Utilisée dans les 75 versions de développements suivants :
Générateurs de SL(E) et GL(E)
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Développement :
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Remarque :
p 139 à 141
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Référence :
Surjectivité de l'exponentielle matricielle
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Développement :
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Remarque :
p755-756 Rombaldi
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Référence :
Condition nécessaire et suffisante pour que Z/nZ* soit cyclique
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Développement :
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Remarque :
p 290 à 293
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Référence :
Théorème de d'Alembert-Gauss par la compacité
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Développement :
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Remarque :
p 377 à 379
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Référence :
Dualité et Algèbre des matrices
Factorisation de Cholesky et Factorisation QR
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Développement :
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Remarque :
p 684 à 686
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Référence :
Diagonalisation des endomorphismes autoadjoints
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Développement :
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Remarque :
p 719 - 720
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Référence :
Dunford et l'exponentielle de matrice
Anneau des entiers algébriques et degré d'une représentation irréductible
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Développement :
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Références :
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Fichier :
Entiers algébriques et caractères irréductibles
Dénombrement des matrices diagonalisables de Mn(Fq)
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre
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Développement :
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Références :
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Fichier :
Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Réduction des endomorphismes normaux
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Développement :
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Références :
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Fichier :
Réduction de Jordan (par la dualité)
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Développement :
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Références :
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Fichier :
Simplicité du groupe alterné An
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Développement :
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Références :
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Fichier :
Le dénombrement des polynômes irréductibles unitaires sur un corps fini
Simplicité du groupe alterné An
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Développement :
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Remarque :
Ma version n'utilise pas de dénombrement, juste quelques petites astuces visant à transformer une permutation et à obtenir un 3-cycle dans le groupe distingué. Pas exactement fait comme ça dans le Rombaldi, mais très similaire.
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Référence :
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Fichier :
Réduction de Jordan (par la dualité)
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Dunford et l'exponentielle de matrice
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Développement :
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Remarque :
Leçons 153, 154, 155, 156, 157
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Références :
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Fichier :
Théorème chinois et applications
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Développement :
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Remarque :
Leçons 120, 122, 142.
On ajustera ce développement en faisant l'un ou l'autre des exemples en fonction de la leçon pour tenir les 15 minutes.
Pour la leçon 120, on ajustera le premier théorème en se plaçant dans Z/nZ plutôt qu'un anneau principal quelconque.
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Références :
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Fichier :
Théorème de Maschke et lemme de Schur
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Développement :
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Remarque :
Leçon 107.
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Référence :
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Fichier :
Isométries du cube
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Développement :
-
Remarque :
Leçons 101, 104, 105, 161, 191.
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Références :
Réduction des endomorphismes normaux dans un espace euclidien
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Développement :
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Remarque :
Développement classique permettant de classifier les endomorphismes symétriques, antisymétriques et orthogonaux dans un espace euclidien. Ici, on montre un lemme puis le théorème tous les deux par récurrence sur la dimension de l'espace euclidien.
Développement n°24 sur 28.
Pour une version de rekasator qui marche aller sur: https://docs.google.com/document/d/1vnBvwVGapXvQC4cU5CHUJWo04E4eezzDSjSIDRekaPE
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Référence :
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Fichier :
Dunford et l'exponentielle de matrice
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Décomposition de Dunford (version non algorithmique)
Entiers algébriques et caractères irréductibles
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Développement :
-
Remarque :
Développement très long, clairement ne faire qu'un seul des deux résultants. N'utilise vraiment que la définition du résultant donc ne devrait pas faire fuir les candidats qui ne suivent pas l'option C. La proposition que je fais en bonus tout à la fin peut être bonne à connaître. En revanche, il n'y a pas de référence à ma connaissance.
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Références :
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Fichier :
Simplicité du groupe alterné An
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Développement :
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Référence :
Dénombrement des matrices diagonalisables de Mn(Fq)
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Développement :
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Remarque :
Fait dans le Rombaldi Algèbre et géométrie 2ème édition.
On dénombre ici les matrices inversibles (les automorphismes donc) diagonalisables de Mn(Fq).
Recasages : 101, 106, 123, 150, 155, 190.
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Référence :
Dérangements d'un ensemble fini
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Développement :
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Référence :
Théorème des deux carrés de Fermat (par les entiers de Gauss)
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Développement :
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Référence :
Isométries du cube
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Développement :
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Remarque :
Recasages: 101, 104, 105, 161, 191
Rombaldi [2e édition] p85-89
Caldero NH2G2 II p219-223
Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
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Références :
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Fichier :
Réduction des endomorphismes normaux dans un espace euclidien
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Développement :
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Remarque :
Recasages: 151, 154, 160
Je mets aussi 151 pour l'illustration de la récurrence sur la dimension (il faut être prêt·e à défendre ce choix).
