Utilisée dans les 172 versions de développements suivants :
Générateurs de SL(E) et GL(E)
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Développement :
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Remarque :
p 139 à 141
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Référence :
Surjectivité de l'exponentielle matricielle
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Développement :
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Remarque :
p755-756 Rombaldi
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Référence :
Condition nécessaire et suffisante pour que Z/nZ* soit cyclique
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Développement :
-
Remarque :
p 290 à 293
-
Référence :
Théorème de d'Alembert-Gauss par la compacité
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Développement :
-
Remarque :
p 377 à 379
-
Référence :
Dualité et Algèbre des matrices
Factorisation de Cholesky et Factorisation QR
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Développement :
-
Remarque :
p 684 à 686
-
Référence :
Diagonalisation des endomorphismes autoadjoints
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Développement :
-
Remarque :
p 719 - 720
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Référence :
Dunford et l'exponentielle de matrice
Anneau des entiers algébriques et degré d'une représentation irréductible
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Développement :
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Références :
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Fichier :
Entiers algébriques et caractères irréductibles
Dénombrement des matrices diagonalisables de Mn(Fq)
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre
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Développement :
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Références :
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Fichier :
Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Réduction des endomorphismes normaux
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Développement :
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Références :
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Fichier :
Réduction de Jordan (par la dualité)
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Développement :
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Références :
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Fichier :
Simplicité du groupe alterné An
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Développement :
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Références :
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Fichier :
Le dénombrement des polynômes irréductibles unitaires sur un corps fini
Simplicité du groupe alterné An
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Développement :
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Remarque :
Ma version n'utilise pas de dénombrement, juste quelques petites astuces visant à transformer une permutation et à obtenir un 3-cycle dans le groupe distingué. Pas exactement fait comme ça dans le Rombaldi, mais très similaire.
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Référence :
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Fichier :
Réduction de Jordan (par la dualité)
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Dunford et l'exponentielle de matrice
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Développement :
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Remarque :
Leçons 153, 154, 155, 156, 157
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Références :
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Fichier :
Théorème chinois et applications
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Développement :
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Remarque :
Leçons 120, 122, 142.
On ajustera ce développement en faisant l'un ou l'autre des exemples en fonction de la leçon pour tenir les 15 minutes.
Pour la leçon 120, on ajustera le premier théorème en se plaçant dans Z/nZ plutôt qu'un anneau principal quelconque.
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Références :
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Fichier :
Théorème de Maschke et lemme de Schur
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Développement :
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Remarque :
Leçon 107.
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Référence :
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Fichier :
Isométries du cube
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Développement :
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Remarque :
Leçons 101, 104, 105, 161, 191.
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Références :
Réduction des endomorphismes normaux dans un espace euclidien
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Développement :
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Remarque :
Développement classique permettant de classifier les endomorphismes symétriques, antisymétriques et orthogonaux dans un espace euclidien. Ici, on montre un lemme puis le théorème tous les deux par récurrence sur la dimension de l'espace euclidien.
Développement n°24 sur 28.
Pour une version de rekasator qui marche aller sur: https://docs.google.com/document/d/1vnBvwVGapXvQC4cU5CHUJWo04E4eezzDSjSIDRekaPE
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Référence :
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Fichier :
Dunford et l'exponentielle de matrice
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Décomposition de Dunford (version non algorithmique)
Entiers algébriques et caractères irréductibles
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Développement :
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Remarque :
Développement très long, clairement ne faire qu'un seul des deux résultants. N'utilise vraiment que la définition du résultant donc ne devrait pas faire fuir les candidats qui ne suivent pas l'option C. La proposition que je fais en bonus tout à la fin peut être bonne à connaître. En revanche, il n'y a pas de référence à ma connaissance.
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Références :
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Fichier :
Simplicité du groupe alterné An
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Développement :
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Référence :
Dénombrement des matrices diagonalisables de Mn(Fq)
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Développement :
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Remarque :
Fait dans le Rombaldi Algèbre et géométrie 2ème édition.
On dénombre ici les matrices inversibles (les automorphismes donc) diagonalisables de Mn(Fq).
Recasages : 101, 106, 123, 150, 155, 190.
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Référence :
Dérangements d'un ensemble fini
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Développement :
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Référence :
Théorème des deux carrés de Fermat (par les entiers de Gauss)
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Développement :
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Référence :
Isométries du cube
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Développement :
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Remarque :
Recasages: 101, 104, 105, 161, 191
Rombaldi [2e édition] p85-89
Caldero NH2G2 II p219-223
Mon site: https://esuong-maths.fr
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Références :
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Fichier :
Réduction des endomorphismes normaux dans un espace euclidien
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Développement :
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Remarque :
Recasages: 151, 154, 160
Je mets aussi 151 pour l'illustration de la récurrence sur la dimension (il faut être prêt·e à défendre ce choix).
Pages 743 à 745
NB: deux coquilles dans le Rombaldi: une dans l'énoncé (c'est $b_k$ qui est non nul, pas $a_k$), et une dans la preuve du Lemme 22.13 ($\delta = (a+d)^2 - 4(ad-b^2) = (a-d)^2 + 4b^2$ et non $(a+d)^2 + 4b^2$ #copiercoller)
Mon site: https://esuong-maths.fr
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Référence :
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Fichier :
Dualité et Algèbre des matrices
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Développement :
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Remarque :
Recasage: 159
Caldero/Peronnier p 16-18
Rombaldi [2e édition] p458
Je trouve les deux références complémentaires: l'approche du théorème est plus agréable dans le Rombaldi, de même que la détermination du centre de $\mathcal{M}_n(K)$. Je n'ai pas trouvé les applications dans le Rombaldi, mais elles sont bien faites dans le Carnet de voyage en Algébrie.
Mon site: https://esuong-maths.fr
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Références :
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Fichier :
Cyclicité du groupe multiplicatif d'un corps fini
Racines de l'unité dans Z/nZ
Dénombrement des matrices diagonalisables de Mn(Fq)
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Développement :
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Références :
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Fichier :
Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)
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Développement :
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Références :
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Fichier :
Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)
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Développement :
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Remarque :
Recasages: 121, 123, 190
Je ne la mets pas dans la 170, car l'intervention des formes quadratiques prend vraiment 1 ligne sur toute la preuve; ce serait un recasages scandaleusement abusif.
Je me suis inspiré du document de abarrier, j'y ai apporté quelques précisions.
Rombaldi [2e édition] p 431
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Référence :
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Fichier :
Loi d'inertie de Sylvester, classification des formes quadratiques sur R, équivalence
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Développement :
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Remarque :
Recasages: 151, 170, 171
Rombaldi [2e édition] p 468 & 476
J'ajoute la preuve de $\dim(F) + \dim(F^{\perp}) \geq \dim(E)$ avec cas d'égalité et $E = F \oplus F^{\perp}$ si $q_{|F}$ non dégénérée, qui permet d'une part de tenir 15 minutes et non 5, et d'autre part renforce le recasage dans la 170. Commentaires en fin de document.
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Référence :
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Fichier :
Simplicité du groupe alterné An
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Dunford et l'exponentielle de matrice
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Réduction de Jordan (par la dualité)
Cyclicité du groupe (Z/pZ)^*
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Développement :
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Remarque :
Recasages: 108, 120 ,121
Page 292
Le plus dur est de comprendre la structure de la preuve, après ça tout roule tout seul.
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Référence :
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Fichier :
Théorème des deux carrés de Fermat (par les entiers de Gauss)
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Développement :
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Remarque :
Recasages: 121, 126
Je sais qu'il est d'usage de présenter ce théorème pour la 122. Selon moi, sans adaptation, c'est hors sujet, dans la mesure où on utilise de manière critique la factorialité des anneaux en jeu, pas leur principalité. Pour rentrer un minimum dans la 122, voici ce que je recommande: le théorème des deux carrés de Fermat ne doit pas être l'aboutissement du développement, mais seulement un outil intermédiaire pour mener l'étude de $\mathbb{Z}[i]$. On montrera donc que ce dernier est euclidien et le cas premier du théorème des deux carrés de Fermat avant de terminer la liste des irréductibles de $\mathbb{Z}[i]$ (ce dernier point se trouve dans le Perrin, à la suite du théorème). Ça reste contestable pour la 122 puisqu'on n'utilise toujours pas de manière critique la principalité d'un anneau, mais c'est déjà mieux.
Dans les 121 et 126, je recommande très vivement d'écrire l'heuristique de la preuve au tableau comme je le fais dans mon document, puisque dans la suite des 8 équivalences qu'on est amené à écrire, 5 sont évidentes (elles relèvent du cours). Ainsi, prendre 2 minutes à écrire cette heuristique permet d'une part de rendre le procédé transparent, et d'autre part de gagner énormément de temps dans la suite. Il ne faut pas perdre de temps avec $\mathbb{Z}[i]$ car il s'écarte du sujet des 121 et 126: on se contentera d'un dessin et des inversible.
Perrin p65 (on le trouvera aussi dans Rombaldi p269)
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Références :
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Fichier :
Dunford et l'exponentielle de matrice
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Développement :
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Remarque :
Recasages: 148, 153, 155, 157
Gourdon (v3) p204 + Rombaldi p634
Voir mon retour d'oral.
(Inutile de formuler ce lemme, je réécrirai le développement dès que possible)
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Références :
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Fichier :
Classification des groupes d'ordre p^2
Théorème de Liouville : Fermat pour les polynômes
Étude relative à la fonction Zeta
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Développement :
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Remarque :
Recasages: 121, 265, 266
Garet-Kurtzmann p56+461 (on trouvera également cet exercice dans le Rombaldi p345, mais rédigé différemment)
Application à le divergence de la série des inverses des premiers.
Je recommande vivement d'écrire au tableau le découpage en questions au début de la présentation: cela rend la preuve transparente, et ça donne un point d'appui si on se perd durant le développement. Ce n'est pas un temps perdu, dirai-je même c'est du temps gagné: il faut les écrire à un moment ou à un autre durant la présentation, plutôt que de le faire au fur et à mesure autant le faire dès le début.
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Références :
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Fichier :
Le dénombrement des polynômes irréductibles unitaires sur un corps fini
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Développement :
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Remarque :
Recasages: 123, 125, 141, 190
Page 423
Pour prouver la formule d'inversion de Moebius, je n'utilise pas (explicitement) la convolution de Dirichlet comme le fait Rombaldi: il suffit d'écrire la somme, utiliser la relation et permuter les deux sommes, il n'y même pas besoin de le retenir tellement ça glisse tout seul !
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Référence :
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Fichier :
Théorème chinois et applications
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Développement :
-
Remarque :
Recasages: 120, 122, 142
Pages 249/285+291
Inspiré d'Aurélie BIGOT.
(C'est vraiment très mal écrit, je m'en excuse; je le réécrirai dès que possible)
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Référence :
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Fichier :
Théorème spectral et ses trois corollaires
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Développement :
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Remarque :
Recasages: 149, 151, 155, 158
Rombaldi p734 (Lemmes, Thm) + Gourdon (v3) p256 (Cors)
Mon site: https://esuong-maths.fr
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Références :
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Fichier :
Fonction zeta et nombres premiers
Equivalence de diagonalisabilité
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Développement :
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Remarque :
Attention aux coquilles.
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Référence :
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Fichier :
Diagonalisabilité de l'exponentielle de matrice
Dénombrement des matrices diagonalisables de Mn(Fq)
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Simplicité du groupe alterné An
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Dunford et l'exponentielle de matrice
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Endomorphismes semi-simples
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Réduction de Jordan (par la dualité)
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Réduction des endomorphismes normaux dans un espace euclidien
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Endomorphismes semi-simples
Simplicité du groupe alterné An
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Développement :
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Remarque :
Un de mes développements favoris. Le but est d'obtenir un 3 cycle, peu importe lequel. On a donc une certaine liberté des notations. A la fin on obtient pas forcément le même 3 cycle que dans le Rombaldi mais on obtient quand même un 3 cycle.
Attention à la démonstration de la première version du Rombaldi qui est fausse (corrigée dans la deuxieme version)
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Références :
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Fichier :
Réduction de Jordan (par la dualité)
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Dénombrement des matrices diagonalisables de Mn(Fq)
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Développement :
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Remarque :
C'est l'un des rares développements que je n'apprécie pas trop... Mais bon, j'ai dû faire des choix pour avoir des développements là où il faut.
Je préfère de loin ma version matricielle à la version endomorphismes de la référence, mais peut-être que la version endomorphismes est plus simple au final.
J'ai vraiment du mal avec lui, je le trouve compliqué, mais beaucoup disent qu'il est plutôt facile et rentable.
Le recasage en 103 est abusif (enfin, à voir, mais en l'état...). On peut le recaser en 104 mais j'ai oublié de le mettre dans mon document (je le ferai plus tard).
Attention aux coquilles.
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Référence :
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Fichier :
Lemme chinois et lemme des noyaux
Fonction zeta et nombres premiers
Réduction des endomorphismes normaux
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Développement :
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Remarque :
Ma version utilise le théorème spectral via la décomposition polaire pour montrer que deux matrices réelles unitairement semblables sont orthogonalement semblables. Je préfère faire ainsi, on passe du cas particulier (théorème spectral) au cas général : la réduction des normaux. J'ai rajouté un complément sur les opérateurs auto-adjoints compacts en dimension infinie.
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Références :
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Fichier :
Décomposition de Dunford (version algorithmique) #effectif #méthodeEuler
Fonction zeta et nombres premiers
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Développement :
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Remarque :
Un développement très simple mais qui relie plein de domaines des mathématiques : produit infini, nombre premiers et fonction $\zeta$ (théorie analytique des nombres) et probabilités discrètes ! On peut rajouter si le temps le permet un résultat similaire sur les séries $L$ de Dirichlet, utilisées pour prouver le théorème de la progression arithmétique ! J'ai mis quelques remarques dessus.
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Références :
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Fichier :
Réduction des endomorphismes normaux dans un espace euclidien
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Développement :
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Remarque :
Je prends ce développement pour les leçons 106, 148, 150, 151 et 158. Ça fait beaucoup de recasages (trop, dirons certains), à vous d'y réfléchir.
On trouvera le développement aux alentours de la page 743.
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Référence :
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Fichier :
Théorème du point fixe de Kakutani et sous-groupes compacts de GLn(R)
Calcul de exp(Mn(C)) et exp(Mn(R))
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Développement :
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Remarque :
Preuve par Dunford et les matrices unipotentes.
Plus algébrique et moins hardu que l'autre version passant par le théorème d'inversion locale.
Les polynômes d'endomorphismes sont omniprésents dans ce dév, ce qui justifie le recasage dans ladite leçon. L'utilisation d'arguments de diagonalisabilité et de Dunford peut justifier le recasage dans la leçon sur les endo diagonalisables...
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Références :
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Fichier :
Réduction de Jordan (par la dualité)
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Développement :
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Remarque :
Pas grand chose à dire, il faut juste être au clair sur les propriétés de base du dual.
Je le prends pour les leçons 144, 148, 151, 154, 156 et 159.
On trouvera la preuve aux alentours de la page 672.
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Référence :
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Fichier :
Théorème chinois et applications
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Développement :
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Remarque :
Rien de très original, attention à bien maîtriser les petites propriétés sous-jacentes.
Je prends ce développement pour les leçons 122 et 142. On peut évidemment remplacer $A$ principal quelconque par $\mathbb Z$.
On trouvera les preuves/applications aux pages 244 (le théorème) et 286-288 (les applications).
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Référence :
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Fichier :
Idempotents et fonctions puissances de l'anneau Z/nZ
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Développement :
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Remarque :
En rédigeant ce développement, je me suis rendu compte qu'on utilisait plein de fois le théorème chinois. Ainsi, j'ai rajouté dans mon pdf plein de résultats importants qui utilisent le théorème chinois, comme les conditions sur $n$ pour assurer la cyclicité de $\displaystyle \left(\frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}\right)^{\times}$ ou le critère de Korselt pour les nombres de Carmichaël. Cela peut égayer ce développement qui peut paraître morose au premier abord. Enjoy !
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Références :
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Fichier :
Simplicité du groupe alterné An
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Développement :
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Remarque :
Mixte Perrin et Rombaldi. Attention au lemme sur les 5-cycles. Il n'est pas dans les références car je le fais sans les Sylow.
Leçons 103, 104, 105, 108, 190
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Références :
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Fichier :
Polynômes irréductibles sur Fq
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Développement :
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Remarque :
Bien lire le document pour choisir sa référence, il y en a pour tous les goûts !
Je le mets pour la 123, 125 et 141. Pour la 125, Francinou-Gianella/Demazure me parait incontournable.
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Références :
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Fichier :
Réduction des endomorphismes normaux dans un espace euclidien
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Développement :
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Remarque :
Pour les leçons 106, 148, 150, 151, 152, 157, 158 car il est facile de démontrer le théorème de classification des isométries + le théorème spectral avec. Pour la 152, outre le théorème spectral, on fait un peu de polynômes d'endomorphismes.
J'ai utilisé le Rombaldi mais en cas de doute, on peut aussi lire le Gourdon. Par contre, j'ai bricolé une version un peu plus directe.
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Références :
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Fichier :
Réduction de Jordan (par la dualité)
Décomposition de Dunford
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Développement :
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Remarque :
Ce développement est peut-être un peu court... On peut donc rajouter un autre corollaire pour le faire tenir en 15 minutes.
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Référence :
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Fichier :
Réduction des formes quadratiques et théorème de Sylvester
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Développement :
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Remarque :
*Mes développements n’ont pas été pensés pour être partagés au départ, vous excuserez mon écriture et mes notations un peu brouillonnes. Soyez vigilants sur les coquilles/erreurs possibles et critiques sur ce que vous lisez. N’hésitez pas à me contacter pour des clarifications.
*La plupart de mes dévs contiennent un plan et un rappel des énoncés, pour être au clair sur ce qu’on a à disposition et ce qu’on veut faire.
*Les recasages inscrits sur le document sont les numéros de 2023/2024.
Recasages :
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Références :
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Fichier :
Le dénombrement des polynômes irréductibles unitaires sur un corps fini
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Développement :
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Remarque :
*Mes développements n’ont pas été pensés pour être partagés au départ, vous excuserez mon écriture et mes notations un peu brouillonnes. Soyez vigilants sur les coquilles/erreurs possibles et critiques sur ce que vous lisez. N’hésitez pas à me contacter pour des clarifications.
*La plupart de mes dévs contiennent un plan et un rappel des énoncés, pour être au clair sur ce qu’on a à disposition et ce qu’on veut faire.
*Les recasages inscrits sur le document sont les numéros de 2023/2024.
Ma version ne parle pas de la fonction de Möbius. Je fais un exemple d'utilisation du résultat.
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Référence :
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Fichier :
Le dénombrement des polynômes irréductibles unitaires sur un corps fini
Dunford et l'exponentielle de matrice
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Développement :
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Remarque :
Version manuscrite, désolée pour l'écriture .
Je suis passée sur ce développement à l'oral, j'ai du abréger la fin car il ne me restait plus de temps.
Il se peut qu'il reste des coquilles, n'hésitez pas à me contacter au besoin.
