Utilisée dans les 111 versions de développements suivants :
Générateurs de SL(E) et GL(E)
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Développement :
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Remarque :
p 139 à 141
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Référence :
Surjectivité de l'exponentielle matricielle
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Développement :
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Remarque :
p755-756 Rombaldi
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Référence :
Condition nécessaire et suffisante pour que Z/nZ* soit cyclique
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Développement :
-
Remarque :
p 290 à 293
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Référence :
Théorème de d'Alembert-Gauss par la compacité
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Développement :
-
Remarque :
p 377 à 379
-
Référence :
Dualité et Algèbre des matrices
Factorisation de Cholesky et Factorisation QR
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Développement :
-
Remarque :
p 684 à 686
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Référence :
Diagonalisation des endomorphismes autoadjoints
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Développement :
-
Remarque :
p 719 - 720
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Référence :
Dunford et l'exponentielle de matrice
Anneau des entiers algébriques et degré d'une représentation irréductible
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Développement :
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Références :
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Fichier :
Entiers algébriques et caractères irréductibles
Dénombrement des matrices diagonalisables de Mn(Fq)
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre
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Développement :
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Références :
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Fichier :
Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Réduction des endomorphismes normaux
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Développement :
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Références :
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Fichier :
Réduction de Jordan (par la dualité)
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Développement :
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Références :
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Fichier :
Simplicité du groupe alterné An
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Développement :
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Références :
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Fichier :
Le dénombrement des polynômes irréductibles unitaires sur un corps fini
Simplicité du groupe alterné An
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Développement :
-
Remarque :
Ma version n'utilise pas de dénombrement, juste quelques petites astuces visant à transformer une permutation et à obtenir un 3-cycle dans le groupe distingué. Pas exactement fait comme ça dans le Rombaldi, mais très similaire.
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Référence :
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Fichier :
Réduction de Jordan (par la dualité)
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Dunford et l'exponentielle de matrice
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Développement :
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Remarque :
Leçons 153, 154, 155, 156, 157
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Références :
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Fichier :
Théorème chinois et applications
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Développement :
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Remarque :
Leçons 120, 122, 142.
On ajustera ce développement en faisant l'un ou l'autre des exemples en fonction de la leçon pour tenir les 15 minutes.
Pour la leçon 120, on ajustera le premier théorème en se plaçant dans Z/nZ plutôt qu'un anneau principal quelconque.
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Références :
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Fichier :
Théorème de Maschke et lemme de Schur
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Développement :
-
Remarque :
Leçon 107.
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Référence :
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Fichier :
Isométries du cube
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Développement :
-
Remarque :
Leçons 101, 104, 105, 161, 191.
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Références :
Réduction des endomorphismes normaux dans un espace euclidien
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Développement :
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Remarque :
Développement classique permettant de classifier les endomorphismes symétriques, antisymétriques et orthogonaux dans un espace euclidien. Ici, on montre un lemme puis le théorème tous les deux par récurrence sur la dimension de l'espace euclidien.
Développement n°24 sur 28.
Pour une version de rekasator qui marche aller sur: https://docs.google.com/document/d/1vnBvwVGapXvQC4cU5CHUJWo04E4eezzDSjSIDRekaPE
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Référence :
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Fichier :
Dunford et l'exponentielle de matrice
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Décomposition de Dunford (version non algorithmique)
Entiers algébriques et caractères irréductibles
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Développement :
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Remarque :
Développement très long, clairement ne faire qu'un seul des deux résultants. N'utilise vraiment que la définition du résultant donc ne devrait pas faire fuir les candidats qui ne suivent pas l'option C. La proposition que je fais en bonus tout à la fin peut être bonne à connaître. En revanche, il n'y a pas de référence à ma connaissance.
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Références :
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Fichier :
Simplicité du groupe alterné An
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Développement :
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Référence :
Dénombrement des matrices diagonalisables de Mn(Fq)
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Développement :
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Remarque :
Fait dans le Rombaldi Algèbre et géométrie 2ème édition.
On dénombre ici les matrices inversibles (les automorphismes donc) diagonalisables de Mn(Fq).
Recasages : 101, 106, 123, 150, 155, 190.
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Référence :
Dérangements d'un ensemble fini
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Développement :
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Référence :
Théorème des deux carrés de Fermat (par les entiers de Gauss)
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Développement :
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Référence :
Isométries du cube
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Développement :
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Remarque :
Recasages: 101, 104, 105, 161, 191
Rombaldi [2e édition] p85-89
Caldero NH2G2 II p219-223
Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
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Références :
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Fichier :
Réduction des endomorphismes normaux dans un espace euclidien
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Développement :
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Remarque :
Recasages: 151, 154, 160
Je mets aussi 151 pour l'illustration de la récurrence sur la dimension (il faut être prêt·e à défendre ce choix).