Pages 743 à 745
NB: deux coquilles dans le Rombaldi: une dans l'énoncé (c'est $b_k$ qui est non nul, pas $a_k$), et une dans la preuve du Lemme 22.13 ($\delta = (a+d)^2 - 4(ad-b^2) = (a-d)^2 + 4b^2$ et non $(a+d)^2 + 4b^2$ #copiercoller)
Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
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Référence :
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Fichier :
Dualité et Algèbre des matrices
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Développement :
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Remarque :
Recasage: 159
Caldero/Peronnier p 16-18
Rombaldi [2e édition] p458
Je trouve les deux références complémentaires: l'approche du théorème est plus agréable dans le Rombaldi, de même que la détermination du centre de $\mathcal{M}_n(K)$. Je n'ai pas trouvé les applications dans le Rombaldi, mais elles sont bien faites dans le Carnet de voyage en Algébrie.
Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
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Références :
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Fichier :
Cyclicité du groupe multiplicatif d'un corps fini
Racines de l'unité dans Z/nZ
Dénombrement des matrices diagonalisables de Mn(Fq)
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Développement :
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Références :
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Fichier :
Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)
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Développement :
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Références :
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Fichier :
Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)
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Développement :
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Remarque :
Recasages: 121, 123, 190
Je ne la mets pas dans la 170, car l'intervention des formes quadratiques prend vraiment 1 ligne sur toute la preuve; ce serait un recasages scandaleusement abusif.
Je me suis inspiré du document de abarrier, j'y ai apporté quelques précisions.
Rombaldi [2e édition] p 431
Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
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Référence :
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Fichier :
(Z/p^aZ)* est cyclique
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Développement :
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Remarque :
Recasages: 108, 120, 121
Rombaldi [2e édition] p292
Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
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Référence :
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Fichier :
Loi d'inertie de Sylvester, classification des formes quadratiques sur R, équivalence
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Développement :
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Remarque :
Recasages: 151, 170, 171
Rombaldi [2e édition] p 468 & 476
J'ajoute la preuve de $\dim(F) + \dim(F^{\perp}) \geq \dim(E)$ avec cas d'égalité et $E = F \oplus F^{\perp}$ si $q_{|F}$ non dégénérée, qui permet d'une part de tenir 15 minutes et non 5, et d'autre part renforce le recasage dans la 170. Commentaires en fin de document.
Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
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Référence :
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Fichier :
Simplicité du groupe alterné An
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Dunford et l'exponentielle de matrice
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Réduction de Jordan (par la dualité)
Cyclicité du groupe (Z/pZ)^*
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Développement :
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Remarque :
Recasages: 108, 120 ,121
Page 292
Le plus dur est de comprendre la structure de la preuve, après ça tout roule tout seul.
Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
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Référence :
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Fichier :
Théorème des deux carrés de Fermat (par les entiers de Gauss)
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Développement :
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Remarque :
Recasages: 121, 126
Je sais qu'il est d'usage de présenter ce théorème pour la 122. Selon moi, sans adaptation, c'est hors sujet, dans la mesure où on utilise de manière critique la factorialité des anneaux en jeu, pas leur principalité. Pour rentrer un minimum dans la 122, voici ce que je recommande: le théorème des deux carrés de Fermat ne doit pas être l'aboutissement du développement, mais seulement un outil intermédiaire pour mener l'étude de $\mathbb{Z}[i]$. On montrera donc que ce dernier est euclidien et le cas premier du théorème des deux carrés de Fermat avant de terminer la liste des irréductibles de $\mathbb{Z}[i]$ (ce dernier point se trouve dans le Perrin, à la suite du théorème). Ça reste contestable pour la 122 puisqu'on n'utilise toujours pas de manière critique la principalité d'un anneau, mais c'est déjà mieux.
Dans les 121 et 126, je recommande très vivement d'écrire l'heuristique de la preuve au tableau comme je le fais dans mon document, puisque dans la suite des 8 équivalences qu'on est amené à écrire, 5 sont évidentes (elles relèvent du cours). Ainsi, prendre 2 minutes à écrire cette heuristique permet d'une part de rendre le procédé transparent, et d'autre part de gagner énormément de temps dans la suite. Il ne faut pas perdre de temps avec $\mathbb{Z}[i]$ car il s'écarte du sujet des 121 et 126: on se contentera d'un dessin et des inversible.