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Références :
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Fichier :
Théorème spectral et ses trois corollaires
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Développement :
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Remarque :
A la fin de mes devs je mets toujours une petite note sur les résultats annexes à savoir, c'est très subjectif et non exhaustif, il y a évidemment pleins d'autres choses à savoir sur chaque dev que ce que je mets.
Pour me contacter si besoin : axel.carpentier2001@gmail.com
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Référence :
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Fichier :
Réduction de Jordan (par la dualité)
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Développement :
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Remarque :
A la fin de mes devs je mets toujours une petite note sur les résultats annexes à savoir, c'est très subjectif et non exhaustif, il y a évidemment pleins d'autres choses à savoir sur chaque dev que ce que je mets.
Pour me contacter si besoin : axel.carpentier2001@gmail.com
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Référence :
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Fichier :
Théorème chinois et applications
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Développement :
-
Remarque :
A la fin de mes devs je mets toujours une petite note sur les résultats annexes à savoir, c'est très subjectif et non exhaustif, il y a évidemment pleins d'autres choses à savoir sur chaque dev que ce que je mets.
Pour me contacter si besoin : axel.carpentier2001@gmail.com
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Référence :
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Fichier :
Dunford et l'exponentielle de matrice
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Développement :
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Références :
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Fichier :
Décomposition LU et de Cholesky
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Développement :
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Remarque :
Lorsque la leçon s'oriente vers les formes quadratiques (157 - 170 - 171) il est préférable de démontrer le critère de Sylvester et la décomposition de Cholesky et dans les autres cas (154 - 162) il vaut mieux démontrer la décomposition LU et de Cholesky.
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Référence :
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Fichier :
Générateurs de SL_n(K) et GL_n(K)
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Développement :
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Remarque :
Il faut bien défendre le développement pour la leçon 162 en insistant sur le fait qu'on effectue moralement un pivot de Gauss lorsque l'on démontre le théorème.
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Référence :
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Fichier :
Homéomorphisme de H_n(C) sur H_n^++(C)
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Développement :
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Remarque :
Si le développement est un peu court on peut rajouter en préambule un lemme sur le lien entre norme subordonnée et rayon spectral pour une matrice M de GL_n(C).
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Référence :
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Fichier :
Loi d’inertie de Sylvester et classification des formes quadratiques sur R
Simplicité de A_n pour n = 3 et n ≥ 5
Surjectivité de l’exponentielle matricielle
Théorème des restes chinois et application
Générateurs de Gl_n(K) et Sl_n(K) et application à la connexité
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Développement :
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Remarque :
Ce développement mérite d'être bien travaillé, surtout pour justifier que "par hypothèse de récurrence, ça marche", chose que j'ai essayé de faire à la fin en noir. L'application à la connexité permet de recaser ce développement dans la 204.
On peut optimiser le début de la récurrence je pense.
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Référence :
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Fichier :
Surjectivité de l’exponentielle matricielle
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Développement :
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Remarque :
Il faut faire attention avec la démonstration du premier lemme de ce développement dans le Rombaldi, il mélange un peu les intervalles de définition des fonctions ! Le plus simple est de rester sur $]-\frac{1}{\rho(A)};\frac{1}{\rho(A)}[$ tout le long de la preuve, en précisant que "$\frac{1}{0}=\infty$".
Il faut aussi bien savoir justifier que les séries matricielles convergent, qu'on peut dériver terme à terme. C'est ce que j'ai fait sur le côté gauche de la première page mais ça a été coupé par le scan... Je recommande de toute manière de bien travailler la partie du Rombaldi sur le rayon spectral et les séries matricielles.
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Référence :
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Fichier :
Simplicité de A_n pour n = 3 et n ≥ 5
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Développement :
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Remarque :
Avec de l'entraînement, on peut faire tenir les 2 lemmes et le théorème en 15 minutes. Au delà de connaître la démonstration, il faut avoir bien compris pourquoi il suffit de trouver un 3-cycle dans le sous-groupe distingué non trivial de $\mathfrak{A}_n$. Sinon, le développement n'est pas très difficile, les 2 lemmes sont des exercices sûrement déjà traités en L3 (ou même avant) et le théorème, c'est grosso modo 3 fois le même argument.
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Référence :
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Fichier :
Décomposition LU et de Cholesky
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Développement :
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Remarque :
Je n'utilisais pas les mêmes recasages que Tintin mais je suis d'accord avec sa remarque. Pour ma part, je le recasais seulement dans 154 et 162.
J'ai trouvé ce développement très enrichissant (je l'ai bossé en même temps que la leçon 154), car je ne connaissais pas du tout ces décompositions avant.
Il faut savoir comment on les obtient en pratique, de manière plus ou moins algorithmique. Savoir comment on peut avoir QR à l'aide de Cholesky et réciproquement.
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Référence :
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Fichier :
Nombres de Carmichael et théorème de Korselt
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Développement :
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Remarque :
Un développement peu connu qui se recase très bien dans 120,121 et surtout 127 (la petite nouvelle de 2024) !
Il est moyennement difficile dans la mesure où je trouve les idées assez astucieuses par endroits, mais c'est beaucoup de calcul modulaire et d'applications du théorème de Lagrange pas très difficiles.
Je me suis efforcé à justifier toutes les congruences car certaines ne me paraissaient pas triviales, mais ça l'est peut-être pour d'autres...
Attention, le Rombaldi oublie un argument pour 3) implique 1), il faut mentionner le théorème chinois pour l'existence du $x$ tel que.... !
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Référence :
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Fichier :
Critère de Sylvester
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Développement :
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Remarque :
Ce développement a le mérité de rentrer parfaitement dans la 157 pour laquelle il peut être difficile de trouver des développements...
Il faut savoir démontrer le théorème de Sylvester donnant la classe de congruence d'une matrice symétrique réelle, il faut aussi savoir faire en pratique : étant donné une forme quadratique réelle, la décomposer en carrés, en déduire son rang, sa signature.
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Référence :
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Fichier :
Critère de nilpotence par la trace et théorème de Burnside
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Développement :
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Remarque :
Je suis d'accord avec les recasages de Tintin, personnellement j'ai utilisé ce développement uniquement pour la leçon 153 car il m'en manquait un... Je l'ai fait un peu en catastrophe à la toute fin de l'année, mais comme il est facile ça a été.
Par sécurité, il faut savoir comment on obtient la formule de Vandermonde sur le déterminant (récurrence).
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Référence :
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Fichier :
Théorème du point fixe de Kakutani et sous-groupes compacts de GLn(R)
Dunford et l'exponentielle de matrice
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Développement :
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Remarque :
Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !
Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !
(Bon courage !)
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Références :
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Fichier :
Réduction des endomorphismes normaux dans un espace euclidien
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Développement :
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Remarque :
Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !
Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !
(Bon courage !)
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Référence :
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Fichier :
Le dénombrement des polynômes irréductibles unitaires sur un corps fini
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Développement :
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Remarque :
Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !
Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !
(Bon courage !)
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Référence :
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Fichier :
Simplicité du groupe alterné An
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Développement :
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Remarque :
Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !
Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !
(Bon courage !)
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Références :
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Fichier :
Condition de cyclicité des (Z/nZ)^x
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Développement :
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Remarque :
Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !
Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !
(Bon courage !)
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Références :
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Fichier :
Théorème chinois et applications
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Développement :
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Remarque :
Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !
Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !
(Bon courage !)
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Références :
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Fichier :
Critère de Sylvester et applications
Théorème de d'Alembert-Gauss par la compacité
Critère d'Eisenstein + application à l'irréductibilité de $\Phi_p$
Etude de la fonction Zeta de Riemann
Dénombrement des matrices diagonalisables de Mn(Fq)
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Développement :
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Remarque :
Développement rédigé pour l'oral, attention aux éventuelles coquilles/erreurs.
Dans Rombaldi c'est simplement les automorphismes (donc pas de valeur propre 0). Dans mon développement j'ai ajouté le cas lambda = 0 pour avoir toutes les matrices diag, automorphismes ou pas.
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Référence :
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Fichier :
Sous-groupes distingués de Sn
Théorème chinois et applications
Corps des nombres algébriques
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Développement :
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Remarque :
Développement très classique, mais j'ai décidé de la faire de façon un peu moins conventionnelle. Je l'ai séparé en trois parties: preuve que l'ensemble des nombres algébriques sur un corps est un corps, puis montrer que ce corps est algébriquement clos si le corps de départ l'est, et enfin construction d'un polynôme annulateur pour la somme de deux nombres algébriques. Cette troisième partie nécessite la notion de résultant, très intéressante, très riche, mais hors programme. Si vous ne voulez pas vous y frotter, ne prenez pas cette version du développement.
L'idée est de montrer que la preuve par les extensions de corps est très efficace, mais non constructive, et de présenter un outil pour faire une preuve constructive. En effet, une fois que l'on a la stabilité par la somme, la stabilité par produit se fait de façon semblable. La stabilité par l'inverse se fait rapidement, sans avoir besoin de théories exotiques. Le Rombaldi explique bien la partie sur le résultant, dans son chapitre "Résultant". Attention cependant: il le fait dans le cas des entiers algébriques, qui nécessitent d'avoir un polynôme annulateur unitaire. Ici, ce n'est pas le cas, donc la preuve est encore plus simple! Il faut quand même s'y pencher un peu pour voir ce qui peut être enlevé.
Côté recasages à mon avis:
Extensions de corps
Exemples de nombres et d'anneaux de nombres remarquables
Racines d'un polynôme
Déterminant (dans cette leçon, il faudra donc prévoir une partie sur le résultant. Dans le développement, je ne montrais pas la partie sur les corps algébriquement clos, mais faisais aussi l'explication pour trouver un polynôme annulateur du produit de deux nombres algébriques)
Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
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Références :
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Fichier :
Critère de Sylvester et applications
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Développement :
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Remarque :
Développement sympathique, pas spécialement difficile, mais assez attention au temps. Les récurrences rendent le développement assez long. Le lemme de départ peut être une bonne source d'économie de temps, mais sans le montrer, le développement est un peu court... Il faut voir comment vous vous y prenez pour faire votre choix. Maîtriser la loi d'inertie de Sylvester est bien évidemment un impératif pour présenter ce développement.
Côté recasage à mon avis:
Formes quadratiques sur un ev de dimension finie
Déterminant (certains considèrent ce recasage abusif. Je ne comprends pas: le critère de Sylvester porte précisément sur les mineurs de la matrice qui sont des déterminants. En plus dans l'application, on est amené à développer un déterminant...)
Formes quadratiques réelles
Matrices symétriques
Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
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Référence :
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Fichier :
Loi d'inertie de Sylvester, classification des formes quadratiques sur R, équivalence
Polynômes irréductibles sur Fq
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Développement :
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Remarque :
J'aime bien.
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Référence :
Théorème chinois et applications
Réduction de Jordan (par la dualité)
Sous groupes finis de K*
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Développement :
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Remarque :
Simplicime.
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Référence :
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Fichier :
Dunford et l'exponentielle de matrice
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Développement :
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Remarque :
Pour les leçons : 150, 151, 152, 155, 156.
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Références :
Diagonalisabilité de l'exponentielle de matrice
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Développement :
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Remarque :
Un développement vraiment pas difficile, mais qui est respectable dans la leçon sur l'exponentielle de matrices. Il peut être un peu court en l'état pour certains, mais il est facile de rajouter des petites choses en cas de besoin. Le Rombaldi fait le développement de façon tout à fait respectable ! J'ai rédigé le développement en version endomorphismes, mais je suppose qu'il n'y a pas de problème à le rédiger version matrices.
Côté recasages à mon avis:
Exponentielles de matrices
Endomorphismes diagonalisables
Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
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Référence :
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Fichier :
Théorème chinois et applications
Irréductibilité des polynômes cyclotomiques sur Q[X]
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Développement :
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Remarque :
Pour les leçons : 102, 120(on utilise grandement la réduction modulo p), 123(on se place dans Z/pZ et on utilise le morphisme de Frobenius), 125, 127, 141, 144,
Attention, ce développement est assez difficile, il faut donc être bien sûr de soi si on le présente et faire attention à tous les petits détails de la preuve. Par exemple, dans la démonstration du Perrin, il y a beaucoup d'arguments qui sont passés sous silence, et sur lesquels le jury vous interrogera obligatoirement !
Je mets aussi un PDF général sur les polynômes cyclotomiques, qui contient également le développement (mieux rédigé que mon développement original car relu par un prof).
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Références :
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Fichiers :
Trigonalisation simultanée
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Développement :
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Remarque :
Je fais aussi la co-diagonalisation, à voir en fonction du temps et de la leçon présentée. On peut aussi rajouter une application si besoin.
Je fais les deux démonstrations dans le cas d'une famille quelconque d'endomorphismes.
Pour la co-trigonalisation, je ne le fais pas avec les formes linéaires.
Pour les leçons : 148, 151, 156.
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Références :
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Fichier :
Décomposition polaire
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Développement :
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Remarque :
Tout ce que j'ai écrit ne rentre pas en 15 minutes, à choisir en fonction de ses goûts.
Pour les leçons : 106, 152, 157, 158.
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Références :
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Fichier :
Simplicité de A_n pour n = 3 et n ≥ 5
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Développement :
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Remarque :
Pour les leçons : 103, 104, 105, 108.
En fonction du temps, on peut ou non démontrer les lemmes (mais dans tous les cas il faut savoir les démontrer).
Au final je ne faisais pas ce développement car je le trouvais trop compliqué à mémoriser. Je faisais les sous-groupes distingués de $S_{n}$ à la place.
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Références :
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Fichier :
Réduction de Jordan (par la dualité)
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Développement :
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Remarque :
Un développement que je trouve dangereux. Il se recase bien et constitue une jolie application de la dualité, mais il est long et utilise des propriétés qu'il faut bien maîtriser. Je ne présente que le cas des endomorphismes nilpotents, mais bien sûr, il faut savoir prolonger l'étude aux endomorphismes dont le polynômes caractéristique est scindé. Il faut aussi savoir faire une réduction de Jordan sur des exemples ; remarque qui paraît évidente, mais qui l'est beaucoup quand on sait que le développement ne constitue pas une méthode constructive ! Attention aussi aux arguments du style "on continue de la même façon, et ça va marcher" que l'on utilise dans les deux premiers lemmes ; ce sont des récurrences cachées, certes faciles, mais j'ai toujours l'impression de perdre en précision à l'oral. Pourtant, la longueur du développement ne permet pas de faire plus précis...
Pour les recasages à mon avis :
Endomorphismes nilpotents
Formes linéaires et dualité
Dimension d'un espace vectoriel
Exemple de décomposition de matrices
Sous-espaces stables par un/des endomorphisme(s)
Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
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Référence :
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Fichier :
Caractérisation des matrices nilpotentes par la trace
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Développement :
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Remarque :
Pour les leçons : 149, 153, 156, 162.
A adapter selon les leçons : par exemple pour la 149, je redémontre l'expression du déterminant de Vandermonde.
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Références :
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Fichier :
Dénombrement des matrices diagonalisables de Mn(Fq)
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Développement :
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Remarque :
NH2G2 Tome second Caldero page 66 + Rombaldi page 148.
Couplé avec les leçons 101, 106, 123, 152, 190
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Références :
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Fichier :
Simplicité de A_n pour n = 3 et n ≥ 5
Dunford et l'exponentielle de matrice
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Développement :
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Remarque :
Gourdon page 192 + Rombaldi
Couplé avec les leçons 150, 151, 152, 155, 156
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Références :
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Fichier :
Décomposition de Dunford
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Développement :
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Remarque :
Gourdon page 192 + Rombaldi
Couplé avec les leçons 150, 151, 152, 155, 156
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Références :
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Fichier :
Exemple de la trace
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Développement :
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Remarque :
Pour les leçons : 170, 171.
ATENTION : il y a une erreur dans le Rombaldi, lorsque l'on montre que l'orthogonal de $S_n(\mathbb{R})$ est $A_n(\mathbb{R})$, on veut montrer que $C(M,N)=0$. Le livre conclut directement en disant que $MN$ appartient à $A_n(\mathbb{R})$,, ce qui n'est pas le cas !! On peut quand même s'en sortir en passant par la transposée.
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Référence :
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Fichier :
Sous-groupes distingués de Sn
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Développement :
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Remarque :
Pour les leçons : 103, 104, 105, 108.
Développement que je trouve beaucoup plus simple que le classique "$\mathcal{A}_n$ est simple" et qui se recase dans les mêmes leçons.
Attention à l'ordre dans le plan, car par exemple le Berhuy utilise la simplicité de $\mathcal{A}_n$ pour en déduire les sous-groupes distingués de $\mathcal{S}_n$.
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Références :
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Fichier :
Surjectivité de l’exponentielle matricielle
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Développement :
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Remarque :
Pour les leçons : 150, 152, 155.
Je ne faisais ce développement que pour la leçon sur l'exponentielle de matrice (pour les autres il y a de meilleurs devs je pense). La preuve que j'ai pris est dans le Mansuy et est vraiment différente des autres que j'ai trouvé sur agreg-maths, c'est pour cette raison que je la poste. Je la trouve beaucoup plus simple (après c'est vraiment subjectif).
Si on présente la leçon sur l'exponentielle de matrice, il faut de toute façon connaitre ce résultat et ses corollaires.
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Références :
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Fichier :
Action par translation à gauche de GLn(K) sur Mn,m(K)
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
1er théorème d'isomorphisme
Dénombrement des automorphismes diagonalisables de Fq
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Développement :
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Remarque :
On retrouvera la preuve aux alentours de la page 203.
J'aime beaucoup ce développement car il mêle beaucoup de notion autour des actions de groupes pour dénombrer des ensembles, les corps finis, et des critères de diagonalisations.
Je pense que c'est un bon investissement car il n'est ni trop dur, ni trop simple et il se recase bien.
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Référence :
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Fichier :
Critère d'Eisenstein
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Développement :
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Remarque :
Développement technique. On peut également le présenter pour $\mathbb{A} = \mathbb{Z}$, ce qui facilite certains passages, mais le rend moins pertinent dans la leçon n°122 (sur les anneaux principaux). Je pense que c’est un bon choix de développement, puisqu’il est accessible et rentre dans plusieurs leçons. De plus, le critère d’Eisenstein figure sur le programme du concours.
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Référence :
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Fichier :
Condition de cyclicité des (Z/nZ)^x
Décomposition de Dunford
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Développement :
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Remarque :
C’est un développement très (trop ?) classique. Mais il n’est pas nécessaire d’être original pour être admis au concours, donc ce n’est pas un inconvénient majeur. De mon point de vue, c’est un bon choix de développement, puisqu’il est accessible et rentre dans de nombreuses leçons. De plus, la décomposition de Dunford figure sur le programme du concours. Pour la leçon n°155 (sur l’exponentielle de matrices), il vaut mieux admettre le lemme 1 pour avoir le temps de prouver le théorème 3 et l’application 4. Pour les autres leçons, on peut seulement prouver le lemme 1 et le théorème 2.
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Référence :
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Fichier :
Décomposition polaire
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Développement :
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Remarque :
C’est un développement très (trop ?) classique. Mais il n’est pas nécessaire d’être original pour être admis au concours, donc ce n’est pas un inconvénient majeur. On utilise beaucoup de résultats au programme, donc vous devez être irréprochable sur ces derniers. À noter qu’il se recase dans de nombreuses leçons. De plus, la décomposition polaire figure sur le programme du concours.
