Exemples de décompositions de matrices. Applications.

Les références sont à la fin du plan.
On peut prendre le Rombaldi à la place de Carnet de voyage. C'est juste que je préfère la preuve de la décomposition LU dans Carnet de voyage :)

On peut aussi développer un peu plus la sous-partie sur la factorisation QR et peut-être mettre une partie sur l'aspect algorithmique de la décomposition de Dunford.

Développements choisis :
1) Décomposition de Dunford + Application à l'exponentielle de matrice
2) Décomposition LU + Cholesky

Plan :
I. Réduction de matrices
1) Eléments propres
2) Diagonalisation
3) Trigonalisation
4) Décomposition de Jordan

II. Approche linéaire
1) Prérequis
2) Décomposition de Dunford
3) Théorème spectral et décomposition polaire

III. Point de vue algorithmique
1) Méthode du pivot de Gauss
2) Factorisation LU et décomposition de Cholesky
3) Factorisation QR

Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse

Références en fin de plan.

C’est une leçon très vaste dans laquelle on peut mettre beaucoup de choses. J’ai choisi de me concentrer sur les espaces vectoriels normés, le calcul différentiel et les espaces préhilbertiens, avec les séries de Fourier. En partie IV, je donne d’autres applications possibles.

Développements :
1) Équivalence des normes et théorème de Riesz [je ne l’ai pas encore appris, si c’est trop court je rajouterai le contre-exemple 4]
2) Lemme de Morse

Plan :
I. Espaces vectoriels normés
1) Toplogie
2) Applications linéaires
3) Compacité
II. Calcul différentiel
1) Différentielle et dérivée partielle
2) Théorème d’inversion locale et lemme de Morse
III. Espaces préhilbertiens et séries de Fourier
1) Projection orthogonale dans un espace préhilbertien
2) Application aux séries de Fourier
IV. Autres applications possibles
1) Optimisation en dimension finie
2) Équations différentielles

On aurait aussi pu parler de la mesure de Lebesgue. Le Briane Pagès le fait très bien. De même, dans la partie Calcul Différentiel, on peut aussi évoquer les matrices jacobiennes (c’est fait dans le Gourdon) et les espaces tangents pour aller plus loin.

On peut aussi taper dans des notions plus difficiles (notamment dans tout ce qui est lié aux opérateurs) mais mon niveau ne me le permet pas xD