Perrin p65 (on le trouvera aussi dans Rombaldi p269)
Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
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Références :
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Fichier :
Dunford et l'exponentielle de matrice
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Développement :
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Remarque :
Recasages: 148, 153, 155, 157
Gourdon (v3) p204 + Rombaldi p634
Voir mon retour d'oral.
(Inutile de formuler ce lemme, je réécrirai le développement dès que possible)
Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
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Références :
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Fichier :
Classification des groupes d'ordre p^2
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Développement :
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Remarque :
Recasages: 101, 103, 104
Page 23
Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
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Référence :
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Fichier :
Théorème de Liouville : Fermat pour les polynômes
Étude relative à la fonction Zeta
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Développement :
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Remarque :
Recasages: 121, 265, 266
Garet-Kurtzmann p56+461 (on trouvera également cet exercice dans le Rombaldi p345, mais rédigé différemment)
Application à le divergence de la série des inverses des premiers.
Je recommande vivement d'écrire au tableau le découpage en questions au début de la présentation: cela rend la preuve transparente, et ça donne un point d'appui si on se perd durant le développement. Ce n'est pas un temps perdu, dirai-je même c'est du temps gagné: il faut les écrire à un moment ou à un autre durant la présentation, plutôt que de le faire au fur et à mesure autant le faire dès le début.
Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
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Références :
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Fichier :
Le dénombrement des polynômes irréductibles unitaires sur un corps fini
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Développement :
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Remarque :
Recasages: 123, 125, 141, 190
Page 423
Pour prouver la formule d'inversion de Moebius, je n'utilise pas (explicitement) la convolution de Dirichlet comme le fait Rombaldi: il suffit d'écrire la somme, utiliser la relation et permuter les deux sommes, il n'y même pas besoin de le retenir tellement ça glisse tout seul !
Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
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Référence :
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Fichier :
Théorème chinois et applications
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Développement :
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Remarque :
Recasages: 120, 122, 142
Pages 249/285+291
Inspiré d'Aurélie BIGOT.
(C'est vraiment très mal écrit, je m'en excuse; je le réécrirai dès que possible)
Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
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Référence :
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Fichier :
Théorème spectral et ses trois corollaires
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Développement :
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Remarque :
Recasages: 149, 151, 155, 158
Rombaldi p734 (Lemmes, Thm) + Gourdon (v3) p256 (Cors)
Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
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Références :
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Fichier :
Fonction zeta et nombres premiers
Equivalence de diagonalisabilité
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Développement :
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Remarque :
Attention aux coquilles.
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Référence :
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Fichier :
Diagonalisabilité de l'exponentielle de matrice
Dénombrement des matrices diagonalisables de Mn(Fq)
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Simplicité du groupe alterné An
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Dunford et l'exponentielle de matrice
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Endomorphismes semi-simples
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Réduction de Jordan (par la dualité)
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Réduction des endomorphismes normaux dans un espace euclidien
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Endomorphismes semi-simples
Simplicité du groupe alterné An
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Développement :
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Remarque :
Un de mes développements favoris. Le but est d'obtenir un 3 cycle, peu importe lequel. On a donc une certaine liberté des notations. A la fin on obtient pas forcément le même 3 cycle que dans le Rombaldi mais on obtient quand même un 3 cycle.
Attention à la démonstration de la première version du Rombaldi qui est fausse (corrigée dans la deuxieme version)
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Références :
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Fichier :
Réduction de Jordan (par la dualité)
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Dénombrement des matrices diagonalisables de Mn(Fq)
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Développement :
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Remarque :
C'est l'un des rares développements que je n'apprécie pas trop... Mais bon, j'ai dû faire des choix pour avoir des développements là où il faut.
Je préfère de loin ma version matricielle à la version endomorphismes de la référence, mais peut-être que la version endomorphismes est plus simple au final.
J'ai vraiment du mal avec lui, je le trouve compliqué, mais beaucoup disent qu'il est plutôt facile et rentable.
Le recasage en 103 est abusif (enfin, à voir, mais en l'état...). On peut le recaser en 104 mais j'ai oublié de le mettre dans mon document (je le ferai plus tard).
Attention aux coquilles.
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Référence :
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Fichier :
Lemme chinois et lemme des noyaux
Fonction zeta et nombres premiers
Réduction des endomorphismes normaux
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Développement :
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Remarque :
Ma version utilise le théorème spectral via la décomposition polaire pour montrer que deux matrices réelles unitairement semblables sont orthogonalement semblables. Je préfère faire ainsi, on passe du cas particulier (théorème spectral) au cas général : la réduction des normaux. J'ai rajouté un complément sur les opérateurs auto-adjoints compacts en dimension infinie.