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Référence :
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Fichier :
Dénombrement des polynômes unitaires irréductibles sur un corps fini
Simplicité du groupe alterné An
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Développement :
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Remarque :
C’est un développement très (trop ?) classique. Mais il n’est pas nécessaire d’être original pour être admis au concours, donc ce n’est pas un inconvénient majeur. C’est un développement technique, que j’ai dû beaucoup travailler pour bien le maîtriser. Malgré cela, je pense que c’était un investissement rentable puisqu’il se recase dans de nombreuses leçons.
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Référence :
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Fichier :
Théorème de Burnside
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Développement :
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Remarque :
Pour être tout à fait honnête, je l'avais présenté en oral blanc et j'avais complètement foiré la fin. Je ne le maîtrisais pas encore suffisamment bien, et j'avais écrit $\mathrm{Tr}((AB^{-1})^j) = (\mathrm{Tr}(AB^{-1}))^j$, ce qui donnait ensuite :
\begin{equation*}
\mathrm{Tr}((AB^{-1}-I_n)^k) = \sum_{j=0}^{n} \binom{k}{j} (-1)^{k-j} n^j
\end{equation*}
m'empêchant donc de conclure. Or, l'égalité $\mathrm{Tr}((AB^{-1})^j) = (\mathrm{Tr}(AB^{-1}))^j$ est fausse a priori (la trace n'est pas multiplicative). Par exemple, si $A=B=I_n$ alors $\mathrm{Tr}((AB^{-1})^j) = \mathrm{Tr}(I_n) = n$ et $(\mathrm{Tr}(AB^{-1}))^j = (\mathrm{Tr}(I_n))^j = n^j$. Malgré cette mésaventure, j'apprécie ce développement, qui se comprend et se retient facilement, et peut être présenté dans plusieurs leçons. Je le recommande.
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Référence :
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Fichier :
Théorème de Cauchy et classification des groupes d'ordre 6
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Développement :
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Remarque :
Pour être tout à fait honnête, je n'avais pas eu le temps de bien préparer ce développement, car je l'avais choisi tardivement, sous les recommandations d'un ami (coucou Max). La preuve du théorème de Cauchy étant assez courte, j'ai choisi de rajouter la classification des groupes d'ordre $6$. Lors de l'exposé, n'écrivez pas tous les calculs ainsi que la table de multiplication de $G$. Montrez seulement les égalités $aba = b^{-1}$, $ab = bab^{-1}$ et $ba = b^{-1} a b$, puis expliquez que ces dernières permettent d'obtenir la table de multiplication de $G$, puis de conclure que $G$ est isomorphe à $\mathfrak{S}_3$. Je pense que c'est un bon choix de développement.
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Référence :
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Fichier :
Théorème de d'Alembert-Gauss
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Développement :
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Remarque :
Développement un peu technique, mais qui se comprend facilement. On exploite des résultats d’analyse pour démontrer une propriété algébrique, ce qui sera apprécié par le jury. De plus, le théorème de d’Alembert-Gauss figure sur le programme du concours.
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Référence :
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Fichier :
Théorème des restes chinois et application
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Développement :
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Remarque :
Développement très sympathique, qui se comprend et se retient facilement, et peut être présenté dans plusieurs leçons. De plus, le théorème des restes chinois figure sur le programme du concours.
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Référence :
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Fichier :
Fonction zeta et nombres premiers
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Développement :
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Remarque :
Développement très sympathique, qui se recase dans de nombreuses leçons. Par contre, le développement est assez long. Ne démontrez surtout pas la proposition 2 durant votre exposé. Écrivez directement que $\displaystyle \zeta(\alpha) \underset{\substack{\alpha \rightarrow 1 \\ \alpha > 1}}{\sim} \frac{1}{\alpha-1}$, et précisez à l'oral que cet équivalent se démontre en effectuant une comparaison série intégrale. En revanche, entraînez-vous à rédiger proprement cette comparaison série-intégrale : c'est niveau licence donc vous devez être irréprochable.
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Référence :
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Fichier :
Divergence de la série des inverses des nombres premiers
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Développement :
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Remarque :
Développement très sympathique, qui se recase dans de nombreuses leçons. Par contre, le développement est assez long. Ne démontrez surtout pas la proposition 2 durant votre exposé. Écrivez directement que $\displaystyle \zeta(\alpha) \underset{\substack{\alpha \rightarrow 1 \\ \alpha > 1}}{\sim} \frac{1}{\alpha-1}$, et précisez à l'oral que cet équivalent se démontre en effectuant une comparaison série intégrale. En revanche, entraînez-vous à rédiger proprement cette comparaison série-intégrale : c'est niveau licence donc vous devez être irréprochable.
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Référence :
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Fichier :
L'exponentielle induit un homéomorphisme entre Sn(R) et Sn(R)++
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Développement :
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Remarque :
J'ai bricolé moi-même la bicontinuité, j'espère qu'il n'y a pas d'erreur. L'argument demande le fait que les racines d'un polynôme dépendent continûment du polynôme. Il faut savoir l'expliquer, ce n'est pas évident.
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Référence :
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Fichier :
Co-trigonalisation d'une famille finie d'endomorphismes
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Développement :
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Remarque :
Dév pas costaud.
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Référence :
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Fichier :
Homéomorphisme de H_n(C) sur H_n^++(C)
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Développement :
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Remarque :
Dév pas très costaud.
Je ne fais pas plus que ça, pas de lemme en plus mais on peut ajouter le lemme sur le rayon spectral ou le lemme de convergence d'une suite ayant une seule valeur d'adhérence dans un compact.
Dév éprouvé à l'oral le jour J, voir mon retour d'oral de la leçon 206.
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Référence :
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Fichier :
Des isomorphismes exceptionnels des groupes linéaires projectifs d'un corps fini
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Développement :
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Remarque :
Recasages: 101, 104, 105, 106, 123
En fonction de la leçon, soit démontrer que le noyau est constitué des homothéties ou le lemme sur les sous-groupes d'indice n de Sn. Avec cette adaptation, ça passe en 14 minutes. Je fais également un tableau avec le cardinal de PGL_n, PSL_n et S_n.
Pour les références, j'utilise principalement le Caldero, le Perrin pour le lemme et le Rombaldi c'est là qu'est démontré que le centre de GL_n c'est les matrices d'homothéties.
Je suis passé dessus le jour J dans la leçon sur les corps finis. Voici les questions posées:
- Quelle est la définition des groupes projectifs linéaires ? (j'avais directement quotienté par les homothéties)
- Comment montrer que le centre de GL_n c'est les matrices scalaires ?
- Quel est le cardinal des racines n-ièmes de l'unité sur F_q ? (j'ai seulement fait le cas n=2)
- Comment montrer le lemme sur les sous-groupes de S_n ?
- Pourquoi ces isomorphismes sont qualifiés d'exceptionnels ? (je conseille les vidéos de Phil Caldero sur le sujet qui explique notamment l'aspect historique)
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Références :
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Fichier :
Réduction des endomorphismes nilpotents (par dualité)
L'exponentielle induit un homéomorphisme entre Sn(R) et Sn(R)++
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Développement :
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Remarque :
Recasages: 152, 153 (un peu abusif), 155, 157, 158
Il passe en 14min30 mais faut aller vite. On peut gagner un peu de temps à la fin comme je le marque.
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Référence :
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Fichier :
Surjectivité de l’exponentielle matricielle
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Développement :
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Remarque :
Recasages: 150, 155
Je prends Rombaldi pour le lemme et Mansuy-Mneimné (3e édition !) pour la proposition.
Passe pile en 15 minutes mais pas le temps de faire le corollaire.
Je suis passé dessus en oral blanc. Voici les questions posées:
- Comment s'assurer que le polynôme interpolateur est bien défini ?
- Comment montrer que l'inverse d'un polynôme en A est encore un polynôme en A ?
- Vous admettez la surjectivité de l'exponentielle sur C. Est-ce que l'on ne pourrait pas la retrouver à partir de votre premier résultat ? (c'est pas immédiat, il faut montrer que exp(C) est ouvert via ce résultat puis fermé car son complémentaire est ouvert car C est la réunion de exp(C) et des classes à gauche modulo le sous-groupe exp(C))
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Références :
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Fichier :
Théorème chinois et applications
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Développement :
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Remarque :
Recasages: 120, 122, 142
Je suis pas complètement convaincu par mon choix de système de congruences car on a des nombres qui sont grands dans les calculs, mais je voulais au moins un système de taille 3.
Il passe en 15 minutes mais il faut connaître les résultats des calculs pour l'application.
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Référence :
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Fichier :
Loi d'inertie de Sylvester, classification des formes quadratiques sur R, équivalence
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Développement :
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Remarque :
Recasages: 148, 157, 159 (un peu abusif), 170, 171
Ca passe en 14min30. Je trouve que l'argument de maximalité à la fin n'est pas très clair.
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Références :
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Fichier :
Réduction des endomorphismes normaux
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Développement :
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Remarque :
- Un endomorphisme d'un $\mathbb{R}$-espace vectoriel admet toujours une droite ou un plan stable ;
- Si $u$ est normal et $F$ est $u$-stable, alors $F^\perp$ est $u$-stable ;
- Réduction des endomorphismes normaux d'un plan euclidien ;
- Théorème général en dimension quelconque.
Leçons concernées : 150, 151, 152, 158
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Référence :
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Fichier :
Réduction de Jordan (par la dualité)
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Développement :
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Remarque :
- Construction de sous-espaces cycliques par la dualité pour un endomorphisme nilpotent ;
- Réduction de Jordan des endomorphismes nilpotents ;
- Réduction de Jordan générale.
Leçons concernées : 151, 156, 159
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Référence :
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Fichier :
Simplicité du groupe alterné An
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Développement :
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Remarque :
- Pour $n \geqslant 5$, les $3$-cycles sont $\mathfrak{A}_n$-conjugués et engendrent $\mathfrak{A}_n$ ;
- Pour $n \geqslant 5$, $\mathfrak{A}_n$ est simple ;
- Pour $n \geqslant 5$, les sous-groupes distingués de $\mathfrak{S}_n$ sont $\{\mathrm{id}\}$, $\mathfrak{A}_n$ et $\mathfrak{S}_n$.
Leçons concernées : 103, 105, 108
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Références :
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Fichier :
Théorème chinois et applications
Utilisée dans les 455 versions de leçons suivantes :
171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
110 : Structure et dualité des groupes abéliens finis. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
202 : Exemples de parties denses et applications.
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Leçon :
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Références :
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Algèbre
, Gourdon
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Analyse
, Gourdon
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Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily
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De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman
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Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré
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Analyse. Théorie de l'intégration, Briane, Pagès
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Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
-
Cours d'analyse
, Pommelet
-
Cours d'analyse fonctionnelle, Daniel Li
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Fichier :
233 : Analyse numérique matricielle : résolution approchée de systèmes linéaires, recherche de vecteurs propres, exemples.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
156 : Exponentielle de matrices. Applications.
106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
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Leçon :
-
Références :
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Fichier :
103 : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
121 : Nombres premiers. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Plan présenté le jour J.
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Références :
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Fichier :
226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1=f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
221 : Équations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
220 : Équations différentielles ordinaires. Exemples de résolution et d’étude de solutions en dimension 1 et 2.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
162 : Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
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Leçon :
-
Références :
-
Analyse numérique et optimisation : une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique, Allaire
-
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 2, Caldero, Germoni
-
Oraux X-ENS Algèbre 2
, Francinou, Gianella, Nicolas
-
Algèbre
, Gourdon
-
Algèbre linéaire
, Grifone
-
Cours d'algèbre
, Perrin
-
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis
-
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
-
Fichier :
160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
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Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
-
Leçon :
-
Références :
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Fichier :
158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
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Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
156 : Exponentielle de matrices. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
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Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
153 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
150 : Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.
-
Leçon :
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Références :
-
Fichier :
144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
126 : Exemples d’équations en arithmétique.
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Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
120 : Anneaux Z/nZ. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
108 : Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.
-
Leçon :
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Références :
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Fichier :
107 : Représentations et caractères d’un groupe fini sur un C-espace vectoriel. Exemples.
105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.
-
Leçon :
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Références :
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Fichier :
104 : Groupes abéliens et non abéliens finis. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l’unité. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
120 : Anneaux Z/nZ. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
J'ai changé les developpements en cours d'année : j'aurai finalement mis Dirichlet faible et le théorème de Sophie Germain (que j'aurai rajouté après les tests de primalité), les refs ne sont pas notées car c'est une version faite en oral blanc mais tout se trouve assez facilement : voir Gozard pour les polynomes cyclotomiques, Berhuy pour le théorème Chinois et les éléments remarquables, Gourdon pour les tests de primalité, Combes pour le théorème de structure et le reste se trouve facilement dans Perrin et Rombaldi
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Références :
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Fichier :
144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
103 : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
-
Leçon :
-
Références :
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Fichier :
105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
108 : Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.
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Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
121 : Nombres premiers. Applications.
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Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
126 : Exemples d’équations en arithmétique.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
152 : Déterminant. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
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Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
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Leçon :
-
Références :
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Fichier :
171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
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Leçon :
-
Références :
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Fichier :
153 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l’unité. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
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Leçon :
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Références :
-
Fichier :
120 : Anneaux Z/nZ. Applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
122 : Anneaux principaux. Applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
123 : Corps finis. Applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
150 : Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
156 : Exponentielle de matrices. Applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
191 : Exemples d’utilisation des techniques d’algèbre en géométrie.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
-
Leçon :
-
Référence :
-
Fichier :
158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
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Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
161 : Distances et isométries dun espace affine euclidien.
101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
-
Leçon :
-
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Ulm] Théorie des Groupes : Félix Ulmer
[Per] Cours d'algèbre : Perrin
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann, Pecatte
-
Références :
-
Fichier :
103 : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
104 : Groupes abéliens et non abéliens finis. Exemples et applications.
105 : Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.
106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
108 : Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.
120 : Anneaux Z/nZ. Applications.
-
Leçon :
-
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[FGN Al1] Oraux X-ENS Algèbre 1 : Francinou, Gianella, Nicolas
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[Per] Cours d'algèbre : Perrin
-
Références :
-
Fichier :
121 : Nombres premiers. Applications.
-
Leçon :
-
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[FGN Al1] Oraux X-ENS Algèbre 1 : Francinou, Gianella, Nicolas
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[Per]Cours d'algèbre : Perrin
-
Références :
-
Fichier :
122 : Anneaux principaux. Applications.
123 : Corps finis. Applications.
-
Leçon :
-
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Cal] Extension de Corps - Théorie de Galois : Josette Calais
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[Per] Cours d'algèbre : Perrin
[FGN Al1] Oraux X-ENS Algèbre 1 : Francinou, Gianella, Nicolas
-
Références :
-
Fichier :
125 : Extensions de corps. Exemples et applications.
126 : Exemples d'équations en arithmétique.
-
Leçon :
-
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Per] Cours d'algèbre : Perrin
[FGN An2] Oraux X-ENS Analyse 2 : Francinou, Gianella, Nicolas
[FGN Al1] Oraux X-ENS Algèbre 1 : Francinou, Gianella, Nicolas
-
Références :
-
Fichier :
141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.
142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
-
Leçon :
-
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[Cal] Elements de théorie des anneaux : Calais
[Per] Cours d'algèbre : Perrin
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[FGN Al1] Oraux X-ENS Algèbre 1 : Francinou, Gianella, Nicolas
[Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre
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Références :
-
Elements de théorie des anneaux
, Calais
-
Cours d'algèbre
, Perrin
-
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte
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Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
-
Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas
-
131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
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Fichier :
144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
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Leçon :
-
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Per] Cours d'algèbre : Perrin
[Goz] Théorie de Galois : Gozard
[FGN Al1] Oraux X-ENS Algèbre 1 : Francinou, Gianella, Nicolas
[FGN An2] Oraux X-ENS Analyse 2 : Francinou, Gianella, Nicolas
[FGN Al2] Oraux X-ENS Algèbre 2 : Francinou, Gianella, Nicolas
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Références :
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Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
-
Cours d'algèbre
, Perrin
-
Théorie de Galois, Gozard
-
Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas
-
Oraux X-ENS Analyse 2
, Francinou, Gianella, Nicolas
-
Oraux X-ENS Algèbre 2
, Francinou, Gianella, Nicolas
-
Fichier :
149 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Plan de la nouvelle leçon, ça vaut ce que ça vaut...
Références en fin de plan avec les notations:
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[All] Algèbre linéaire numérique : Allaire
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Références :
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Fichier :
150 : Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.
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Leçon :
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Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[GouAl]Algèbre : Gourdon
[H2G2] Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 : Caldero, Germoni
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Références :
-
Fichier :
151 : Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
152 : Déterminant. Exemples et applications.
153 : Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.
154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
156 : Exponentielle de matrices. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Zad] Un max de maths : Zavidovique
[H2G2] Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 : Caldero, Germoni
[Ber] Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements : Julien Bernis et Laurent Bernis
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
-
Références :
-
Fichier :
157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
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Leçon :
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Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[Gri] Algèbre linéaire : Grifone
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[H2G2] Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 : Caldero, Germoni
[All] Algèbre linéaire numérique : Allaire
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Références :
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Fichier :
160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
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Leçon :
-
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[H2G2] Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 : Caldero, Germoni
-
Références :
-
Fichier :
161 : Distances et isométries d’un espace affine euclidien.
170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.
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Leçon :
-
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Gri] Algèbre linéaire : Grifone
[H2G2] Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 : Caldero, Germoni
-
Références :
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Fichier :
171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
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Leçon :
-
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Gri] Algèbre linéaire : Grifone
[H2G2] Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 : Caldero, Germoni
[Rou] Petit guide de calcul différentiel : Rouvière
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
-
Références :
-
Fichier :
190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
-
Leçon :
-
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[DeBia] Mathématiques pour le CAPES et l'Agrégation Interne : Jean de Biaisi
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Per] Cours d'algèbre : Perrin
[FGN An2] Oraux X-ENS Analyse 2 : Francinou, Gianella, Nicolas
[Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre
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Références :
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Mathématiques pour le CAPES et l'Agrégation Interne, Jean de Biaisi
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Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
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Cours d'algèbre
, Perrin
-
Oraux X-ENS Analyse 2
, Francinou, Gianella, Nicolas
-
131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
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Fichier :
191 : Exemples d'utilisation des techniques d'algèbre en géométrie.
106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
-
Leçon :
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Références :
-
Fichier :
150 : Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.
156 : Exponentielle de matrices. Applications.
155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
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Leçon :
-
Références :
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Fichier :
121 : Nombres premiers. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
-
Leçon :
-
Remarque :
Une ébauche de plan
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Références :
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Fichier :
106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
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Leçon :
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Références :
-
Fichier :
160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
105 : Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.
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Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.
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Leçon :
-
Remarque :
Références en fin de plan avec les notations, essentiellement le Rombaldi à part pour mes développements (Dunford et décompo. polaire).
La partie algorithmique mériterait d'être plus poussée (QR, Iwasawa entre autres) mais mon quotient intellectuel ne me le permettrait pas le jour J.
