ne vois pas par quoi les remplacer...
Fichier :
- 148.pdf

Plan de Julie_D

Auteur :
Julie_D
Remarque :
Toutes les références, ainsi que les pages, sont mises dans le plan.
Il ne faut pas trop s'étaler sur la partie "diagonalisation / trigonalisation", pour laquelle d'autres leçons sont dédiées.
Fichier :
- Lecon_148___Exemples_de_décomposition_de_matrices__Applications_.pdf

Plan de RMaurice

Auteur :
RMaurice
Remarque :
Voici mes plans de leçons que j'ai réalisé en format complet.
Si cela peut aider des gens, avec plaisir !
Tout mes plans de leçons sont inspirés majoritairement de Jouaucon, Marvin et abarrier ( Merci à eux ! )( pas pour celle la ).
Les références sont à la fin.
Attention aux éventuels coquilles.
Fichier :
- Leçon 148.pdf

Plan de JULIEN L

Plan de Agent B0

Auteur :
Agent B0
Remarque :
Plan non détaillé fait à la fin de l'année.
Références :
Fichier :
- b0 148.pdf

Plan de Demesmay

Auteur :
Demesmay
Remarque :
Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.
Fichier :
- 148.pdf

Plan de Bertin Thomas

Auteur :
Bertin Thomas
Remarque :
C'est du fait maison donc ca vaut ce que ca vaut. Le plan a tout de même été approuvé par mes profs
Références :
Fichier :
- Leçon_148.pdf

Plan de Anonyme

Auteur : Anonyme
Remarque :
…ça commence à en faire des plans pour cette nouvelle leçon !

Mon plan a été éprouvé par une présentation durant l'année. Je vous propose également une fiche synthétique autour de cette leçon.
Seules les quatre premières références sont nécessaires. Les autres sont plus pour la culture générale ou pour un item que vous aurez de toute façon oublié le jour J. En fin d'année, j'aurais plutôt remplacé la partie sur la décomposition QR et de Hermite par une partie sur la décomposition de Cholesky.
Références :
Fichiers :
- 148.pdf
- 148_fiche.pdf

Retours d'oraux :

Pas de retours pour cette leçon.

Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 427 versions au total)
Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy (utilisée dans 96 versions au total)
Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 2, Jean-Pierre Ramis, André Warusfel (utilisée dans 32 versions au total)
Algèbre , Gourdon (utilisée dans 301 versions au total)
Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier (utilisée dans 88 versions au total)
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni (utilisée dans 49 versions au total)
Oraux X-ENS Algèbre 2 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 65 versions au total)
Oraux X-ENS Algèbre 3 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 62 versions au total)
Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation , Ciarlet (utilisée dans 54 versions au total)
Algèbre linéaire réduction des endomorphismes, R. Mansuy, R. Mneimné (utilisée dans 49 versions au total)
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 257 versions au total)
Algèbre et probabilités, Gourdon (utilisée dans 63 versions au total)
Analyse numérique et optimisation : une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique, Allaire (utilisée dans 31 versions au total)
Tout-en-un MP/MP*, Claude Deschamps (utilisée dans 17 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 132 versions au total)
Analyse matricielle , Rombaldi (utilisée dans 18 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 475 versions au total)
Algèbre linéaire numérique, Allaire (utilisée dans 16 versions au total)
Methodes numériques pour le calcul scientifique , Quarteroni (utilisée dans 4 versions au total)
Analyse Numérique, Francis Filbet (utilisée dans 5 versions au total)
Algèbre linéaire numérique., Allaire, Grégoire & Kaber, Sidi Mahmoud (utilisée dans 8 versions au total)
Algèbre linéaire , Grifone (utilisée dans 93 versions au total)
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni (utilisée dans 109 versions au total)
Elements d'analyse réelle , Rombaldi (utilisée dans 64 versions au total)
Calcul mathématique avec Sage , Casamayou (utilisée dans 1 versions au total)
A Course in Computational Algebraic Number Theory, H. Cohen (utilisée dans 1 versions au total)
Algorithmique algébrique, P. Naudin, C. Quitté (utilisée dans 1 versions au total)