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Références :
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Fichier :
Décomposition de Dunford (version algorithmique) #effectif #méthodeEuler
Fonction zeta et nombres premiers
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Développement :
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Remarque :
Un développement très simple mais qui relie plein de domaines des mathématiques : produit infini, nombre premiers et fonction $\zeta$ (théorie analytique des nombres) et probabilités discrètes ! On peut rajouter si le temps le permet un résultat similaire sur les séries $L$ de Dirichlet, utilisées pour prouver le théorème de la progression arithmétique ! J'ai mis quelques remarques dessus.
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Références :
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Fichier :
Réduction des endomorphismes normaux dans un espace euclidien
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Développement :
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Remarque :
Je prends ce développement pour les leçons 106, 148, 150, 151 et 158. Ça fait beaucoup de recasages (trop, diront certains), à vous d'y réfléchir.
On trouvera le développement aux alentours de la page 743.
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Référence :
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Fichier :
Théorème du point fixe de Kakutani et sous-groupes compacts de GLn(R)
Calcul de exp(Mn(C)) et exp(Mn(R))
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Développement :
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Remarque :
Preuve par Dunford et les matrices unipotentes.
Plus algébrique et moins hardu que l'autre version passant par le théorème d'inversion locale.
Les polynômes d'endomorphismes sont omniprésents dans ce dév, ce qui justifie le recasage dans ladite leçon. L'utilisation d'arguments de diagonalisabilité et de Dunford peut justifier le recasage dans la leçon sur les endo diagonalisables...
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Références :
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Fichier :
Réduction de Jordan (par la dualité)
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Développement :
-
Remarque :
Pas grand chose à dire, il faut juste être au clair sur les propriétés de base du dual.
Je le prends pour les leçons 144, 148, 151, 154, 156 et 159.
On trouvera la preuve aux alentours de la page 672.
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Référence :
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Fichier :
Utilisée dans les 201 versions de leçons suivantes :
171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
110 : Structure et dualité des groupes abéliens finis. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
202 : Exemples de parties denses et applications.
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Leçon :
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Références :
-
Algèbre
, Gourdon
-
Analyse
, Gourdon
-
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily
-
De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman
-
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré
-
Analyse. Théorie de l'intégration, Briane, Pagès
-
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
-
Cours d'analyse
, Pommelet
-
Cours d'analyse fonctionnelle, Daniel Li
-
Fichier :
233 : Analyse numérique matricielle : résolution approchée de systèmes linéaires, recherche de vecteurs propres, exemples.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
156 : Exponentielle de matrices. Applications.
106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
103 : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
121 : Nombres premiers. Applications.
-
Leçon :
-
Remarque :
Plan présenté le jour J.
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Références :
-
Fichier :
226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1=f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
221 : Équations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
220 : Équations différentielles ordinaires. Exemples de résolution et d’étude de solutions en dimension 1 et 2.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
162 : Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
-
Leçon :
-
Références :
-
Analyse numérique et optimisation : une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique, Allaire
-
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 2, Caldero, Germoni
-
Oraux X-ENS Algèbre 2
, Francinou, Gianella, Nicolas
-
Algèbre
, Gourdon
-
Algèbre linéaire
, Grifone
-
Cours d'algèbre
, Perrin
-
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis
-
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
-
Fichier :
160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
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Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
156 : Exponentielle de matrices. Applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
153 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
150 : Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
126 : Exemples d’équations en arithmétique.
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Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
120 : Anneaux Z/nZ. Applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
108 : Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
107 : Représentations et caractères d’un groupe fini sur un C-espace vectoriel. Exemples.
105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
104 : Groupes abéliens et non abéliens finis. Exemples et applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l’unité. Applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
120 : Anneaux Z/nZ. Applications.
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Leçon :
-
Remarque :
J'ai changé les developpements en cours d'année : j'aurai finalement mis Dirichlet faible et le théorème de Sophie Germain (que j'aurai rajouté après les tests de primalité), les refs ne sont pas notées car c'est une version faite en oral blanc mais tout se trouve assez facilement : voir Gozard pour les polynomes cyclotomiques, Berhuy pour le théorème Chinois et les éléments remarquables, Gourdon pour les tests de primalité, Combes pour le théorème de structure et le reste se trouve facilement dans Perrin et Rombaldi
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Références :
-
Fichier :
144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
103 : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
108 : Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.