On peut remplacer le Isenmann par le Gourdon.
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Références :
-
Fichier :
148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.
190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
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Leçon :
-
Remarque :
Leçon qui a tourné au diesel pour moi mais une fois son ébauche de plan en tête ça roule tout seul.
Références en fin de plan.
Etant une leçon sur des matrices, il vaut mieux éviter de proposer des développements version endomorphisme et de trop s'attarder sur les formes bilinéaires et les formes quadratiques même si un petit détour est inévitable selon moi (c'est écrit dans le rapport dtfc).
On peut remplacer le Isenmann par le Rombaldi pour la décomp. polaire et le X-ENS Algèbre 3 pour John-Löwner ;)
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Références :
-
Fichier :
106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
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Leçon :
-
Références :
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Fichier :
148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.
190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
-
Leçon :
-
Remarque :
Leçon qui peut faire peur au premier abord car il est rare d'avoir eu un cours sur cette thématique.
Finalement, elle est super cool à faire et change beaucoup des autres leçons :))
Mon plan contient beaucoup de résultats (63) mais c'est surtout la première partie qui est longue (24) et peut-être qu'il n'est pas nécessaire de rappeler certaines définitions en théorie des groupes.
Mes développements sont : "Nombre de Bell" et "Loi de réciprocité quadratique" qui rentrent impec dedans ;)
Il y a beaucoup de références mais elles ont déjà toutes été utilisées dans d'autres leçons donc bon…
On peut remplacer le Isenmann par le Caldero bien entendu…
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Références :
-
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte
-
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
-
Algèbre L3
, Szpirglas
-
Théorie des Groupes, Félix Ulmer
-
Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas
-
De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman
-
Fichier :
160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
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Leçon :
-
Remarque :
Voici mon plan totalement improvisé de mon oral blanc de leçon d'algèbre au sein de ma prépa-agreg. Vous constaterez qu'il est loin d'être parfait et comporte quelles coquilles dues au stress et au manque de temps, mais je l'ai déposé pour que vous puissiez voir à quoi ressemble une production dans le temps imparti de l'épreuve officielle.
Je laisse en référence les livres que j'avais utilisés pendant le temps de préparation.
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Références :
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Fichier :
101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
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Leçon :
-
Références :
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Fichier :
102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l’unité. Applications.
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Leçon :
-
Remarque :
Référence supplémentaire: Algèbre et géométrie: CAPES et Agrégation : Pierre Burg
J'avais initialement ajouté le paragraphe sur les angles orientés, non orientés, mesure principale et écart angulaire pour combler le vide laissé par l'absence de caractères, mais finalement la leçon est déjà assez longue sans ça (on peut donc enlever les items 40 à 44).
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Références :
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Fichier :
103 : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
104 : Groupes finis. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.
106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
108 : Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.
120 : Anneaux Z/nZ. Applications.
121 : Nombres premiers. Applications.
122 : Anneaux principaux. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Le théorème des deux carrés de Fermat est, à mon avis, hors sujet pour cette leçon, puisqu'il utilise de manière critique la factorialité, et non la principalité des anneaux en jeu (il y a même peut-être moyen de court-circuiter l'argument pour ne pas du tout utiliser la factorialité...)
... mais je le mets quand même parce que tout le monde l'accepete, et ça me fait un développement en moins...
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Références :
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Fichier :
123 : Corps finis. Applications.
125 : Extensions de corps. Exemples et applications.
126 : Exemples d’équations en arithmétique.
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Leçon :
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Remarque :
Références supplémentaires:
- Algèbre et géométrie: CAPES et Agrégation : Pierre Burg
- Algèbre I : Daniel Guin
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Références :
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Fichier :
141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
149 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.
151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
153 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Plan un peu court.
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Références :
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Fichier :
155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis passé sur cette leçon à l'oral. J'ai fait un plan globalement similaire à celui-ci, dont j'étais un peu moins satisfait.
Je n'ai pas fait de partie "Applications". Plutôt que de faire un paragraphe sur la décomposition de Dunford et le critère de Klarès, j'ai mis ce-dernier dans le paragraphe Critères de diagonalisabilité (en précisant dans la défense que ça nécessitait Dunford), et le paragraphe de Dunford est devenu un paragraphe "Application: puissance et exponentielle d'une matrice" de la partie II. Le paragraphe de topologie y a également été déplacé. En contrepartie, j'ai sérieusement raccourci le paragraphe sur les théorèmes spectraux au strict minimum, et je n'ai pas parlé de la réduction des endomorphismes normaux.
On peut étoffer la partie de topologie.
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Références :
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Fichier :
156 : Exponentielle de matrices. Applications.
157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
162 : Systèmes d’équations linéaires; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
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Leçon :
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Remarque :
Référence supplémentaire: Algèbre et géométrie: CAPES et Agrégation : Pierre Burg
Les deux développements son plutôt hors sujet. C'est une leçon intéressante en soi, mais comme je ne veux pas parler de LU, QR & cie., je manque de choses à dire. Pour combler le vide, j'ai détaillé l'entièreté de l'algorithme du pivot de Gauss, mais ce n'est pas une bonne solution...
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Références :
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Fichier :
170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications
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Leçon :
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Remarque :
La plus grande difficulté de cette leçon est sa longueur: le sujet est très vaste. J'ai choisi de détailler l'algorithme de réduction de Gauss, mais en pratique, c'est une mauvaise idée (dans le plan en tout cas). Je n'ai pas insisté non plus sur les questions d'isotropie, parce que c'est plus difficile à trouver dans les références classiques (et puis il y a déjà bien assez à dire comme ça).
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Références :
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Fichier :
171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.
191 : Exemples d’utilisation de techniques d’algèbre en géométrie.
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Leçon :
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Remarque :
J'ai choisi d'explorer les deux axes suivants: d'un côté les isométries des polygones/poyèdres réguliers et la constructibilité, et d'autre part les coniques.
Ce plan fait également un pari: 2 pages de texte, 2 pages de dessins, contrairement au 3-1 habituel. Après tout, comme on dit, une leçon de géométrie sans dessins, «c'est une bête qui n'a qu'un œil, c'est un oiseau sans plumage, une forêt sans écureuil»...
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Références :
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Fichier :
101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
104 : Groupes finis. Exemples et applications.
105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
108 : Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis tombé sur cette leçon le jour J, je n'ai pas parlé d'endomorphismes semi-simples, de représentation, ni de Jordan. Que des questions sur les endo cycliques
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Références :
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Fichier :
156 : Exponentielle de matrices. Applications.
158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
104 : Groupes finis. Exemples et applications.
105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.
120 : Anneaux Z/nZ. Applications.
121 : Nombres premiers. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
122 : Anneaux principaux. Exemples et applications.
123 : Corps finis. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
126 : Exemples d’équations en arithmétique.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.
149 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.
151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
152 : Déterminant. Exemples et applications.
154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
156 : Exponentielle de matrices. Applications.
157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
104 : Groupes finis. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Leçon sur laquelle je suis passé en début d'année. Possibilité d'une annexe graphique contenant des graphes de caractères (cf. von zur Gathen, Gerhard, Modern Computer Algebra), et les isométries du cube.
Si j'étais passé sur cette leçon à l'oral, j'aurais parlé à la fin des isométries du cube, qui auraient constitué mon second développement (au lieu de $A_n$ simple pour $n \geq 5$).
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Références :
-
Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
-
Algèbre
, Gourdon
-
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte
-
Cours d'algèbre
, Perrin
-
Algèbre discrète de la transformée de Fourier
, Peyré
-
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
-
Fourier Analysis, Stein, Shakarchi
-
Théorie des Groupes, Félix Ulmer
-
Fichier :
105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.
121 : Nombres premiers. Applications.
142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
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Leçon :
-
Remarque :
Ébauche de plan non rédigé en intégralité, mais que je partage quand même car j'aime beaucoup la structure de mon plan, notamment la deuxième partie. Mes développements ont été l'algorithme de Berlekamp et le théorème de Liouville (cf. EWna).
Des exemples, juste énoncés, d'éléments ayant un pgcd mais pas de ppcm, ou pas de pgcd, se trouvent dans
Berhuy. La preuve et plein d'autres belles infos sur les pgcd et ppcm se trouvent dans ce papier du culte Daniel Perrin :
Autour du ppcm et du pgcd
-
Références :
-
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré
-
Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
-
Cours d'algèbre
, Demazure
-
Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas
-
Modern Computer Algebra, von zur Gathen, Gerhard
-
Cours d'algèbre
, Perrin
-
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
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Fichier :
148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
…ça commence à en faire des plans pour cette nouvelle leçon !
Mon plan a été éprouvé par une présentation durant l'année. Je vous propose également une fiche synthétique autour de cette leçon.
Seules les quatre premières références sont nécessaires. Les autres sont plus pour la culture générale ou pour un item que vous aurez de toute façon oublié le jour J. En fin d'année, j'aurais plutôt remplacé la partie sur la décomposition QR et de Hermite par une partie sur la décomposition de Cholesky.
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Références :
-
Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation
, Ciarlet
-
Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
-
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni
-
Algèbre linéaire réduction des endomorphismes, R. Mansuy, R. Mneimné
-
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré
-
Calcul mathématique avec Sage
, Casamayou
-
A Course in Computational Algebraic Number Theory, H. Cohen
-
Algèbre
, Gourdon
-
Algorithmique algébrique, P. Naudin, C. Quitté
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Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
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Fichiers :
190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
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Leçon :
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Remarque :
La leçon que je préfère dans l'agrégation.
Attention, cette leçon est potentiellement très casse-gueules si vous n'avez jamais eu d'UE de mathématiques discrètes ; par exemple, l'outil des séries génératrices est très puissant mais encore faut-il savoir s'en servir pour le dénombrement !
Je me suis servi principalement d'un livre anglais peu connu en France, comprenant des milliers d'exemples, sur lequel j'avais déjà travaillé durant ma scolarité. On pourra se rabattre sur d'autres livres, mais il est vrai que trouver des exemples est un peu dur : les anglophones raffolent de maths discrètes !
(la référence de l'application 6 : Wikipédia, mais vous pourrez sortir tout exemple drôle qui vous vient à l'esprit)
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Références :
-
Discrete and Combinatorial Mathematics: An Applied Introduction, Ralph P. Grimaldi
-
Proofs from the book (Raisonnements divins en fr), Aigner, Ziegler
-
Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
-
Algèbre et probabilités, Gourdon
-
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
-
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis
-
Exercices mathématiques
, Francinou, Gianella
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Fichier :
101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
104 : Groupes finis. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
108 : Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
120 : Anneaux Z/nZ. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
121 : Nombres premiers. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
122 : Anneaux principaux. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
123 : Corps finis. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
126 : Exemples d’équations en arithmétique.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
149 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Clairement le deuxième développement est bancal et je suis content de pas être tombé dessus. Alors un conseil, présentez autre chose que la décomposition LU / Cholesky.
Le Allaire est pas nécessaire, le Ciarlet suffit.
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Références :
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Fichier :
151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
156 : Exponentielle de matrices. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
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Leçon :
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Référence :
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Fichier :
161 : Distances dans un espace affine euclidien. Isoméries.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
162 : Systèmes d’équations linéaires; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
191 : Exemples d’utilisation de techniques d’algèbre en géométrie.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
C'est la version que j'ai présentée en oral blanc. J'ai mis les références utilisées (entre crochets) à chaque paragraphe. Quelques remarques :
-Il y a des choses de la partie I qui se placent mieux dans la partie II (tout ce qui concerne les applications linéaires : théorème du rang, équivalences bijectivité ssi surjuectivité ssi injectivité, etc);
-Si on a le temps, la place et l'envie, on peut aussi parler de dualité;
-L'algorithme de Berlekamp se place bien dans la sous-partie extension de corps - corps finis.
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Références :
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Fichier :
101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
-
Cours d'algèbre
, Perrin
-
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
-
Théorie des groupes (bis), Delcourt
-
Algèbre L3
, Szpirglas
-
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
-
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 2, Caldero, Germoni
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Fichier :
121 : Nombres premiers. Applications.
101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
123 : Corps finis. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Plan testé devant la classe et approuvé par le professeur. C'est une totale recopie des deux références, tout y est, dans le bon ordre, c'est super ! (On peut évidemment rajouter des choses comme Chevaley-Warning, détailler l'utilisation de la loi de réciprocité quadratique etc.)
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Références :
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Fichier :
157 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
151 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
120 : Anneaux Z/nZ. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
On peut rajouter énormément de choses dans les applications (critère de réduction des polynômes, équations diophantiennes, création des corps finis etc.)
Mes métaplans ne sont pas vérifiés par une personne compétente, attention donc à la pertinence de ceux-ci.
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Références :
-
Fichier :
159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité. Applications.
105 : Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.
149 : Déterminant. Exemples et applications.
141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.
152 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
144 : Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
104 : Groupes finis. Exemples et applications.
108 : Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.
101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
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Leçon :
-
Remarque :
Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.
Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.
Bon courage pour votre préparation !
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Références :
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Fichier :
103 : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.
Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.
Bon courage pour votre préparation !
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Références :
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Fichier :
104 : Groupes finis. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqué, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.
Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.
Bon courage pour votre préparation !
TL1 = Tout-en-un licence 1
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Références :
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Fichier :
105 : Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqué, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.
Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.
Bon courage pour votre préparation !
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Références :
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Fichier :
108 : Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.
Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.
Bon courage pour votre préparation !
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Références :
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Fichier :
120 : Anneaux Z/nZ. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.
Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.
Bon courage pour votre préparation !
TL1 = Tout-en-un licence 1
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Références :
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Fichier :
121 : Nombres premiers. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.
Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.
Bon courage pour votre préparation !
TL1 = Tout-en-un licence 1
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Références :
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Fichier :
122 : Anneaux principaux. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.
Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.
Bon courage pour votre préparation !
TL1 = Tout-en-un licence1
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Références :
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Fichier :
123 : Corps finis. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.
Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.
Bon courage pour votre préparation !
TL1 = Tout-en-un Licence 1
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Références :
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Fichier :
141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.
Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.
Bon courage pour votre préparation !
TL1 = Tout-en-un-licence
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Références :
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Fichier :
142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.
Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.
Bon courage pour votre préparation !
TL1= Tout-en-un licence 1
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Références :
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Fichier :
144 : Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.
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Tout-en-un licence 1
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Références :
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Fichier :
148 : Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.
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Références :
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Fichier :
150 : Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.
Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.
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151 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.
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152 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
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153 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.
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154 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.
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155 : Exponentielle de matrices. Applications.
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156 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
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158 : Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
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Leçon :
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162 : Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
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Leçon :
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Références :
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170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.
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171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.
Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.
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Références :
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Fichier :
101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l'unité. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Finalement, mon DEV 2 n'était pas Wedderburn mais Kronecker pour cette leçon.
Et d'ailleurs dans ce même développement, je rajoute une application pour durer 15 minutes, il s'agit du résultat suivant :
Soit $G$ un sous-groupe fini de $\text{GL}_n(\mathbb{Z})$. L'application qui va de $G$ dans $\text{GL}_n(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$, qui à une matrice associe la même matrice dont les coefficients sont réduits modulo 3 est un morphisme de groupes injectif (voir Carnet de Voyage en Algébrie)
Je trouve que cette leçon n'est pas facile à faire, surtout pour ce qui est de trouver de bonnes références...
Je parle des constructions géométriques à la fin et comme j'ai fait cette leçon en tout début d'année, je n'étais pas encore renseigné sur toutes les références qui existaient donc je précise que, pour cette notion, le Gozard fait tout très bien, pas besoin d'aller chercher le Carréga ou je ne sais quoi... (sauf si vous voulez vraiment être expert et aller très loin)
De même, pour la partie "Rotations vectorielles", le Rombaldi fait très bien l'affaire. Pour les angles orientés, le livre de Michèle Audin suffit.
Bon courage pour faire cette leçon ! Elle est un peu longue à s'approprier et travailler mais je trouve que ça vaut le coup, surtout pour tout ce qui est exponentielle complexe, argument, angles orientés...
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Références :
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Fichier :
101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l'unité. Applications.
103 : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
104 : Groupes finis. Exemples et applications.
105 : Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.
106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
108 : Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.
120 : Anneaux Z/nZ. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Voici un plan possible pour la leçon 120.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)
Attention, mes développements pour cette leçon sont sûrement trop proches et ne parlent que de Z/pZ pour p premier, il faudrait sûrement en changer un des deux.
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Références :
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Fichier :
121 : Nombres premiers. Applications.
122 : Anneaux principaux. Exemples et applications.
123 : Corps finis. Applications.
125 : Extensions de corps. Exemples et applications.
141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.
142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
144 : Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
148 : Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
149 : Déterminant. Exemples et applications.
150 : Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.
151 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
152 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
153 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.
154 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.
155 : Exponentielle de matrices. Applications.
156 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
157 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
158 : Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
162 : Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité. Applications.
190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
191 : Exemples d'utilisation de techniques d'algèbre en géométrie.
104 : Groupes finis. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon est très calquée sur celle d'un ami grand fan de théorie des groupes ! Comme pour beaucoup de choses sur les groupes, tout est dans le Berhuy...
Si j'étais tombé sur celle-là le jour J, j'aurais très probablement enlevé la sous-partie sur les quaternions que je ne maîtrisais pas...
Je pense qu'il faut éviter de faire des rappels trop longs de généralités, d'actions de groupes et vite focus le plan sur les groupes finis (abéliens, non abéliens...)
La théorie de Sylow est hors-programme, mais je trouve que c'est un très bon investissement à faire durant l'année.
Dans le DEV 1, je rajoute 2 lemmes pour que ça tienne en 15 minutes : $\mathfrak{A}_n$ est engendré par les 3-cycles et ceux-ci sont tous conjugués dans $\mathfrak{A}_n$.
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Références :
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Fichier :
105 : Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Il faut penser à parler des classes de conjugaison, avoir une idée de la démonstration, savoir dire si deux permutations sont conjuguées.
Il faut aussi connaître la preuve de l'existence et l'unicité de la décomposition en produit de cycles à supports disjoints (comme précisé dans le rapport du jury 2023) ! Et il faut aussi bien sûr savoir faire en pratique
Dans la partie Applications, j'ai choisi de parler des polynômes symétriques, ça peut être remplacé par la théorie de Sylow mais je trouve que ça se justifierait moins bien...
J'ai oublié d'encadrer le DEV 2 mais il s'agit des points 56,57,58 que vous trouverez un peu éparpillés dans le Gourdon et dans un des Francinou Oraux X-ENS...
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Références :
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Fichier :
106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon n'est pas très facile... J'ai parlé des sous-groupes dérivés et groupes projectifs dans une petite sous-partie sur le conseil d'un prof mais je ne suis pas sûr que j'aurais laissé cette partie si j'étais tombé sur cette leçon le jour J...
C'est important de parler des générateurs, des actions (pivot de Gauss, Gauss-Jordan et éventuellement Frobenius si vous l'avez travaillé pendant l'année, Sylvester)
Je pense qu'il faut parler du groupe orthogonal mais bien rester dans l'aspect GROUPE (structure, générateurs...) et le présenter comme un sous-groupe de GL(E)
Il faut bien prendre la version du Rombaldi où se trouve le chapitre "Actions de groupes sur les espaces de matrices" !