Pages 743 à 745
NB: deux coquilles dans le Rombaldi: une dans l'énoncé (c'est $b_k$ qui est non nul, pas $a_k$), et une dans la preuve du Lemme 22.13 ($\delta = (a+d)^2 - 4(ad-b^2) = (a-d)^2 + 4b^2$ et non $(a+d)^2 + 4b^2$ #copiercoller)
Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
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Référence :
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Fichier :
Dualité et Algèbre des matrices
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Développement :
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Remarque :
Recasage: 159
Caldero/Peronnier p 16-18
Rombaldi [2e édition] p458
Je trouve les deux références complémentaires: l'approche du théorème est plus agréable dans le Rombaldi, de même que la détermination du centre de $\mathcal{M}_n(K)$. Je n'ai pas trouvé les applications dans le Rombaldi, mais elles sont bien faites dans le Carnet de voyage en Algébrie.
Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
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Références :
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Fichier :
Cyclicité du groupe multiplicatif d'un corps fini
Racines de l'unité dans Z/nZ
Dénombrement des matrices diagonalisables de Mn(Fq)
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Développement :
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Références :
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Fichier :
Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)
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Développement :
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Références :
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Fichier :
Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)
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Développement :
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Remarque :
Recasages: 121, 123, 190
Je ne la mets pas dans la 170, car l'intervention des formes quadratiques prend vraiment 1 ligne sur toute la preuve; ce serait un recasages scandaleusement abusif.
Je me suis inspiré du document de abarrier, j'y ai apporté quelques précisions.
Rombaldi [2e édition] p 431
Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
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Référence :
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Fichier :
(Z/p^aZ)* est cyclique
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Développement :
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Remarque :
Recasages: 108, 120, 121
Rombaldi [2e édition] p292
Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
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Référence :
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Fichier :
Loi d'inertie de Sylvester, classification des formes quadratiques sur R, équivalence
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Développement :
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Remarque :
Recasages: 151, 170, 171
Rombaldi [2e édition] p 468 & 476
J'ajoute la preuve de $\dim(F) + \dim(F^{\perp}) \geq \dim(E)$ avec cas d'égalité et $E = F \oplus F^{\perp}$ si $q_{|F}$ non dégénérée, qui permet d'une part de tenir 15 minutes et non 5, et d'autre part renforce le recasage dans la 170. Commentaires en fin de document.
Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
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Référence :
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Fichier :
Simplicité du groupe alterné An
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Dunford et l'exponentielle de matrice
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Réduction de Jordan (par la dualité)
Cyclicité du groupe (Z/pZ)^*
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Développement :
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Remarque :
Recasages: 108, 120 ,121
Page 292
Le plus dur est de comprendre la structure de la preuve, après ça tout roule tout seul.
Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
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Référence :
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Fichier :
Théorème des deux carrés de Fermat (par les entiers de Gauss)
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Développement :
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Remarque :
Recasages: 121, 126
Je sais qu'il est d'usage de présenter ce théorème pour la 122. Selon moi, sans adaptation, c'est hors sujet, dans la mesure où on utilise de manière critique la factorialité des anneaux en jeu, pas leur principalité. Pour rentrer un minimum dans la 122, voici ce que je recommande: le théorème des deux carrés de Fermat ne doit pas être l'aboutissement du développement, mais seulement un outil intermédiaire pour mener l'étude de $\mathbb{Z}[i]$. On montrera donc que ce dernier est euclidien et le cas premier du théorème des deux carrés de Fermat avant de terminer la liste des irréductibles de $\mathbb{Z}[i]$ (ce dernier point se trouve dans le Perrin, à la suite du théorème). Ça reste contestable pour la 122 puisqu'on n'utilise toujours pas de manière critique la principalité d'un anneau, mais c'est déjà mieux.
Dans les 121 et 126, je recommande très vivement d'écrire l'heuristique de la preuve au tableau comme je le fais dans mon document, puisque dans la suite des 8 équivalences qu'on est amené à écrire, 5 sont évidentes (elles relèvent du cours). Ainsi, prendre 2 minutes à écrire cette heuristique permet d'une part de rendre le procédé transparent, et d'autre part de gagner énormément de temps dans la suite. Il ne faut pas perdre de temps avec $\mathbb{Z}[i]$ car il s'écarte du sujet des 121 et 126: on se contentera d'un dessin et des inversible.
Perrin p65 (on le trouvera aussi dans Rombaldi p269)
Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
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Références :
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Fichier :
Dunford et l'exponentielle de matrice
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Développement :
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Remarque :
Recasages: 148, 153, 155, 157
Gourdon (v3) p204 + Rombaldi p634
Voir mon retour d'oral.
(Inutile de formuler ce lemme, je réécrirai le développement dès que possible)
Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
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Références :
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Fichier :
Classification des groupes d'ordre p^2
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Développement :
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Remarque :
Recasages: 101, 103, 104
Page 23
Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
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Référence :
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Fichier :
Théorème de Liouville : Fermat pour les polynômes
Étude relative à la fonction Zeta
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Développement :
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Remarque :
Recasages: 121, 265, 266
Garet-Kurtzmann p56+461 (on trouvera également cet exercice dans le Rombaldi p345, mais rédigé différemment)
Application à le divergence de la série des inverses des premiers.