-
Leçon :
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Références :
-
Fichier :
121 : Nombres premiers. Applications.
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Leçon :
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Références :
-
Fichier :
126 : Exemples d’équations en arithmétique.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
152 : Déterminant. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
-
Fichier :
157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
-
Leçon :
-
Références :
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Fichier :
159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
153 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l’unité. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
120 : Anneaux Z/nZ. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
122 : Anneaux principaux. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
123 : Corps finis. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
150 : Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
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Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
156 : Exponentielle de matrices. Applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
191 : Exemples d’utilisation des techniques d’algèbre en géométrie.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
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Leçon :
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Référence :
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Fichier :
158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
161 : Distances et isométries dun espace affine euclidien.
101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Ulm] Théorie des Groupes : Félix Ulmer
[Per] Cours d'algèbre : Perrin
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann, Pecatte
-
Références :
-
Fichier :
103 : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
104 : Groupes abéliens et non abéliens finis. Exemples et applications.
105 : Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.
106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
108 : Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.
120 : Anneaux Z/nZ. Applications.
-
Leçon :
-
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[FGN Al1] Oraux X-ENS Algèbre 1 : Francinou, Gianella, Nicolas
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[Per] Cours d'algèbre : Perrin
-
Références :
-
Fichier :
121 : Nombres premiers. Applications.
-
Leçon :
-
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[FGN Al1] Oraux X-ENS Algèbre 1 : Francinou, Gianella, Nicolas
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[Per]Cours d'algèbre : Perrin
-
Références :
-
Fichier :
122 : Anneaux principaux. Applications.
123 : Corps finis. Applications.
-
Leçon :
-
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Cal] Extension de Corps - Théorie de Galois : Josette Calais
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[Per] Cours d'algèbre : Perrin
[FGN Al1] Oraux X-ENS Algèbre 1 : Francinou, Gianella, Nicolas
-
Références :
-
Fichier :
125 : Extensions de corps. Exemples et applications.
126 : Exemples d'équations en arithmétique.
-
Leçon :
-
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Per] Cours d'algèbre : Perrin
[FGN An2] Oraux X-ENS Analyse 2 : Francinou, Gianella, Nicolas
[FGN Al1] Oraux X-ENS Algèbre 1 : Francinou, Gianella, Nicolas
-
Références :
-
Fichier :
141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.
142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
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Leçon :
-
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[Cal] Elements de théorie des anneaux : Calais
[Per] Cours d'algèbre : Perrin
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[FGN Al1] Oraux X-ENS Algèbre 1 : Francinou, Gianella, Nicolas
[Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre
-
Références :
-
Elements de théorie des anneaux
, Calais
-
Cours d'algèbre
, Perrin
-
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte
-
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
-
Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas
-
131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
-
Fichier :
144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
-
Leçon :
-
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Per] Cours d'algèbre : Perrin
[Goz] Théorie de Galois : Gozard
[FGN Al1] Oraux X-ENS Algèbre 1 : Francinou, Gianella, Nicolas
[FGN An2] Oraux X-ENS Analyse 2 : Francinou, Gianella, Nicolas
[FGN Al2] Oraux X-ENS Algèbre 2 : Francinou, Gianella, Nicolas
-
Références :
-
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
-
Cours d'algèbre
, Perrin
-
Théorie de Galois, Gozard
-
Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas
-
Oraux X-ENS Analyse 2
, Francinou, Gianella, Nicolas
-
Oraux X-ENS Algèbre 2
, Francinou, Gianella, Nicolas
-
Fichier :
149 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.
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Leçon :
-
Remarque :
Plan de la nouvelle leçon, ça vaut ce que ça vaut...
Références en fin de plan avec les notations:
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[All] Algèbre linéaire numérique : Allaire
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Références :
-
Fichier :
150 : Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.
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Leçon :
-
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[GouAl]Algèbre : Gourdon
[H2G2] Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 : Caldero, Germoni
-
Références :
-
Fichier :
151 : Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
152 : Déterminant. Exemples et applications.
153 : Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.
154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
156 : Exponentielle de matrices. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Zad] Un max de maths : Zavidovique
[H2G2] Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 : Caldero, Germoni
[Ber] Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements : Julien Bernis et Laurent Bernis
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
-
Références :
-
Fichier :
157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
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Leçon :
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Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[Gri] Algèbre linéaire : Grifone
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[H2G2] Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 : Caldero, Germoni
[All] Algèbre linéaire numérique : Allaire
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Références :
-
Fichier :
160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
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Leçon :
-
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[H2G2] Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 : Caldero, Germoni
-
Références :
-
Fichier :
161 : Distances et isométries d’un espace affine euclidien.