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Références :
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Fichier :
108 : Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Tous les groupes dont on parle dans cette leçon doivent absolument être présentés sous l'angle de leurs générateurs (groupes cycliques, groupe symétrique, groupe diédral, groupe linéaire, groupe orthogonal...)
Les groupes d'isométries du tétraèdre et du cube sont à mon sens un bon investissement à faire pendant l'année.
Comme vous pouvez le constater, j'ai fortement réduit la partie "structure des groupes abéliens (de type) fini" car je n'étais pas du tout à l'aise là-dessus.... Si on en parle, il faut dans tous les cas savoir écrire un produit cartésien de groupes cycliques sous la forme du théorème.
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Références :
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Fichier :
120 : Anneaux Z/nZ. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon étant assez vaste, on pourrait ajouter des choses ou remplacer les nombres de Carmichael par autre chose (par exemple classification des groupes d'ordre $p^2$ et $2p$)
On peut faire les conditions de cyclicité de $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$ en développement.
Dans le DEV 2, je n'ai le temps de faire que le THM 45
Il faut savoir résoudre un système de congruences, trouver l'inverse d'un élément dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ et résoudre des équations du second degré dans cet anneau.
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Références :
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Fichier :
121 : Nombres premiers. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Comme l'indique le rapport du jury 2024, cette leçon est très vaste et il faut faire des choix. C'est l'occasion de vraiment mettre des choses avec lesquelles on est à l'aise.
Il faut aussi se méfier du fait que lorsque cette leçon apparaît dans un tirage, elle est quasi systématiquement choisie par le candidat...
On n'est pas obligé de parler des nombres de Carmichael, mais le DEV se recase très bien dans 120 et 127
Les résultats sur la répartition des nombres premiers peuvent être admis sans problème (certaines des démonstrations étant vraiment atroces) par contre il faut s'attendre à des questions sur des cas particuliers du théorème de la progression arithmétique de Dirichlet.
La théorie de Sylow est hors programme, mais je trouve que c'est un bon investissement à faire durant l'année.
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Références :
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Fichier :
122 : Anneaux principaux. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon a été faite au tout début de l'année, le plan n'est peut-être pas des plus pertinents.
/!\ A la fin de l'année, j'ai remplacé le DEV 1 par les endomorphismes semi-simples ! Mais ça peut être bien d'avoir une idée de la démo de mon ancien DEV 1 sur cette leçon (voir le Francinou exos agreg algèbre 1), ça donne un exemple d'anneau principal plus sophistiqué que les habituels anneaux $\mathbb{Z}, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$...
/!\ J'ai aussi remplacé le DEV 2 par le théorème des deux carrés (voir ma leçon 127). On peut aussi bien sûr faire le théorème chinois + un exemple en DEV, j'ai choisi de ne pas le faire car j'avais un peu peur des calculs en DEV...
Il faut connaître les implications entre les types d'anneaux (euclidien, principal, factoriel) et des contre-exemples pour les implications réciproques.
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Références :
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Anneaux, corps, résultants, Ulmer, Félix
-
Cours d'algèbre
, Perrin
-
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
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Algèbre et géométrie
, Combes
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Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
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Exercices mathématiques
, Francinou, Gianella
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Fichier :
127 : Exemples de nombres remarquables. Exemples d'anneaux de nombres remarquables. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
C'est la toute dernière leçon que j'ai faite.
La partie sur les nombres décimaux est assez (peut-être trop ?) longue, mais j'avais travaillé les démonstrations. Je pense que c'est ce qu'il faut faire si on choisit de s'étendre autant sur ce sujet.
Je doute un peu de la pertinence des carrés dans $\mathbb{F}_q$ dans cette leçon... C'était un sujet que je maîtrisais bien donc je le mettais partout où je pouvais le mettre :)
Les constructions géométriques à la règle et au compas me semblent être un bon investissement à faire pendant l'année (au moins pour les leçons 125,127,191)
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Références :
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Fichier :
142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je n'aime vraiment pas cette leçon... Mais il fallait bien la faire car j'avais déjà une impasse sur la 181...
La partie sur les anneaux ressemble beaucoup à la leçon 122, et la leçon en elle-même ne me semble pas trop mal mais la partie II-2) me faisait très peur (il est pourtant fortement recommandé de parler de ça dans le rapport du jury) et surtout mes développements sont vraiment bof bof ...
Bref à consulter avec prudence !
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Références :
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Fichier :
148 : Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon est un vrai plaisir car tout (ou presque) est dans le Grifone !
Elle était dans mon tirage le jour J mais je ne l'ai pas prise, préférant la 125. J'ai en effet eu peur du fait que comme c'est une leçon considérée comme "facile", le jury attende un niveau de fou dessus... Je pense qu'il faut bien connaître les démos (au moins les idées) de la base extraite, de la base incomplète, du fait que toutes les bases ont même cardinal... De même, il faut savoir justifier qu'un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension finie est de dimension finie (c'est facile mais avec le stress le jour J on peut oublier l'argument...)
Concernant les développements, j'ai mis le théorème des extrema liés (+ un lemme d'algèbre linéaire sur la dualité que j'ai oublié d'écrire ici) car cela utilise à de multiples reprises la dimension finie et car c'était un développement que j'avais beaucoup travaillé donc je pouvais le réinvestir le plus possible. Evidemment, on peut trouver des choses plus simples à proposer... Le DEV 2 se justifie par le fait qu'on fait une récurrence sur la dimension. C'est en effet une application très pratique de la dimension finie, on a quelques théorèmes fondamentaux qui se démontrent comme ça (le théorème spectral par exemple...)
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Références :
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Fichier :
150 : Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis resté sur des choses relativement basiques pour cette leçon. Dans la sous-partie "endomorphismes remarquables diagonalisables", on peut ajouter les normaux et les symétriques si on a la place, on peut aussi remplacer les orthogonaux par les symétriques...
J'ai eu tendance à prendre trop de livres pour la réduction, il vaut mieux en choisir un ou deux une bonne fois pour toutes (genre Mansuy et Grifone)
Pour le développement sur la décomposition de Dunford, attention à la version que vous choisissez ! Si c'est l'une des deux qui sont dans le Gourdon, il faut prendre la deuxième (qui est celle qui figure dans cette leçon). En effet, une prof nous avait assuré que le jury n'aimait pas la première version. On peut aussi démontrer le lemme des noyaux pour aller vers les projecteurs spectraux (et recaser ainsi mieux dans PGCD-PPCM)
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Références :
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Fichier :
152 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon est l'une des premières que j'ai faites (la toute première je crois) et je l'ai présentée en classe. Le développement que j'ai fait au tableau était le DEV 1 : réduction des endomorphismes normaux. On m'a ensuite demandé de prouver que si un sev est stable par un endo normal, alors son orthogonal l'est aussi : il faut bien regarder la preuve, elle n'est pas du tout évidente si on ne l'a jamais vue !
Il faut aussi savoir démontrer : Si un endo $u$ est diagonalisable et si $F$ est un sev stable par $u$, $u_F$ est aussi diagonalisable.
Il faut aussi être au point sur la co-diagonalisabilité (d'autant que ça tombe souvent aux écrits !!).
On peut ajouter le critère de diagonalisabilité sur un corps fini (qu'il faut savoir démontrer).
J'ai eu tendance à prendre trop de livres pour la réduction, il vaut mieux en choisir un ou deux une bonne fois pour toutes (genre Mansuy et Grifone)
Pour le développement sur la décomposition de Dunford, attention à la version que vous choisissez ! Si c'est l'une des deux qui sont dans le Gourdon, il faut prendre la deuxième (qui est celle qui figure dans cette leçon). En effet, une prof nous avait assuré que le jury n'aimait pas la première version. On peut aussi démontrer le lemme des noyaux pour aller vers les projecteurs spectraux (et recaser ainsi mieux dans PGCD-PPCM)
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Références :
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Fichier :
151 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis passé en oral blanc sur cette leçon et j'avais fait ce plan qui a été validé. Le prof avait bien dit que c'était important de parler des endomorphismes cycliques, et qu'on pouvait aller jusqu'à Frobenius (à condition d'avoir les idées des démos et de savoir faire en pratique au moyen de l'algorithme de Smith).
J'attire l'attention sur la REM19 : il faut savoir faire en pratique avec une matrice 3x3
Concernant Dunford, le prof m'avait dit que c'était un peu superflu dans cette leçon, même si c'est pas complètement impertinent... On peut choisir d'enlever ces quelques points et d'aller un peu plus loin sur les endo cycliques. Au passage, il est utile de bosser les endomorphismes cycliques car ils tombent souvent aux écrits.
On m'avait demandé en exo la dimension du commutant d'un endomorphisme diagonalisable. Réponse : c'est la somme des carrés des multiplicités des valeurs propres.
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Références :
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Fichier :
153 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je n'aime pas beaucoup cette leçon... Elle paraît facile mais comme il faut éviter de recopier les leçons 150 ou 152 et vraiment axer sur les éléments propres, ça en fait une leçon un peu délicate... Surtout la partie "calcul approché" avec les méthodes numériques du style méthode de la puissance que je ne maîtrisais pas bien...
Je pense que ma leçon tient la route mais évidemment on peut étoffer et ajouter plein de choses, notamment dans les méthodes approchées de calcul d'éléments propres (méthode de Givens-Householder par exemple...)
/!\ A la fin de l'année, j'ai remplacé le DEV1 par le théorème de Burnside sur les sous-groupes finis de GL(E), il s'agit de 3 résultats : le critère de nilpotence par la trace + un autre lemme + le théorème de Burnside (voir Rombaldi)
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Références :
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Fichier :
154 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
J'ai trouvé cette leçon très cool, ça a été l'occasion pour moi de découvrir plein de choses que je ne connaissais pas (qui étaient passées à la trappe dans les enseignements que j'avais reçus jusqu'à la prépa agreg) : décompositions LU, Cholesky, QR, Jordan et Frobenius (que j'avais vus avant mais j'ai pu les approfondir ici), décomposition polaire...
Concernant Jordan et Frobenius, comme j'avais bien bossé les endomorphismes cycliques, je connaissais bien Frobenius et j'en déduisais Jordan. Problème : je connaissais assez peu la méthode par les noyaux itérés et je recommanderais plutôt d'apprendre Jordan en passant par là ; C'est utile pour résoudre certains exos théoriques.
Il est important de noter que si on parle d'une décomposition dans le plan, il faut savoir faire en pratique : certaines démos sont "algorithmiques" et permettent de savoir faire sur une matrice de petite taille.
On peut bien sûr aussi parler du pivot de Gauss dans cette leçon.
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Références :
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155 : Exponentielle de matrices. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Une de mes leçons préférées (bizarrement...) ! J'ai appris plein de trucs en la faisant notamment sur le rayon spectral sur lequel je ne savais rien, et même sur l'exponentielle matricielle en général je ne connaissais pas grand chose, ça vaut le coup de bosser les démonstrations.
Concernant le DEV 1 (surjectivité de l'exponentielle), on peut faire autrement.
Au cours de l'année, j'ai modifié mon DEV : je ne montrais plus le COR41 (je faisais autrement dans un autre DEV pour montrer ce résultat) mais à la place je démontrais le lemme selon lequel : Si $\rho(A)<1$, alors $e^{\ln(I_n+A)}=I_n+A$
Ce lemme sert pour prouver le THM40.
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Références :
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156 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
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Leçon :
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Remarque :
Dans cette leçon, j'ai parlé des endomorphismes cycliques parce que le rapport du jury disait que c'était possible, et parce que j'aimais bien ça, mais je pense que ce n'est pas du tout obligatoire. Par contre, ça vaut le coup de se pencher un peu sur la réduction de Jordan par les noyaux itérés car c'est un peu la "finalité" de la théorie. Les démos sont un peu compliquées donc je pense qu'avoir les idées suffit, par contre il faut savoir jordaniser une matrice en pratique.
Pardonnez mon dessin ultra moche en annexe, vous le trouverez dans le Beck.
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Références :
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157 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon me faisait peur au début mais finalement on trouve pas mal de choses à dire. Il faut bien faire le lien avec les formes quadratiques, présenter toutes les réductions et décompositions qui impliquent des matrices symétriques...
Je n'ai peut-être pas assez parlé des matrices hermitiennes, mais il n'y avait pas grand chose dans les références.
A ce stade de l'année, je n'avais pas encore bien bossé les formes quadratiques, c'est pourquoi la partie II-2) est un peu faible mais on peut bien sûr étoffer. D'ailleurs, le DEV 1 devrait être séparé en deux : le COR24 resterait dans cette sous-partie mais le THM25 devrait aller dans II-2) après le théorème de Sylvester.
L'application au calcul différentiel semble indispensable, mais la partie sur les vecteurs Gaussiens ne l'est pas. Personnellement, je l'ai mise parce que j'aime beaucoup les vecteurs Gaussiens, mais ne les mettez que si vous comptez les travailler.
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Références :
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158 : Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
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Leçon :
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Remarque :
Là encore une de mes leçons préférées car il suffit de dérouler le Rombaldi ! En plus j'aimais beaucoup les espaces euclidiens.
Il faut savoir démontrer le théorème spectral, et classifier une isométrie vectorielle en dimension 2 ou 3 (matriciellement).
Les indispensables : orthogonaux, symétriques, symétriques (définis) positifs et on peut ajouter les endomorphismes normaux si on les a travaillés.
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Références :
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Fichier :
159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
J'ai eu beaucoup de mal à élaborer un plan satisfaisant pour cette leçon mais je pense que c'est à peu près bon.
/!\ PROBLEME : Le DEV 1 ne rentre pas du tout dans cette leçon. J'ai cherché désespérément un DEV pour cette leçon et à la toute fin de l'année, j'ai fini par mettre le dual de $\mathcal{M}_n(K)$... Le problème était qu'il y avait un gros écart de difficulté entre celui-là et les extrema liés... Mais il fallait bien mettre quelque chose...
La partie III-2) a changé 3 fois au cours de l'année, et finalement ça a été justement celle sur le dual de $\mathcal{M}_n(K)$.
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Références :
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161 : Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.
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Leçon :
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Remarque :
Pas facile facile cette leçon...
Beaucoup de choses se trouvent dans le livre de Ladegaillerie, mais ce dernier, bien que très riche, est assez difficile à lire surtout quand on est peu à l'aise en géométrie affine comme moi...
Pour le DEV 1, attention au cas d'égalité dans l'inégalité d'Hadamard, qu'il faut faire soigneusement car il est souvent bâclé dans les références que j'ai trouvées.
Bosser un peu les isométries laissant globalement invariant le tétraèdre ou le cube peut être un bon investissement à faire : c'est joli et ça aide à comprendre vraiment l'intérêt des actions de groupe.
Il faut savoir classifier une isométrie vectorielle ou affine en petite dimension à partir d'une matrice (vectorielle) ou d'un système (affine)
Les tableaux en annexe sont un peu nuls, il y en a des mieux faits dans le Garnier ou le Combes que j'ai mis dans ma version de la leçon 191.
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Références :
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162 : Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
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Leçon :
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Remarque :
J'ai eu beaucoup de difficultés à trouver des références pour cette leçon, c'est pour cela que certains résultats sont marqués d'un cœur au crayon, signifiant "par cœur".
Il faut parler des formules de Cramer, du théorème de Rouché-Fontené. J'ai appris beaucoup de choses que je ne savais pas concernant le pivot de Gauss en faisant cette leçon, notamment ses nombreuses applications (qui étaient passées à la trappe en première année à cause du confinement...)
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Références :
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170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon m'a demandé beaucoup de travail car je connaissais très peu les formes quadratiques avant de rentrer en prépa agreg : ça vaut le coup de les travailler pour prendre du recul sur plein de choses, et surtout parce que mine de rien ce n'est pas marginal au programme de l'agreg (ça peut tomber aux écrits !)
Les résultats marqués d'un cœur sont ceux que je rajoutais "par cœur" car introuvables dans les références...
Pour Sylvester, je définis les choses dans un certain ordre qui n'est pas celui des livres mais qui est celui du cours sur lequel je me suis basé pour travailler les formes quadratiques.
Ce n'est pas du tout obligatoire de parler du groupe orthogonal pour une forme quadratique, d'ailleurs si j'étais tombé sur cette leçon le jour J et que je l'avais choisie, je n'en aurais pas parlé.
Il est indispensable de savoir mettre en œuvre la méthode de Gauss en pratique pour décomposer en carrés !
Au besoin, j'ai un poly de cours sur les formes quadratiques qui est plutôt bien fait, n'hésitez pas à me contacter pour que je vous l'envoie.
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Références :
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101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Il faut mettre en avant d'un côté l'action d'un groupe sur un ensemble et d'un autre côté d'un groupe sur lui-même afin de dégager le plus de propriétés possibles et d'illustrer un maximum ces propriétés par des exemples variés dans divers domaines (algèbre linéaire/commutative, théorie des groupes, géométrie, ...).
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
J'ai présenté cette leçon en classe au mois d'avril.
J'ai encadré les THM23, DEF 24, COR25 mais il ne faut pas en tenir compte. Pour cette leçon, il faut vraiment se concentrer sur la théorie dans $\mathbb{R}$, alors que dans la 170, on peut (et même on doit) parler de ce qui se passe sur $\mathbb{C}$ voire sur $\mathbb{F}_q$.
Il faut bien savoir décomposer en carrés par la méthode de Gauss en pratique et en tirer toutes les infos sur la forme quadratique : rang, signature, base $q$-orthogonale,...
Concernant les coniques : même en ayant passé beaucoup de temps dessus, j'étais pas vraiment à l'aise... On trouve très difficilement des références où les choses sont VRAIMENT bien faites... Il y a Ladegaillerie et surtout le livre de Michèle Audin et celui de Aebischer (Géométrie L3)... Le problème est que selon les ouvrages, le vocabulaire peut changer... Et que le point de vue va très vite vers la géométrie projective que je voulais éviter à tout prix (un trop gros investissement juste pour cette leçon... En plus c'est hors programme...)
Je pense qu'il faut parler de la classification euclidienne et affine, savoir classifier une conique en pratique (même si personnellement j'étais toujours fébrile quand il s'agissait du cas parabolique). L'un de mes professeurs disait qu'il fallait bien parler de l'aspect géométrique par foyer, génératrice, excentricité, définition monofocale, bifocale et tout ça... Il avait à dire que le jury était constitué soit de profs pas du tout à l'aise avec les coniques, soit de profs à l'aise seulement avec l'aspect géométrique... Je pense que dans tous les cas, le jury sait que c'est une notion très peu connue des candidats et que savoir classifier, c'est déjà pas mal, pas besoin d'aller s'aventurer dans les dingueries du Ladegaillerie ou même du Rombaldi avec le centre orthoptique ou je ne sais quoi...
Concernant le DEV 2 (Par 5 points passe une conique), il m'a demandé beaucoup de travail mais il se recase dans la 191 aussi donc c'est pas mal. Je le trouve pas mal en vrai, ça permet de travailler les coordonnées barycentriques... Pour le trouver dans un ouvrage par contre bonne chance... Il n'y a que le livre de Isenmann et Pecatte (qui sont d'ailleurs je crois les auteurs de ce site).