170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.
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Leçon :
-
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Gri] Algèbre linéaire : Grifone
[H2G2] Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 : Caldero, Germoni
-
Références :
-
Fichier :
171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Gri] Algèbre linéaire : Grifone
[H2G2] Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 : Caldero, Germoni
[Rou] Petit guide de calcul différentiel : Rouvière
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
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Références :
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Fichier :
190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
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Leçon :
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Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[DeBia] Mathématiques pour le CAPES et l'Agrégation Interne : Jean de Biaisi
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Per] Cours d'algèbre : Perrin
[FGN An2] Oraux X-ENS Analyse 2 : Francinou, Gianella, Nicolas
[Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre
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Références :
-
Mathématiques pour le CAPES et l'Agrégation Interne, Jean de Biaisi
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Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
-
Cours d'algèbre
, Perrin
-
Oraux X-ENS Analyse 2
, Francinou, Gianella, Nicolas
-
131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
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Fichier :
191 : Exemples d'utilisation des techniques d'algèbre en géométrie.
106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
150 : Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.
156 : Exponentielle de matrices. Applications.
155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
121 : Nombres premiers. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Une ébauche de plan
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Références :
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Fichier :
106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
105 : Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Références en fin de plan avec les notations, essentiellement le Rombaldi à part pour mes développements (Dunford et décompo. polaire).
La partie algorithmique mériterait d'être plus poussée (QR, Iwasawa entre autres) mais mon quotient intellectuel ne me le permettrait pas le jour J.
On peut remplacer le Isenmann par le Gourdon.
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Références :
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Fichier :
148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.
190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
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Leçon :
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Remarque :
Leçon qui a tourné au diesel pour moi mais une fois son ébauche de plan en tête ça roule tout seul.
Références en fin de plan.
Etant une leçon sur des matrices, il vaut mieux éviter de proposer des développements version endomorphisme et de trop s'attarder sur les formes bilinéaires et les formes quadratiques même si un petit détour est inévitable selon moi (c'est écrit dans le rapport dtfc).
On peut remplacer le Isenmann par le Rombaldi pour la décomp. polaire et le X-ENS Algèbre 3 pour John-Löwner ;)
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Références :
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Fichier :
106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.
190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
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Leçon :
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Remarque :
Leçon qui peut faire peur au premier abord car il est rare d'avoir eu un cours sur cette thématique.
Finalement, elle est super cool à faire et change beaucoup des autres leçons :))
Mon plan contient beaucoup de résultats (63) mais c'est surtout la première partie qui est longue (24) et peut-être qu'il n'est pas nécessaire de rappeler certaines définitions en théorie des groupes.
Mes développements sont : "Nombre de Bell" et "Loi de réciprocité quadratique" qui rentrent impec dedans ;)
Il y a beaucoup de références mais elles ont déjà toutes été utilisées dans d'autres leçons donc bon…
On peut remplacer le Isenmann par le Caldero bien entendu…
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Références :
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L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte
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Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
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Algèbre L3
, Szpirglas
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Théorie des Groupes, Félix Ulmer
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Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas
-
De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman
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Fichier :
160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
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Leçon :
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Remarque :
Voici mon plan totalement improvisé de mon oral blanc de leçon d'algèbre au sein de ma prépa-agreg. Vous constaterez qu'il est loin d'être parfait et comporte quelles coquilles dues au stress et au manque de temps, mais je l'ai déposé pour que vous puissiez voir à quoi ressemble une production dans le temps imparti de l'épreuve officielle.
Je laisse en référence les livres que j'avais utilisés pendant le temps de préparation.
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Références :
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Fichier :
101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l’unité. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Référence supplémentaire: Algèbre et géométrie: CAPES et Agrégation : Pierre Burg
J'avais initialement ajouté le paragraphe sur les angles orientés, non orientés, mesure principale et écart angulaire pour combler le vide laissé par l'absence de caractères, mais finalement la leçon est déjà assez longue sans ça (on peut donc enlever les items 40 à 44).
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Références :
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Fichier :
103 : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
104 : Groupes finis. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.
106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
108 : Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.
120 : Anneaux Z/nZ. Applications.
121 : Nombres premiers. Applications.
122 : Anneaux principaux. Exemples et applications.
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Leçon :
-
Remarque :
Le théorème des deux carrés de Fermat est, à mon avis, hors sujet pour cette leçon, puisqu'il utilise de manière critique la factorialité, et non la principalité des anneaux en jeu (il y a même peut-être moyen de court-circuiter l'argument pour ne pas du tout utiliser la factorialité...)