Bref, voilà une proposition de leçon 171, je pense qu'il faut très bien bosser les formes quadratiques et se tenir quand même un peu au courant de la classification des coniques et des aspects géométriques mais ne pas y passer des semaines et des week-end entiers...
Au besoin, j'ai un poly de cours sur les formes quadratiques qui est plutôt bien fait, n'hésitez pas à me contacter pour que je vous l'envoie. Malheureusement, je n'ai pas d'analogue sur les coniques...
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Références :
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Fichier :
190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
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Leçon :
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Remarque :
Dans cette leçon, j'ai remplacé le DEV 2 par "Nombre de dérangements dans $\mathfrak{S}_n$" que je préférais aux nombres de Bell (parce que pas besoin de Fubini ou quoi...)
J'aime bien cette leçon car il y a de nombreuses possibilités de plan, de développements... Personnellement, j'ai choisi d'orienter vers la théorie des groupes et des corps parce que j'étais plutôt à l'aise, mais on peut aller vers les probas, ou d'autres choses... On peut présenter des isomorphismes exceptionnels aussi...
Par contre j'avais un peu peur des questions qui peuvent impliquer des urnes ou des machins comme ça, les exercices de dénombrement peuvent être assez difficiles ou astucieux... Il faut essayer d'en faire pendant l'année je pense.
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Références :
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Fichier :
103 : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Il y a énormément de choses à dire dans cette leçon et je n'ai pas réussi à faire un choix alors j'ai décidé de tout laisser pour donner un large point de vue sur ce qui était faisable. Les deux dernières parties sont hors programme donc pas nécessaires (sauf le paragraohe où l'on s'intéresse à des sous-groupes distingués) mais si jamais on parle d'une des parties il faut bien être au point dessus au risque d'en subir les conséquences pendant l'oral...
La théorie de Sylow n'est pas obligatoire non plus (car pas au programme) mais je trouve que c'est un très bon investissement à faire durant l'année et la partie géométrie est appréciée du jury.
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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Fichier :
104 : Groupes finis. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon ressemble beaucoup à celle juste au dessus (étrange...) !
On peut faire cette leçon en très (très !) grande majorité avec le Berhuy. Il faut éviter de faire énormément de rappels et il est préférable de donner beaucoup d'exemples et de les diversifier (par exemple en consacrant un petit bout de la leçon aux sous-groupes finis du groupe linéaire ou de ses sous-groupes).
La théorie de Sylow n'est pas obligatoire non plus (car pas au programme) mais je trouve que c'est un très bon investissement à faire durant l'année.
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
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Carnet de voyage en Analystan, Caldero
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Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
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Cours d'algèbre
, Perrin
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Théorie des groupes (bis), Delcourt
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Algèbre et géométrie
, Combes
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Oraux X-ENS Algèbre 2
, Francinou, Gianella, Nicolas
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Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
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Fichier :
105 : Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Il faut parler des classes de conjugaison et connaître la preuve de l'existence et l'unicité de la décomposition en produit de cycles à supports disjoints et savoir l'appliquer en pratique.
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Références :
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Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
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Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
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Carnet de voyage en Analystan, Caldero
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Cours d'algèbre
, Perrin
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Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas
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Théorie des groupes (bis), Delcourt
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Algèbre et géométrie
, Combes
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Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométrie, tome 2, Philippe Caldero et Jérôme Germoni
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Fichier :
106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Il faut se concentrer dans cette leçon sur l'aspect algébrique du groupe linéaire et l'étudier en tant que groupe en parlant de générateurs, sous-groupes remarquables, actions de groupes, etc. On peut également pousser un peu plus les choses avec les groupes projectifs et les isomorphismes exceptionnels. Il faut également garder une petite place pour parler des propriétés topologiques de cet espace (connexité, sous-groupes compacts, ...).
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
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Oraux X-ENS Algèbre 2
, Francinou, Gianella, Nicolas
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Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
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Cours d'algèbre
, Perrin
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Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
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Oraux X-ENS Algèbre 3
, Francinou, Gianella, Nicolas
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Topologie générale et espaces normés
, Hage Hassan
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Fichier :
108 : Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Tous les groupes dont on parle dans cette leçon doivent absolument être présentés sous l'angle de leurs générateurs et essayer de donner le plus d'exemples possibles au aussi variés que possibles : groupes cycliques, groupe symétrique, groupe diédral, groupe linéaire, groupe orthogonal, etc. Les groupes d'isométries des solides platoniciens sont également un bon investissement à faire pendant l'année.
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
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Cours d'algèbre
, Perrin
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Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
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Algèbre et géométrie
, Combes
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Théorie des groupes (bis), Delcourt
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Oraux X-ENS Algèbre 2
, Francinou, Gianella, Nicolas
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Géométrie, Audin
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Oraux X-ENS Algèbre 3
, Francinou, Gianella, Nicolas
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Fichier :
120 : Anneaux Z/nZ. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Dans cette leçon on doit s'intéresser à Z/nZ en tant que groupe mais surtout en tant qu'anneaux et donner le plus d'applicatiosn diverses possibles (RSA, caractéristique d'un anneau, théorème de Dirichlet faible, ...). Il faut également savoir résoudre un système de congruences, trouver l'inverse d'un élément dans Z/nZ et résoudre des équations du second degré dans cet anneau.
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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Fichier :
121 : Nombres premiers. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon est très vaste et il faut faire des choix, c'est donc l'occasion de vraiment mettre des choses avec lesquelles on est à l'aise ! Il faut aussi se méfier du fait que lorsque cette leçon apparaît dans un tirage, elle est quasi systématiquement choisie par le candidat et il est donc difficile de se démarquer dessus et les candidats sont censés bien maîtriser le sujet... Les résultats sur la répartition des nombres premiers peuvent être admis sans problème (certaines des démonstrations étant très longues) par contre il faut s'attendre à des questions sur des cas particuliers du théorème de la progression arithmétique de Dirichlet (le théorème de Dirichlet faible).
La théorie de Sylow est hors programme, mais je trouve que c'est un bon investissement à faire durant l'année.
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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Fichier :
122 : Anneaux principaux. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Dans cette leçon il faut connaître les implications entre les différents types d'anneaux (euclidiens, principaux, factoriels, etc.) et connaître des contre-exemples. Il faut également savoir ce que chaque catégorie d'anneaux apporte par rapport aux autres.
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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Fichier :
127 : Exemples de nombres remarquables. Exemples d'anneaux de nombres remarquables. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon est nouvelle donc on ne connaît pas encore exactement les attentes du jury mais les anneaux de la forme Z[w] et les nombres algébriques semblent indispensables. Parler du corps des nombres constructibles peut être un bon investissement car ce n'est pas très difficile et on peut en parler dans plusieurs autres leçons.
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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Fichier :
191 : Exemples d'utilisation de techniques d'algèbre en géométrie.
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Leçon :
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Remarque :
ATTENTION : J'ai fait cette leçon au mois de mai, puis je me suis rapidement rendu compte que mon plan était mal articulé, j'ai donc échangé et/ou regroupé certaines sous-parties. Il faut prendre en compte le plan général que j'ai mis en page 1 du PDF, puis pour chaque sous-partie se référer à celle qui correspond dans la leçon pour y voir le contenu.
Je suis désolé, je n'ai pas pris le temps de refaire la leçon en entier après avoir modifié le plan, mais c'est juste les mêmes choses mises dans un ordre différent !
Cette leçon est très intéressante car elle permet vraiment de choisir ce qui nous plaît pour en faire une leçon. Elle peut effrayer mais avec un peu travail on s'en sort ! On peut piocher dans les groupes évidemment, mais aussi la géométrie affine, les coniques, et même la théorie des corps en parlant de constructibilité !
Voir aussi la leçon de Tintin qui est très bien !
Les tableaux proposant la classification des isométries vectorielles en dimension 2 et 3 en annexe sont bien mieux que ceux de ma leçon 161... Je recommande donc d'apprendre plutôt ceux-ci (ils sont dans le Garnier et le Combes il me semble)
Pour les références, voir aussi le Aebischer pour les coniques.
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Références :
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Fichier :
142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon ressemble beaucoup à la 122 sur les anneaux principaux mais il est possible de parler d'autres sujets comme par exemple de l'algorithme de Smith que je n'ai pas abordé ici.
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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Fichier :
144 : Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon est relativement difficile car malgré le nombre de choses à dire il y a énormément de choses à maîtriser. Toute la difficulté réside dans les polynômes à plusieurs variables : il faut savoir exploiter les relations coefficients-racines et utiliser le théorème de structure sur les polynômes symétriques et comme c'est la seule leçon qui parle de ça, ça demande pas mal de travail juste pour une leçon...
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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Tout-en-un MPSI, Claude Deschamps
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Cours d'algèbre
, Perrin
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Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
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Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas
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Algèbre et probabilités, Gourdon
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Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
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Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
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Fichier :
148 : Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon est vaste et il y a beaucoup de choses à dire ! Il est notamment possible de parler de théorie des corps avec le théorème de la base télescopique puisque ces notions exploitent entièrement les idée d'espace vectoriel de dimension finie.
Je pense aussi que c'est une leçon considérée comme "facile", le jury attends un niveau assez élevé dessus... Je pense qu'il faut bien connaître les démonstrations (au moins les idées).
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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Fichier :
149 : Déterminant. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon est assez vaste et le Deschamps de MPSI (ou de première année pour les nouvelles versions) fait assez l'affaire car donne toutes les définitions et propriétés de base ! Bien qu'il s'agisse d'une leçon d'algèbre il peut être bien de parler des applications du déterminant en analyse.
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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Tout-en-un MPSI, Claude Deschamps
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Algèbre et probabilités, Gourdon
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Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
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Oraux X-ENS Algèbre 2
, Francinou, Gianella, Nicolas
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Tout-en-un MP/MP*, Claude Deschamps
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Analyse
, Gourdon
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Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
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Petit guide de calcul différentiel
, Rouvière
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Fichier :
150 : Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis resté sur des choses relativement basiques pour cette leçon en donnant des résultats de deuxième année (polynôme caractéristique/minimal et réduction d'endomorphismes) et des applications comme le calcul d'inverse, de puissance ou d'exponentielle d'une matrice.
Attention à la décomposition de Dunford car c'est un développement très (vraiment trop !!) vu donc il vaut mieux trouver autre chose pour se démarquer un peu (d'autant plus que le jury vous attends au tournant à la moindre erreur et sera plus vite lassé étant donné qu'il l'a déjà vu 10 fois avant). De plus, le lemme des noyaux peut se démontrer de plusieurs manières en fonction du résultat (juste la décomposition en somme directe ou en plus des résultats sur les projecteurs) et cela peut donc également poser problème...
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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Fichier :
151 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Les endomorphismes cycliques sont importants dans cette leçon et on peut aller jusqu'à la décomposition Frobenius et les résultats théoriques qui suivent si on le désire (à condition d'avoir les idées des démos et de savoir faire en pratique avec l'algorithme de Smith).
Attention à la décomposition de Dunford car c'est un développement très (vraiment trop !!) vu donc il vaut mieux trouver autre chose pour se démarquer un peu (d'autant plus que le jury vous attends au tournant à la moindre erreur et sera plus vite lassé étant donné qu'il l'a déjà vu 10 fois avant). De plus, le lemme des noyaux peut se démontrer de plusieurs manières en fonction du résultat (juste la décomposition en somme directe ou en plus des résultats sur les projecteurs) et cela peut donc également poser problème...
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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Fichier :
152 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
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Leçon :
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Remarque :
C'est une leçon de niveau de deuxième année à priori mais il faut en contreparti être à l'aise dessus. En particulier le critère de co-diagonalisabilité doit être connu et avoir une idée de la démonstration (d'autant plus que ça tombe souvent aux écrits !). La topologie sur les espaces de matrices peut être un bon investissement car les gens en parlent assez peu dans le cadre de l'agrégation et ça permet de se démarquer : l'investissement est donc rentable.
Attention à la décomposition de Dunford car c'est un développement très (vraiment trop !!) vu donc il vaut mieux trouver autre chose pour se démarquer un peu (d'autant plus que le jury vous attends au tournant à la moindre erreur et sera plus vite lassé étant donné qu'il l'a déjà vu 10 fois avant). De plus, le lemme des noyaux peut se démontrer de plusieurs manières en fonction du résultat (juste la décomposition en somme directe ou en plus des résultats sur les projecteurs) et cela peut donc également poser problème...
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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Fichier :
153 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon paraît facile au premier abord, mais comme il faut éviter de recopier les leçons 150 ou 152 et vraiment axer sur les éléments propres ça en fait une leçon un peu délicate... Surtout la partie "calcul approché d'éléments propres" avec les méthodes numériques comme par exemple la méthode de la puissance qui sont indispensables dans cette leçon et qu'il faut connaître un minimum.
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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Fichier :
154 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon est l'occasion de faire le point sur la réduction de matrices (diagonalisation, trigonalisation, décomposition de Dunford, décomposition de Jordan, décomposition de Frobenius, etc.) ainsi que des générateurs du groupe linéaire. Il n'est pas essentielle de présenter toutes les décompositions de matrices que l'on connaît, mais il est important de noter que si on parle d'une décomposition dans le plan, il faut savoir la faire en pratique : certaines démonstrations sont "algorithmiques" et permettent de savoir faire sur une matrice de petite taille.
Attention à la décomposition de Dunford car c'est un développement très (vraiment trop !!) vu donc il vaut mieux trouver autre chose pour se démarquer un peu (d'autant plus que le jury vous attends au tournant à la moindre erreur et sera plus vite lassé étant donné qu'il l'a déjà vu 10 fois avant). De plus, le lemme des noyaux peut se démontrer de plusieurs manières en fonction du résultat (juste la décomposition en somme directe ou en plus des résultats sur les projecteurs) et cela peut donc également poser problème...
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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Fichier :
155 : Exponentielle de matrices. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon est l'occasion de découvrir/approfondir la notion de rayon spectral et de découvrir pas mal de petites choses et même de bien faire le point (voire de découvrir) l'exponentielle matricielle.
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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156 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
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Leçon :
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Remarque :
Se pencher un peu sur la réduction de Jordan par les noyaux itérés vaut le coup car c'est un peu la "finalité" de cette théorie. Les démonstrations sont un peu compliquées donc je pense qu'avoir les idées suffit, par contre il faut savoir jordaniser une matrice en pratique !
Attention à la décomposition de Dunford car c'est un développement très (vraiment trop !!) vu donc il vaut mieux trouver autre chose pour se démarquer un peu (d'autant plus que le jury vous attends au tournant à la moindre erreur et sera plus vite lassé étant donné qu'il l'a déjà vu 10 fois avant). De plus, le lemme des noyaux peut se démontrer de plusieurs manières en fonction du résultat (juste la décomposition en somme directe ou en plus des résultats sur les projecteurs) et cela peut donc également poser problème...
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
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Tout-en-un MP/MP*, Claude Deschamps
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Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
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Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
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Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré
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Oraux X-ENS Algèbre 2
, Francinou, Gianella, Nicolas
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157 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon se fait (quasiment) uniquement avec le Gourdon d'algèbre et probabilités et le Rombaldi et il suffit d'avancer dans les pages et de se laisser guider. Il faut faire le lien entre les formes bilinéaires/quadratiques et les matrices symétriques et parler également de calcul différentiel avec la recherche d'extrema.
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Références :
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158 : Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
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Leçon :
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Remarque :
Pour cette leçon il n'y a qu'à suivre le Rombaldi et se laisser guider ! Il faut savoir démontrer le théorème spectral et classifier une isométrie vectorielle en dimension 2 ou 3 matriciellement. Il est indispensable de parler des endomorphismes orthogonaux, symétriques et symétriques (définis) positifs et on peut également ajouter les endomorphismes normaux si on les a travaillés.
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Références :
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159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon est assez difficile car la dualité n'est plus très abordée en CPGE ni à la fac donc il faut se mettre à niveau. Concevoir cette leçon est donc une tâche assez difficile étant donné qu'il faut quasiment découvrir un pan entier d'algèbre et prendre du recul le plus vite possible.
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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Tout-en-un MPSI, Claude Deschamps
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Algèbre et probabilités, Gourdon
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Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
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Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
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Oraux X-ENS Algèbre 2
, Francinou, Gianella, Nicolas
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Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
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Analyse
, Gourdon
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Fichier :
162 : Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
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Leçon :
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Remarque :
Si l'on utilise pas le Deschamps de MPSI (ou de première année pour les nouvelles versions) il est difficile de trouver une référence qui en parle de manière complète... Il faut parler des formules de Cramer, du théorème de Rouché-Fontené et du pivot de Gauss et surtout illustrer par des exemples et applications diverses.
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Références :
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170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon demande beaucoup de travail car les formes quadratiques ne sont quasiment plus dans les programmes de CPGE ou de fac. Ça vaut le coup de les travailler pour prendre du recul sur plein de choses et surtout parce que ce n'est pas négligeable au programme de l'agrégation !
Il est indispensable de savoir mettre en œuvre la méthode de Gauss en pratique pour décomposer en carrés et de savoir classifier des formes quadratiques sur différents corps (C, R et F_q).
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Pour cette leçon, il faut vraiment se concentrer sur la théorie dans R uniquement. Ainsi, il faut savoir décomposer en carrés par la méthode de Gauss en pratique et en tirer toutes les infos sur la forme quadratique : rang, signature, base q-orthogonale, etc. afin de les classifier.
Quant aux coniques, elles ne sont plus du tout enseignés donc il faut tout apprendre dessus et il y a malheureusement très peu de références où les choses sont vraiemnt bien faites pour bien découvrir les choses... Il y a le Ladegaillerie et surtout le livre de Michèle Audin et celui de Aebischer (Géométrie L3). Le problème est que selon les ouvrages, le vocabulaire peut changer donc il faut essayer de prendre du recul pour bien comprendre les objets (pas si évident...) et que le point de vue va très vite vers la géométrie projective qu'il faut éviter si l'on ne connaît pas (bien trop gros investissement pour ce que ça rapporte...) ! Il faut parler de la classification euclidienne et affine, savoir classifier une conique en pratique (ce qui est déjà pas mal du tout je pense).Il faut également bien parler de l'aspect géométrique par foyer, génératrice, excentricité, définition monofocale, bifocale, etc. Le jury était constitué soit de professeurs pas du tout à l'aise avec les coniques, soit de professeurs à l'aise seulement avec l'aspect géométrique... Dans tous les cas, le jury sait que c'est une notion très peu connue des candidats et que savoir classifier, c'est déjà pas mal, pas besoin d'aller s'aventurer dans les choses très poussées !
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon peut se faire de bien des manières différentes. Personnellement, j'ai choisi d'insister sur lalgèbre et plus particulièrement sur la théorie des groupes parce que j'étais plutôt à l'aise, mais on peut parler de probabilités par exemples (les applications ne manquent pas !). En revanche il faut bien s'attendre à avoir des exercices qui nécessitent de faire du dénombrement et donc il faut en faire de temps en temps pour garder en tête des "techniques classiques de dénombrement".
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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Tout-en-un MPSI, Claude Deschamps
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Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
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Tout-en-un MP/MP*, Claude Deschamps
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Algèbre et géométrie
, Combes
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Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
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Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
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Carnet de voyage en Analystan, Caldero
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Algèbre et probabilités, Gourdon
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Exercices de mathématiques pour l'agrégation, algèbre 1, Serge Francinou
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204 : Connexité. Exemples d'applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je pense que dans cette leçon, de même que dans la 203 sur la compacité, il faut rester dans le cadre préconisé par le programme, c'est-à-dire le cadre métrique ! S'aventurer dans les espaces topologiques généraux me semble dangereux car cela peut amener le jury à des questions sur le sujet... On peut le faire mais il faut être sûr de bien maitriser la topologie générale...
Personnellement, je n'ai utilisé le livre de Marco "Analyse L3" que pour cette leçon... On peut sûrement tout trouver dans les autres livres mais j'aimais bien comment il présentait la connexité.
C'est important de mettre des applications au calcul diff, aux équa diff, à l'analyse complexe...Il faut aussi connaître le fameux contre-exemple d'espace métrique connexe mais non connexe par arcs.
Pour mon DEV1, finalement je ne fais que le théorème de Runge faible en allant doucement... Il se recase aussi dans 241 et 243... Ce n'était vraiment pas mon développement préféré...
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Références :
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203 : Utilisation de la notion de compacité.
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Leçon :
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Remarque :
Attention cette leçon traîte de l'utilisation de la compacité et non de la compacité en elle-même ! Il faut donc donner le plus d'exemples et d'applications possibles et varier au maximum les domaines d'application.
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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204 : Connexité. Exemples d'applications.
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Leçon :
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Remarque :
Dans cette leçon il faut rester dans le cadre préconisé par le programme, c'est-à-dire le cadre métrique ! S'aventurer dans les espaces topologiques généraux peut être dangereux car cela peut amener le jury à des questions sur le sujet... On peut également parler de simple connexité ou regarder uniquement les différentes notions de connexité mais au niveau local. Il faut bien connaître les différentes implications entre les différents types de connexité et avoir en tête des contre-exemples et donner pas mal d'applications comme le suggère le titre (calcul différentiel, équations différentielles, analyse complexe, etc.).
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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206 : Exemples d'utilisation de la notion de dimension finie en analyse.
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Leçon :
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Remarque :
Il faut montrer dans cette leçon l'importance de la dimension finie dans plusieurs contexte en montrant explicitement ses apports.
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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Fichier :
236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.
244 : Exemples d'études et d'applcations de fonctions usuelles et spéciales.
106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
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Leçon :
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Remarque :
J'ai préparé ce plan en janvier, juste avant mes premiers oraux blancs et je suis tombé dessus le jour J (vous pourrez retrouver mon retour d'oral sur ce site). Vous verrez que mon plan ici est un peu différent de celui que j'ai adopté (j'ai pu notamment rajouter une partie combinatoire sur les corps finis le jour J) mais le contenu est globalement similaire. J'avais un peu raccourci le début pour mon oral notamment.
D'ailleurs si vous voulez rajouter une application au fait que tout sous-groupe compact de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ admette un produit scalaire invariant, vous pouvez mettre que si $(E, \Vert \cdot \Vert)$ est un $\mathbb{R}$-evn de dimension finie tel que le groupe $\mathrm{O}(E) := \{u \in \mathrm{GL}(E) \text{ }| \text{ }\forall x \in E, \quad \Vert u(x) \Vert = \Vert x \Vert\}$ agit transitivement sur la sphère unité de E pour la norme ambiante, alors cette norme est euclidienne !
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Références :
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Fichier :
159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
150 : Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Plan préparé en binôme pendant mon année de préparation à l'agreg. Plan plutôt complet, il manque de l'exponentielle de matrices je pense (si j'étais tombé sur cette leçon à l'oral, j'aurais choisi de mettre l'image de l'exponentielle sur R et C en développement).
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Références :
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Fichier :
101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
J'aime bien.
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Références :
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Fichier :
103 : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
J'aime bien.
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Références :
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Fichier :
104 : Groupes finis. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
J'aime bien.
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Références :
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Fichier :
105 : Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
J'aime bien.
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Références :
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Fichier :
106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
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Leçon :
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Remarque :
J'aime pas.
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Références :
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Fichier :
108 : Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
J'aime pas.
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Références :
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Fichier :
120 : Anneaux Z/nZ. Applications.
121 : Nombres premiers. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
J'aime bien.
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Références :
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Fichier :
122 : Anneaux principaux. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
J'aime pas.
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Références :
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Fichier :
123 : Corps finis. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
J'aime les corps.
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Références :
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Fichier :
125 : Extensions de corps. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
J'aime les corps.
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Références :
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Fichier :
141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
J'aime bien.
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Références :
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Fichier :
142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
J'aime pas.
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Références :
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Fichier :
144 : Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
J'aime pas.
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Références :
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Fichier :
148 : Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
J'aime pas.
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Références :
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Fichier :
149 : Déterminant. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
J'aime pas.
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Références :
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Fichier :
150 : Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
J'aime bien.
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Références :
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Fichier :
151 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
J'aime pas.
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Références :
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Fichier :
152 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
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Leçon :
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Remarque :
J'aime bien.
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Références :
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Fichier :
154 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.
155 : Exponentielle de matrices. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
J'aime pas.
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Références :
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Fichier :
156 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
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Leçon :
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Remarque :
J'aime pas.
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Références :
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Fichier :
158 : Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
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Leçon :
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Remarque :
J'aime pas.
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Références :
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Fichier :
159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
J'aime pas du tout.
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Références :
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Fichier :
170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je déteste.
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Références :
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Fichier :
171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je déteste.
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Références :
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Fichier :
191 : Exemples d'utilisation de techniques d'algèbre en géométrie.
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Leçon :
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Remarque :
J'aime pas.
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Références :
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Fichier :
123 : Corps finis. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Il faut savoir démontrer l'existence et l'unicité du corps fini à q = p^n éléments et surtout construire par exemple F_4 ou F_9 explicitement en utilisant un polynôme irréductible. Il faut également savoir justifier pourquoi il existe des polynômes irréductibles de tout degré à coefficients dans F_q.
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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Fichier :
151 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis passé sur cette leçon pendant l'année, elle a été validée par un professeur.
J'ai choisi de ne pas aller explorer des domaines trop compliqués (sauf la réduction de Jordan pour les endomorphismes nilpotents car cela justifiait bien pourquoi j'avais choisi de parler de ces endomorphismes). Avec du recul, je n'aurais pas parlé des endomorphismes nilpotents : la leçon était trop longue et je voulais éviter les questions sur la réduction de Jordan qui est hors programme.
Je suis très content de l'ordre de mes parties. La présentation de 6 minutes de cette leçon est assez agréable, car tout s'enchaine bien. Pour justifier la partie sur les endomorphismes remarquables, il faut mettre en évidence les propriétés de ces endomorphismes qui concernent les SEV stables. Je pense d'ailleurs que certaines propriétés de mon plan peuvent être enlevées car ne concernent pas les sous-espaces stables.
Je conseille de faire les exercices du Mansuy, surtout ceux concernant la co-diagonalisabilité et la co-trigonalisabilité, car il y a des chances que le jury vous en pose un (c'est ce qu'il s'est passé durant un oral blanc).
Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.
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Références :
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Fichier :
103 : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis passé sur cette leçon le jour de mon oral. Je ne l'avais pas préparée (et à vrai dire, j'avais préparé seulement une dizaine de leçons sur les 70 de la session 2024). Malgré tout, l'oral s'est bien passé. J'ai écrit ma leçon en 2h45. La leçon que je vous partage ci-dessous est presque identique à la version présentée le jour de l'oral. Par rapport à la version présentée, j'ai ajouté l'application 19, le théorème 34, le lemme 35 et le théorème 36.
Note obtenue : 18/20.
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Références :
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Théorie des Groupes, Félix Ulmer
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Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
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Cours d'algèbre
, Perrin
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Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas
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131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
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105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Lorsque j'avais écrit ce plan, j'avais l'intention de proposer les développements suivants :
-1) Simplicité de $\mathfrak{A}_n$
-2) Automorphismes intérieurs $\mathfrak{S}_n$.
Toutefois, le développement 2) étant à la fois trop technique et trop long pour mon niveau, j’ai finalement renoncé à le présenter. Je l'ai remplacé par le développement "théorème de Cauchy et classification des groupes d'ordre 6", accessible via ce lien : https://agreg-maths.fr/developpements/1539
Pour l'intégrer dans cette leçon, on pourrait retirer la partie 2.3 et mettre ce développement dans la partie 3.1.
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Références :
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Fichier :
121 : Nombres premiers. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Plan réalisé en conditions réelles durant un oral blanc. Ma professeure l'a validé, et a dit que son point fort était que des domaines variés étaient abordés donc que cela incitait le jury à poser des questions sur un peu tout le plan.
Dans cette leçon il y a énormément de choix possibles, donc il faut mettre ce sur quoi on est le plus à l'aise. En revanche la première grande partie me semble incontournable, même si je ne pense pas que les questions du jury porteront beaucoup dessus.
Durant la défense du plan, il faut bien insister sur la pertinence des objets étudiés (par exemple justifier la place des polynômes cyclotomiques dans cette leçon).
Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin et Ewna. Merci à elles/eux !
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.
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Références :
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Fichier :
144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Leçon assez "straightforward" à préparer. La majorité de la leçon est tirée du Rombaldi, les dévs sont du Perrin et Caldero, le Gourdon pour quelques détails et le Ulmer pour les applications de Sylow.
Je suis tombé sur les isomorphismes exceptionnels le jour J, j'ai mis les questions que j'ai eu sur ma page dans le dév.
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Références :
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Fichier :
103 : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je trouve qu'il y a beaucoup de choses à dire dans cette leçon si on aime bien la théorie des groupes.
J'utilise le Rombaldi pour la majeure partie du plan, Perrin pour le dév sur Sylow, Ulmer pour des applications de Sylow, Peyré pour les classes de conjugaison de Sn (c'est sûrement traité ailleurs) et Caldero pour le 2e dév. Néanmoins, j'ai pas de réf pour les classes de conjugaison dans An (elles restent les mêmes que celles de Sn ou se coupent en 2).
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Références :
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Fichier :
104 : Groupes finis. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Il y a beaucoup de choses à mettre dans cette leçon, il s'agit donc de faire des choix. Mon plan est assez basique, si ce n'est la partie sur Sylow qui est hors programme mais pas tant que ça. Et ça rentre parfaitement dans cette leçon puisqu'à partir de l'ordre du groupe, on peut obtenir pleins d'informations sur celui-ci.
J'utilise le Rombaldi pour la majeure partie du plan, le Perrin pour Sylow et Ulmer pour les applications de Sylow, le Peyré pour la théorie des caractères et le Caldero pour le théorème 5/8.
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Références :
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Fichier :
105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Les 2 premières parties sont basiques, j'ai mis de la géométrie dans la 3e mais j'en aurai pas mis du tout si j'étais tombé dessus, c'était mon impasse.
J'utilise le Rombaldi pour tout le plan et le Perrin et Caldero pour les isomorphismes exceptionnels.
Je suis tombé sur les isomorphismes exceptionnels le jour J, j'ai mis les questions que j'ai eu sur ma page dans le dév.
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Références :
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Fichier :
106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Il y a beaucoup de choses à raconter dans cette leçon mais on peut aller vite sur certaines parties. Ma 1ère partie peut être expédiée très rapidement. On peut également parler de l'action par congruence si on aime bien.
J'utilise le Rombaldi pour la majeure partie du plan, le Perrin et Caldero pour les dévs.
Je suis tombé sur les isomorphismes exceptionnels le jour J, j'ai mis les questions que j'ai eu sur ma page dans le dév.
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Références :
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Fichier :
108 : Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Pas évident de savoir de quoi parler dans cette leçon. On peut, si on veut, axer la leçon sur la notion d'ordre. On pourrait également plus insister le groupe dérivé.
J'utilise le Rombaldi pour quasiment tout le plan, le Perrin pour le dév sur le groupe orthogonal et le Peyré pour les propriétés du groupe dérivé.
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Références :
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Fichier :
120 : Anneaux Z/nZ. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
J'ai galéré à préparer cette leçon et surtout à avoir des dévs potables. Je suis pas convaincu par le 2e dév mais on passe par la réduction modulo p donc pour moi ça passe quand même.
J'utilise le Rombaldi pour quasiment tout le plan, le Gourdon pour quelques détails et le 2e dév, le Perrin pour des détails et Caldero pour des inspi de systèmes de congruence.
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Références :
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Fichier :
121 : Nombres premiers. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
La 1ère partie est assez classique et incontournable. J'ai choisi de parler de l'indicatrice d'Euler et de la fonction de Mobius car je les trouve sympas. Au niveau des applications, y a le choix mais j'ai mis les plus classiques.
J'utilise le Rombaldi et le Gourdon pour toute la 1ère partie et la partie groupe, le Perrin pour le 2e dév.
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Références :
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Fichier :
122 : Anneaux principaux. Exemples et applications.
123 : Corps finis. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
J'ai fait exactement ce plan le jour J. J'ai essayé de balayer large en terme de notions. Voici les questions que j'ai eu sur le plan:
- Comment vous montrez qu'il existe un polynôme irréductible de tout degré sur Fp ?
- Vous donnez 2 méthodes de construction des corps finis, laquelle préférez-vous ?
- Ok mais comment trouver par exemple un polynôme de degré 100 irréductible sur F3 ?
Les exercices:
- Quel est le lien entre polynôme irréductible sur Fp et sur Z ?
- Et la réciproque ? (le contre-exemple de X^4+1, que l'on a démontré)
- On a essayé de trouver sa décomposition en irréductibles sur Fp via Berlekamp
J'ai eu 17.25.
J'utilise le Perrin et Rombaldi pour la majeure partie du plan, le Ulmer pour les détails de la construction des corps finis, le Caldero pour le 2e dév.
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Références :
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Fichier :
142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
N'étant pas en option C, je connais pas vraiment d'algo à part Euclide. Mais on pourrait parler de Berlekamp ou Cantor-Zassenhaus j'imagine. Je suis pas convaincu par ma toute dernière sous-partie ni même par le dév mais c'est ce que j'avais sous la main.
J'utilise le Rombaldi pour quasiment tout le plan en complément avec le Ulmer, le Gourdon pour quelques cas, le Gozard et Ortiz pour le 2e dév.
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Références :
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Fichier :
144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
J'ai pas mis ce que je mettais dans les sous-parties parce que ça semble assez clair à partir du titre (et que je l'ai pas fait de mon côté :)). Pour que le 2e dév passe dans cette leçon, je passe par le théorème de structure des polynômes symétriques. Ce résultat fait peur mais je le trouve bien fait dans le Ulmer, qui met l'ordre lexicographique sur les polynômes à plusieurs variables et qui permet d'obtenir la décomposition en polynômes élémentaires de manière algorithmique.
J'utilise le Gourdon et Rombaldi pour la 1ère partie, Ulmer et Perrin pour les 2 autres et Francinou pour le 2e dév.
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Références :
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Algèbre et probabilités, Gourdon
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Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
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Cours d'algèbre
, Perrin
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Anneaux, corps, résultants, Ulmer, Félix
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Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas
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Fichier :
148 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Les 2 premières parties sont classiques. Je trouve qu'il y a largement de quoi faire pour remplir 3 pages sur cette leçon, surtout si on aime bien la théorie des extensions de corps.
J'utilise le Grifone pour la 1ère partie, le Rombaldi et le Gourdon pour la 2e et 3e, puis Perrin et Ulmer pour les corps.
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Références :
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Fichier :
149 : Déterminant. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Les 2 premières parties sont incontournables. Je crois qu'au niveau de l'agreg il faut impérativement suivre l'ordre de construction du déterminant que j'ai fait. J'ai pas écris au propre le 1er dév parce que je l'utilise que pour cette leçon, il n'est donc pas sur ma page.
J'utilise le Rombaldi pour la majeure partie du plan, le Grifone pour l'interprétation géométrique, le Li pour le lien avec l'analyse, le Gourdon par endroits et le Caldero pour le 2e dév.
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Références :
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Fichier :
150 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
J'aime bien cette leçon parce qu'il y a des choses à raconter. Pour le plan, il n'y a qu'à suivre le Mansuy-Mneimné. Le 2e dév est légèrement différent de celui indiqué, il est au propre sur ma page.
J'utilise le Mansuy-Mneimné (3e édition pour avoir le chapitre sur l'exponentielle de matrice) et le Rombaldi.
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Références :
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Fichier :
151 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
152 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
153 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon était une impasse à la base mais j'ai préparé un métaplan rapidement au cas où. Il est donc très basique et je parle pas de méthodes approchées parce que j'aime pas et que je suis pas en option B. Heureusement que je suis pas tombé dessus le jour J...
I) Généralités sur les éléments propres
1) Définitions et exemples
2) Liens avec la réduction
DEV 1: Critère de nilpotence par la trace
II) Localisation des valeurs propres dans le cas complexe
1) Disques de Gerschgöring
2) Rayon spectral
DEV 2: Homéomorphisme entre les matrices hermitiennes et hermitiennes définies positives
J'utilise le Rombaldi d'algèbre et d'analyse matricielle pour la majeure partie, un peu le Mansuy-Mneimné et Carnet de Voyage en Algébrie.
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Références :
155 : Exponentielle de matrices. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Leçon préparée pendant l'année en binôme avec un camarade bien meilleur que moi, j'aurai pas mis la dernière partie acec le théorème de Cartan. Ayant fait l'impasse sur les équa diffs, j'aurai diminué cette partie si j'étais tombé dessus. Le dév 1 est légèrement différent que celui indiqué, voir ma page.
Je suis passé sur cette leçon en oral blanc. Voici quelques questions/exos:
- (sur le dév 1) Comment s'assurer que le polynôme interpolateur soit bien défini ?
- (sur le dév 1) Comment montrer que l'inverse d'un polynôme en A reste un polynôme en A ?
- (sur le dév 1) Comment montrer la surjectivité de l'exponentielle sur C à partir de votre 1er résultat ? (je donne la réponse sur ma page dans le dév)
- Est-ce qu'une matrice de déterminant négatif peut être un carré de matrice réelle ?
- Montrer que A et B commutent si exp(t(A+B))=exp(tA)exp(tB) pour tout t.
J'utilise Mansuy-Mneimné (3e édition !) pour la majeure partie du plan et les Rombaldi.
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Références :
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Fichier :
156 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
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Leçon :
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Remarque :
J'ai pas encore eu le temps de taper le plan en LateX, toutes mes excuses si c'est pas très lisible.
J'ai pas mis ce que je mettais dans chaque sous-partie parce s'est assez clair au vu du titre. Mon plan est assez basique. Je parle d'exponentielle de matrices parce que j'aime bien ça.
J'utilise le Gourdon en Rombaldi pour la majeure partie du plan et le Mansuy-Mneimné (3e édition !) pour l'exponentielle de matrices.
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Références :
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Fichier :
157 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
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Leçon :
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Remarque :
J'ai pas encore eu le temps de taper le plan en LateX, toutes mes excuses si c'est pas très lisible.