... mais je le mets quand même parce que tout le monde l'accepete, et ça me fait un développement en moins...
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Références :
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Fichier :
123 : Corps finis. Applications.
125 : Extensions de corps. Exemples et applications.
126 : Exemples d’équations en arithmétique.
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Leçon :
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Remarque :
Références supplémentaires:
- Algèbre et géométrie: CAPES et Agrégation : Pierre Burg
- Algèbre I : Daniel Guin
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Références :
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Fichier :
141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
-
Fichier :
142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
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Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
149 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.
151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
153 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Plan un peu court.
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Références :
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Fichier :
155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis passé sur cette leçon à l'oral. J'ai fait un plan globalement similaire à celui-ci, dont j'étais un peu moins satisfait.
Je n'ai pas fait de partie "Applications". Plutôt que de faire un paragraphe sur la décomposition de Dunford et le critère de Klarès, j'ai mis ce-dernier dans le paragraphe Critères de diagonalisabilité (en précisant dans la défense que ça nécessitait Dunford), et le paragraphe de Dunford est devenu un paragraphe "Application: puissance et exponentielle d'une matrice" de la partie II. Le paragraphe de topologie y a également été déplacé. En contrepartie, j'ai sérieusement raccourci le paragraphe sur les théorèmes spectraux au strict minimum, et je n'ai pas parlé de la réduction des endomorphismes normaux.
On peut étoffer la partie de topologie.
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Références :
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Fichier :
156 : Exponentielle de matrices. Applications.
157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
162 : Systèmes d’équations linéaires; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
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Leçon :
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Remarque :
Référence supplémentaire: Algèbre et géométrie: CAPES et Agrégation : Pierre Burg
Les deux développements son plutôt hors sujet. C'est une leçon intéressante en soi, mais comme je ne veux pas parler de LU, QR & cie., je manque de choses à dire. Pour combler le vide, j'ai détaillé l'entièreté de l'algorithme du pivot de Gauss, mais ce n'est pas une bonne solution...
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Références :
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Fichier :
170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications
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Leçon :
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Remarque :
La plus grande difficulté de cette leçon est sa longueur: le sujet est très vaste. J'ai choisi de détailler l'algorithme de réduction de Gauss, mais en pratique, c'est une mauvaise idée (dans le plan en tout cas). Je n'ai pas insisté non plus sur les questions d'isotropie, parce que c'est plus difficile à trouver dans les références classiques (et puis il y a déjà bien assez à dire comme ça).
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Références :
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Fichier :
171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.
191 : Exemples d’utilisation de techniques d’algèbre en géométrie.
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Leçon :
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Remarque :
J'ai choisi d'explorer les deux axes suivants: d'un côté les isométries des polygones/poyèdres réguliers et la constructibilité, et d'autre part les coniques.
Ce plan fait également un pari: 2 pages de texte, 2 pages de dessins, contrairement au 3-1 habituel. Après tout, comme on dit, une leçon de géométrie sans dessins, «c'est une bête qui n'a qu'un œil, c'est un oiseau sans plumage, une forêt sans écureuil»...
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Références :
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Fichier :
101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
104 : Groupes finis. Exemples et applications.
105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
108 : Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis tombé sur cette leçon le jour J, je n'ai pas parlé d'endomorphismes semi-simples, de représentation, ni de Jordan. Que des questions sur les endo cycliques
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Références :
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Fichier :
156 : Exponentielle de matrices. Applications.
158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
104 : Groupes finis. Exemples et applications.
105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.
120 : Anneaux Z/nZ. Applications.
121 : Nombres premiers. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
122 : Anneaux principaux. Exemples et applications.
123 : Corps finis. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
126 : Exemples d’équations en arithmétique.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.
149 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.
151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
152 : Déterminant. Exemples et applications.
154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
156 : Exponentielle de matrices. Applications.
157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
104 : Groupes finis. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Leçon sur laquelle je suis passé en début d'année. Possibilité d'une annexe graphique contenant des graphes de caractères (cf. von zur Gathen, Gerhard, Modern Computer Algebra), et les isométries du cube.
Si j'étais passé sur cette leçon à l'oral, j'aurais parlé à la fin des isométries du cube, qui auraient constitué mon second développement (au lieu de $A_n$ simple pour $n \geq 5$).
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Références :
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Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
-
Algèbre
, Gourdon
-
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte
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Cours d'algèbre
, Perrin
-
Algèbre discrète de la transformée de Fourier
, Peyré
-
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
-
Fourier Analysis, Stein, Shakarchi
-
Théorie des Groupes, Félix Ulmer
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Fichier :
105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.