Je suis pas du tout convaincu par mon plan. Je me suis beaucoup attardé sur les formes quadratiques et je sais pas si c'est la meilleure stratégie. J'avais cette leçon dans mon couplage le jour J et je l'ai pas choisi pour ces raisons.
J'utilise le Rombaldi et Gourdon pour la majeure partie du plan, un peu le Grifone notamment pour le 1er dév.
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Références :
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Fichier :
158 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
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Leçon :
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Remarque :
J'ai pas encore eu le temps de taper le plan en LateX, toutes mes excuses si c'est pas très lisible.
Mon plan est assez basique. J'ai choisi de ne pas parler des endomorphismes normaux car je trouve qu'il y a d'autres endomorphismes plus classiques à aborder avant de sortir l'artillerie lourde.
J'utilise le Rombaldi pour la majeure partie du plan, le Perrin pour le 1er dév et le Grifone pour les figures (que j'ai pas faites) et la dimension 3.
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Références :
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Fichier :
159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
J'ai pas encore eu le temps de taper le plan en LateX, toutes mes excuses si c'est pas très lisible.
Les 2 premières parties sont classiques. Je suis pas complètement convaincu par ma dernièré partie mais je pense que ça peut se défendre.
J'alterne entre le Gourdon et le Rombaldi pour tout le plan. J'utilise aussi le Grifone pour le 2e dév.
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Références :
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Fichier :
170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
J'ai pas encore eu le temps de taper le plan en LateX, toutes mes excuses si c'est pas très lisible.
Mon plan est assez basique, je ne suis pas allé chercher dans des notions très poussées.
J'utilise le Grifone, Rombaldi et Gourdon pour la majeure partie du plan, et le Perrin pour le 2e dév.
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Références :
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Fichier :
171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
J'ai pas encore eu le temps de taper le plan en LateX, toutes mes excuses si c'est pas très lisible.
Ayant fait l'impasse sur la géométrie, cette leçon est une semi-impasse à cause de la partie conique. J'ai donc pas de vraie référence pour cette partie, j'ai mis le Grifone car il synthétise assez rapidement. Mes dévs ne sont pas optimaux pour cette leçon puisqu'ils abordent uniquement le cas réel. On pourrait faire les générateurs du groupe orthogonal dans le cas général pour que ça passe mieux.
J'utilise le Rombaldi et Grifone pour la majeure partie du plan, et le Perrin pour le 1er dév.
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Références :
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Fichier :
190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
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Leçon :
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Remarque :
J'ai pas encore eu le temps de taper le plan en LateX, toutes mes excuses si c'est pas très lisible.
J'ai failli faire l'impasse sur cette leçon parce que je suis nul en dénombrement. Mais il y a de quoi parler pas mal d'actions de groupes donc j'ai préparé un plan rapide. J'aborde donc des notions basiques mais on peut mettre des résultats plus exotiques si on est à l'aise.
J'utilise le Gourdon pour la 1ère partie, le Rombaldi et Caldero pour la 2e et le Perrin pour Sylow.
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Références :
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Fichier :
101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
J'aime bien mon plan, qui est assez classique. La deuxième partie permet de mettre en valeur les deux types d'actions que l'on utilise le plus.
J'ai fais ma troisième partie sur les actions sur les groupes de matrices car je ne trouvais d'autres applications qui me conviennent, mais on peut aller dans beaucoup d'autres directions. De toute façon cette partie se recase dans d'autres leçons.
Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.
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Références :
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Fichier :
103 : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Attention, mon méta-plan est correct, mais pas mon plan manuscrit (j'ai déplacé la partie sur les $p$-groupes car elle doit arriver après les groupes quotients).
Mon deuxième développement était sur les sous-groupes distingués de $S_n$ car je trouvais celui sur la simplicité de $A_n$ trop compliqué à retenir.
Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.
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Références :
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Fichier :
104 : Groupes finis. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
L'intérêt de cette leçon est qu'elle ne nécessite pas beaucoup de références.
J'aime bien mon plan, à savoir l'idée de présenter un groupe fini abélien et un non-abélien. Après je n'ai pas eu de retours dessus donc je ne sais pas si cela convient.
Comme deuxième développement j'ai préféré faire la formule de Burnside et une application au lieu de faire un développement sur le groupe symétrique (je ne voulais pas avoir trop de questions sur cette notion).
Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.
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Références :
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105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Une des leçons les plus simples à faire, même si je n'étais pas fan de cette notion. En effet, il suffit de suivre le Berhuy (ou le Rombaldi selon vos goûts) et ensuite juste rajouter des applications.
Il faut bien savoir comment vous définissez le morphisme signature, car plusieurs constructions sont possibles et l'ordre des propriétés change alors.
Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.
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Références :
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106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Pas un grand fan de cette leçon, même si j'aimais bien mes développements. En revanche il suffit d'utiliser le Rombaldi donc elle se fait rapidement.
Si j'étais tombé dessus le jour J, j'aurais enlevé la partie sur les générateurs car je ne voulais surtout pas être interrogé dessus, même si le fait de ne pas en parler m'aurait sûrement fait défaut.
Ma partie sur le groupe orthogonal est peut-être un peu longue, mais cela se justifie bien car c'est un sous-groupe de $GL(E)$ (cf le titre de la leçon) et que cela permet d'arriver à la décomposition polaire, qui concerne $GL_{n}(\mathbb{R})$.
Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.
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Références :
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120 : Anneaux Z/nZ. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
J'ai fait une première partie sur le groupe $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)$ car il y a vraiment des propriétés importantes, après je ne sais pas si cela est considéré comme hors-sujet étant donné que le titre de la leçon invite à se concentrer sur la notion d'anneau.
Si j'étais tombé dessus le jour J, j'aurais enlevé la partie sur les systèmes de congruences (en laissant tout de même un exemple pour illustrer le théorème chinois) car je n'étais pas à l'aise dessus.
Je pense que l'on peut justifier de faire un développement sur l'irréductibilité de polynômes (Eisenstein ou polynômes cyclotomiques par exemple) car on se place à de nombreuses reprises dans $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.
Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.
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Références :
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Fichier :
122 : Anneaux principaux. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
J'aimais bien cette leçon, d'autant plus que je n'avais qu'à suivre le Ulmer pour le début.
Je pense que l'on peut parler d'anneau factoriel dans cette leçon, j'ai préféré ne pas le faire par peur de certaines questions. On peut aussi parler de nombres algébriques et polynôme minimal associé.
Pour le développement sur le critère d'Eisenstein, je me plaçais dans un anneau principal (alors que factoriel suffit) et cela simplifiait donc la preuve.
Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.
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Références :
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Fichier :
127 : Exemples de nombres remarquables. Exemples d’anneaux de nombres remarquables. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Leçon que j'ai préparé à la toute fin de l'année, donc je n'ai qu'un méta-plan.
J'ai essayé de recaser ce que je pouvais, d'où la première partie qui peut paraitre désordonnée, c'est juste que c'était des notions que je maitrisais bien et qui sont dans d'autres leçons.
J'ai aussi décidé de me concentrer sur les liens avec les extensions de corps, de toute façon le rapport du jury dit qu'il ne faut pas s'éparpiller dans tous les sens.
La partie sur les polynômes cyclotomiques est justifiée car ils sont définis à partir des racines de l'unité qui sont des nombres remarquables, et car ils permettent de créer des corps cyclotomiques qui sont des anneaux remarquables.
[TL1] Tout en un pour la licence 1
Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.
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Références :
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Fichier :
108 : Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je n'aimais pas du tout cette leçon, c'est pour cette raison que je l'ai faite à la toute fin de l'année et que je n'ai qu'un méta-plan.
Je consacre tout une partie au groupe symétrique car on dispose de nombreux générateurs pour ce groupe, et car j'ai un développement sur les sous-groupes distingués de $\mathcal{S}_{n}$.
Pour le deuxième développement, je n'ai pas trouvé mieux que "$(\mathbb{Z}/p^{\alpha}\mathbb{Z})^{\times}$ est cyclique".
Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.
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Références :
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Fichier :
142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
J'ai l'impression que cette leçon est redoutée par beaucoup, mais je pense qu'en bossant bien les notions elle n'est pas si compliquée (par contre je ne trouvais pas beaucoup de développements). Il faut bien faire attention à l'odre dans lequel on introduit les notions, j'ai pour ma part décidé de partir du cas général pour aller vers les cas particuliers (qui sont plus simples).
Comme algorithmes, le mimimum est de mettre celui d'Euclide et celui d'Euclide étendu (ce sont les algorithmes utilisés au lycée donc aucune nouveauté).
Je ne pense pas que mon développement sur le critère d'Eisenstein mérite une sous-partie à lui tout seul, mais je ne voyais pas où le mettre sinon.
Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.
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Références :
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Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
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Cours d'algèbre
, Perrin
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Anneaux, corps, résultants, Ulmer, Félix
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Algèbre et probabilités, Gourdon
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Algèbre linéaire réduction des endomorphismes, R. Mansuy, R. Mneimné
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Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
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Fichier :
144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis tombé sur cette leçon le jour J, j'ai fait exactement le même plan (voir mon retour d'oral, j'ai eu 16.75).
Je trouve cette leçon agréable à faire car mis à part la première partie, on peut vraiment mettre ce que l'on veut dedans. J'étais content de parler à la fois d'extensions de corps et d'algèbre linéaire.
Pour chaque notion abordée dans le plan, il est important d'expliquer comment on la relie au titre de la leçon (par exemple, les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique et permettent d'obtenir des informations sur la diagonalisation ou trigonalisation).
Je pense que si l'on fait une partie sur les corps de rupture et de décomposition, ça sera valorisé d'expliquer leur utilité pendant la présentation de 6 minutes.
J'ai décidé de ne parler que des polynômes symétriques élémentaires et pas des polynômes symétriques (une professseure m'avait dit que ce n'était pas pénalisant), en revanche il faut s'attendre pendant la phase de questions à devoir donner l'expression d'un polynôme symétrique en fonction des élémentaires. Pour le développement sur le théorème de Kronecker, je n'utilise donc pas le théorème de structure des polynômes symétriques (j'utilise les matrices compagnons) mais ça n'a pas l'air de poser problème.
Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.
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Références :
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Fichier :
149 : Déterminant. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je fais la construction du déterminant de façon classique en suivant le Gourdon (je suis un grand fan du Grifone mais je ne pense pas que sa construction du déterminant soit la meilleure).
Je pense que parler de polynôme caractéristique est incontournable, mais il faut absolument savoir pourquoi il existe bien car en général on définit le déterminant sur un corps (c'est expliqué dans le Beck-Malick-Peyré).
Pour le développement sur le critère de nilpotence par la trace, je redémontre l'expression du déterminant de Vandermonde afin de bien justifier le recasage, quitte à aller plus vite sur certaines parties du dèv.
Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.
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Références :
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Fichier :
150 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Le rapport du jury stipule qu'il faut bien insister sur les polynômes d'endomorphismes. D'ailleurs si vous faites le développement sur la décomposition de Dunford, il faut absolument faire la preuve où les endomorphismes $d$ et $n$ sont des polynômes en $u$ (cela vient du lemme des noyaux, dont la démonstration est limpide dans le Mansuy).
Mon développement sur le théorème spectral est peut être un peu court, il faudrait rajouter une application. Je pense que l'on peut trouver un meilleur dèv.
Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.
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Références :
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Fichier :
152 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
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Leçon :
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Remarque :
Le Mansuy peut (encore une fois) à lui seul faire toute la leçon.
La première partie peut sûrement être raccourcie, par exemple en ne rappelant pas les définitions de polynôme minimal et caractéristique, juste en écrivant les propriétés importantes.
Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.
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Références :
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Fichier :
153 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Leçon qui se fait rapidement, les premières parties se retrouvent dans de nombreuses leçons.
Concernant le calcul approché d'élements propres, je n'en parle pas car je n'étais vraiment pas à l'aise. Je pense que ce que j'ai mis dans ma troisième partie sur la recherche des valeurs propres est suffisant, ce sont des notions que j'ai découvert en préparant la leçon donc je n'ai pas de recul dessus.
Mon plan étant très théorique (et peut-être pas assez appliqué), je ne pense pas que j'aurais immédiatement choisi cette leçon le jour J.
Le développement sur le théorème spectral est justifié car on se sert des valeurs propres et des vecteurs propres.
Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.
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Références :
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Fichier :
155 : Exponentielle de matrices. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je n'ai pas trouvé beaucoup de choses à dire sur cette leçon, heureusement qu'il y a les équations différentielles à mettre comme application.
Je n'avais pas d'idée pour mon deuxième développement, j'ai donc fait la surjectivité de l'exponentielle matricielle en utilisant la démonstration du Mansuy.
Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.
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Références :
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Fichier :
156 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
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Leçon :
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Remarque :
Plan classique, on peut raccourcir la première partie si l'on veut.
Je n'avais pas envie de parler de la suite des noyaux itérés et de la décomposition de Jordan pour les endomorphismes nilpotents (qui est hors programme), mais le rapport du jury insistait beaucoup dessus.
J'ai mis la décomposition de Dunford à part car c'est elle qui fait le lien entre endomorphismes trigonalisables et nilpotents.
Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.
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Références :
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Fichier :
157 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
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Leçon :
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Remarque :
Au départ je pensais que cette leçon allait être bien, mais le fait de devoir à chaque fois mettre le cas réel et complexe est assez énervant.
Je pense que ma partie sur les formes quadratiques et hermitiennes est trop grande, mais le rapport du jury insistait dessus et je ne voyais pas d'autres applications.
Les parties sur le théorème spectral et les matrices symétriques positives sont un bon investissement, elles se recasent très bien dans d'autres leçons.
Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.
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Références :
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Fichier :
158 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
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Leçon :
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Remarque :
Mon plan est extrêmement classique, je n'ai pas eu envie de parler d'endomorphismes normaux (les endomorphismes orthogonaux et symétriques suffisaient amplement pour remplir mon plan).
La sous-partie sur l'adjoint d'un endomorphisme se justifie car les exemples d'endomorphismes donnés vont se distinguer par les propriétés de leur adjoint.
Pour les endomorphismes orthogonaux, il aurait peut-être fallu parler de la classification en dimension 2 et 3, mais je n'étais pas à l'aise dessus.
Il faut parler des endomorphismes orthogonaux avant les symétriques, car notamment pour le théorème spectral et la décomposition polaire, on a besoin des matrices orthogonales.
Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.
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Références :
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Fichier :
159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Pas très fan de cette leçon, mais bon le plan est classique. Je pense qu'en bossant bien la notion ce n'est pas une leçon très difficile.
Mon premier développement est un peu là par défaut (je ne l'utilisais que pour cette leçon) et pour le deuxième sur la loi d'inertie de Sylvester, il faut bien appuyer sur les hyperplans et les formes linéaires dans la preuve.
Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.
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Références :
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Fichier :
170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
J'aimais bien cette leçon, il suffit de suivre le Rombaldi et de rajouter un peu du Grifone.
Mon deuxième développement sur $Tr(M^2)$ est clairement là par défaut (je ne le prenais que dans cette leçon) et je ne pense pas qu'il mérite une sous-partie à lui seul, il faudrait le mettre dans la partie sur la classification sur $\mathbb{R}$.
Il faut impérativement faire la classification sur $\mathbb{C}$, afin de se démarquer de la leçon 171 (je n'avais par contre pas envie de regarder ce qu'il se passe dans les corps finis).
J'aimais bien mon application sur le groupe orthogonal, car c'est une notion que l'on retrouve dans de nombreuses leçons.
Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
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Références :
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171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Méta-plan qui est un copié-collé de la leçon 170, mis à part la partie sur les coniques et le fait de se placer seulement dans le cas réel.
Cette leçon était presque une impasse à cause des coniques, j'ai mis comme référence le Grifone mais je ne sais pas si c'est le mieux (je n'ai toujours pas compris ce qu'était un conique).
Au moins ce sont les mêmes développements que la 170.
Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
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Références :
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190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
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Leçon :
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Remarque :
Si on aime le dénombrement, cette leçon est un régal car on peut aller dans de nombreuses directions.
Je pense que la première partie est incontournable, de toute façon il suffit de suivre le Gourdon à la lettre.
L'inconvénient de cette leçon est que pour chaque résultat énoncé, la démonstration est vraiment différente, donc il est difficile de mémoriser toutes les preuves (et le jury demandera forcément de démontrer un résultat du plan).
Je ne vois pas trop comment défendre les parties durant la présentation de 6 minutes, étant donné qu'à chaque fois c'est "tel résultat est utile/intéressant, et son lien avec la combinatoire c'est qu'on utilise la dénombrement dans sa démonstration".
Pour les développements proposés, il faut évidemment s'attarder sur la partie dénombrement et passer plus vite sur le reste.
Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.
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Références :
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101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Ce sont les grandes lignes de mon plan, non-vérifié par une personne compétente. Désolé pour l'écriture. Je me suis (beaucoup) inspiré de Tintin et Théo Ternier (J'ai eu l'agreg en partie grâce à eux, merci !).
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Références :
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Fichier :
103 : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Ce sont les grandes lignes de mon plan, non-vérifié par une personne compétente. Désolé pour l'écriture. Je me suis (beaucoup) inspiré de Tintin et Théo Ternier (J'ai eu l'agreg en partie grâce à eux, merci !).
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Références :
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Modules: théorie, pratique... et un peu d'arithmétique !, Grégory Berhuy
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Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
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Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas
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Cours d'algèbre
, Perrin
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131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
104 : Groupes finis. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Ce sont les grandes lignes de mon plan, non-vérifié par une personne compétente. Désolé pour l'écriture. Je me suis (beaucoup) inspiré de Tintin et Théo Ternier (J'ai eu l'agreg en partie grâce à eux, merci !).
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Références :
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Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
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Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas
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131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
-
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
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Théorie des Groupes, Félix Ulmer
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Fichier :
105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.
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Leçon :
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Ce sont les grandes lignes de mon plan, non-vérifié par une personne compétente. Désolé pour l'écriture. Je me suis (beaucoup) inspiré de Tintin et Théo Ternier (J'ai eu l'agreg en partie grâce à eux, merci !).
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Références :
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106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
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Leçon :
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Références :
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108 : Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.
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Leçon :
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120 : Anneaux Z/nZ. Applications.
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Leçon :
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121 : Nombres premiers. Applications.
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122 : Anneaux principaux. Exemples et applications.
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123 : Corps finis. Applications.
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125 : Extensions de corps. Exemples et applications
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127 : Exemples de nombres remarquables. Exemples d’anneaux de nombres remarquables. Applications.
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141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.
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142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
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Leçon :
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144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
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Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
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Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
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Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas
-
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré
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Petit guide de calcul différentiel
, Rouvière
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Corps commutatifs et théorie de Galois
, Tauvel
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Cours d'algèbre
, Perrin
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148 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
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149 : Déterminant. Exemples et applications.
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150 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.
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151 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
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152 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
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153 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.
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155 : Exponentielle de matrices. Applications.
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156 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
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157 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
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158 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
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159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
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161 : Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.
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162 : Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
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170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité. Applications.
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171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
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181 : Convexité dans Rn. Applications en algèbre et en géométrie.
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190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
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191 : Exemples d’utilisation de techniques d’algèbre en géométrie.
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203 : Utilisation de la notion de compacité.
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204 : Connexité. Exemples d’applications.
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206 : Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse.
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