121 : Nombres premiers. Applications.
142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Ébauche de plan non rédigé en intégralité, mais que je partage quand même car j'aime beaucoup la structure de mon plan, notamment la deuxième partie. Mes développements ont été l'algorithme de Berlekamp et le théorème de Liouville (cf. EWna).
Des exemples, juste énoncés, d'éléments ayant un pgcd mais pas de ppcm, ou pas de pgcd, se trouvent dans
Berhuy. La preuve et plein d'autres belles infos sur les pgcd et ppcm se trouvent dans ce papier du culte Daniel Perrin :
Autour du ppcm et du pgcd
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Références :
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Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré
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Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
-
Cours d'algèbre
, Demazure
-
Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas
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Modern Computer Algebra, von zur Gathen, Gerhard
-
Cours d'algèbre
, Perrin
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Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
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Fichier :
148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
…ça commence à en faire des plans pour cette nouvelle leçon !
Mon plan a été éprouvé par une présentation durant l'année. Je vous propose également une fiche synthétique autour de cette leçon.
Seules les quatre premières références sont nécessaires. Les autres sont plus pour la culture générale ou pour un item que vous aurez de toute façon oublié le jour J. En fin d'année, j'aurais plutôt remplacé la partie sur la décomposition QR et de Hermite par une partie sur la décomposition de Cholesky.
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Références :
-
Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation
, Ciarlet
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Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
-
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni
-
Algèbre linéaire réduction des endomorphismes, R. Mansuy, R. Mneimné
-
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré
-
Calcul mathématique avec Sage
, Casamayou
-
A Course in Computational Algebraic Number Theory, H. Cohen
-
Algèbre
, Gourdon
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Algorithmique algébrique, P. Naudin, C. Quitté
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Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
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Fichiers :
190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
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Leçon :
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Remarque :
La leçon que je préfère dans l'agrégation.
Attention, cette leçon est potentiellement très casse-gueules si vous n'avez jamais eu d'UE de mathématiques discrètes ; par exemple, l'outil des séries génératrices est très puissant mais encore faut-il savoir s'en servir pour le dénombrement !
Je me suis servi principalement d'un livre anglais peu connu en France, comprenant des milliers d'exemples, sur lequel j'avais déjà travaillé durant ma scolarité. On pourra se rabattre sur d'autres livres, mais il est vrai que trouver des exemples est un peu dur : les anglophones raffolent de maths discrètes !
(la référence de l'application 6 : Wikipédia, mais vous pourrez sortir tout exemple drôle qui vous vient à l'esprit)
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Références :
-
Discrete and Combinatorial Mathematics: An Applied Introduction, Ralph P. Grimaldi
-
Proofs from the book (Raisonnements divins en fr), Aigner, Ziegler
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Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
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Algèbre et probabilités, Gourdon
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Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
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Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis
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Exercices mathématiques
, Francinou, Gianella
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Fichier :
101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
104 : Groupes finis. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
108 : Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
120 : Anneaux Z/nZ. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
121 : Nombres premiers. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
122 : Anneaux principaux. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
123 : Corps finis. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
126 : Exemples d’équations en arithmétique.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
149 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Clairement le deuxième développement est bancal et je suis content de pas être tombé dessus. Alors un conseil, présentez autre chose que la décomposition LU / Cholesky.
Le Allaire est pas nécessaire, le Ciarlet suffit.
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Références :
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Fichier :
151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
156 : Exponentielle de matrices. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
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Leçon :
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Référence :
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Fichier :
161 : Distances dans un espace affine euclidien. Isoméries.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
162 : Systèmes d’équations linéaires; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
191 : Exemples d’utilisation de techniques d’algèbre en géométrie.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
C'est la version que j'ai présentée en oral blanc. J'ai mis les références utilisées (entre crochets) à chaque paragraphe. Quelques remarques :
-Il y a des choses de la partie I qui se placent mieux dans la partie II (tout ce qui concerne les applications linéaires : théorème du rang, équivalences bijectivité ssi surjuectivité ssi injectivité, etc);
-Si on a le temps, la place et l'envie, on peut aussi parler de dualité;
-L'algorithme de Berlekamp se place bien dans la sous-partie extension de corps - corps finis.
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Références :
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Fichier :
101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Cours d'algèbre
, Perrin
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Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
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Théorie des groupes (bis), Delcourt
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Algèbre L3
, Szpirglas
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Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
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Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 2, Caldero, Germoni
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Fichier :