Je recommande vivement d'écrire au tableau le découpage en questions au début de la présentation: cela rend la preuve transparente, et ça donne un point d'appui si on se perd durant le développement. Ce n'est pas un temps perdu, dirai-je même c'est du temps gagné: il faut les écrire à un moment ou à un autre durant la présentation, plutôt que de le faire au fur et à mesure autant le faire dès le début.
Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
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Références :
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Fichier :
Le dénombrement des polynômes irréductibles unitaires sur un corps fini
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Développement :
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Remarque :
Recasages: 123, 125, 141, 190
Page 423
Pour prouver la formule d'inversion de Moebius, je n'utilise pas (explicitement) la convolution de Dirichlet comme le fait Rombaldi: il suffit d'écrire la somme, utiliser la relation et permuter les deux sommes, il n'y même pas besoin de le retenir tellement ça glisse tout seul !
Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
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Référence :
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Fichier :
Théorème chinois et applications
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Développement :
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Remarque :
Recasages: 120, 122, 142
Pages 249/285+291
Inspiré d'Aurélie BIGOT.
(C'est vraiment très mal écrit, je m'en excuse; je le réécrirai dès que possible)
Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
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Référence :
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Fichier :
Théorème spectral et ses trois corollaires
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Développement :
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Remarque :
Recasages: 149, 151, 155, 158
Rombaldi p734 (Lemmes, Thm) + Gourdon (v3) p256 (Cors)
Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
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Références :
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Fichier :
Fonction zeta et nombres premiers
Equivalence de diagonalisabilité
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Développement :
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Remarque :
Attention aux coquilles.
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Référence :
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Fichier :
Diagonalisabilité de l'exponentielle de matrice
Dénombrement des matrices diagonalisables de Mn(Fq)
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Simplicité du groupe alterné An
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Dunford et l'exponentielle de matrice
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Endomorphismes semi-simples
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Réduction de Jordan (par la dualité)
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Réduction des endomorphismes normaux dans un espace euclidien
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Endomorphismes semi-simples
Simplicité du groupe alterné An
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Développement :
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Remarque :
Un de mes développements favoris. Le but est d'obtenir un 3 cycle, peu importe lequel. On a donc une certaine liberté des notations. A la fin on obtient pas forcément le même 3 cycle que dans le Rombaldi mais on obtient quand même un 3 cycle.
Attention à la démonstration de la première version du Rombaldi qui est fausse (corrigée dans la deuxieme version)
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Références :
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Fichier :
Réduction de Jordan (par la dualité)
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Dénombrement des matrices diagonalisables de Mn(Fq)
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Développement :
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Remarque :
C'est l'un des rares développements que je n'apprécie pas trop... Mais bon, j'ai dû faire des choix pour avoir des développements là où il faut.
Je préfère de loin ma version matricielle à la version endomorphismes de la référence, mais peut-être que la version endomorphismes est plus simple au final.
J'ai vraiment du mal avec lui, je le trouve compliqué, mais beaucoup disent qu'il est plutôt facile et rentable.
Le recasage en 103 est abusif (enfin, à voir, mais en l'état...). On peut le recaser en 104 mais j'ai oublié de le mettre dans mon document (je le ferai plus tard).
Attention aux coquilles.
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Référence :
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Fichier :
Lemme chinois et lemme des noyaux
Fonction zeta et nombres premiers
Réduction des endomorphismes normaux
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Développement :
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Remarque :
Ma version utilise le théorème spectral via la décomposition polaire pour montrer que deux matrices réelles unitairement semblables sont orthogonalement semblables. Je préfère faire ainsi, on passe du cas particulier (théorème spectral) au cas général : la réduction des normaux. J'ai rajouté un complément sur les opérateurs auto-adjoints compacts en dimension infinie.
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Références :
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Fichier :
Décomposition de Dunford (version algorithmique) #effectif #méthodeEuler
Fonction zeta et nombres premiers
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Développement :
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Remarque :
Un développement très simple mais qui relie plein de domaines des mathématiques : produit infini, nombre premiers et fonction $\zeta$ (théorie analytique des nombres) et probabilités discrètes ! On peut rajouter si le temps le permet un résultat similaire sur les séries $L$ de Dirichlet, utilisées pour prouver le théorème de la progression arithmétique ! J'ai mis quelques remarques dessus.
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Références :
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Fichier :
Réduction des endomorphismes normaux dans un espace euclidien
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Développement :
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Remarque :
Je prends ce développement pour les leçons 106, 148, 150, 151 et 158. Ça fait beaucoup de recasages (trop, diront certains), à vous d'y réfléchir.
On trouvera le développement aux alentours de la page 743.
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Référence :
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Fichier :
Théorème du point fixe de Kakutani et sous-groupes compacts de GLn(R)
Calcul de exp(Mn(C)) et exp(Mn(R))
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Développement :
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Remarque :
Preuve par Dunford et les matrices unipotentes.
Plus algébrique et moins hardu que l'autre version passant par le théorème d'inversion locale.
Les polynômes d'endomorphismes sont omniprésents dans ce dév, ce qui justifie le recasage dans ladite leçon. L'utilisation d'arguments de diagonalisabilité et de Dunford peut justifier le recasage dans la leçon sur les endo diagonalisables...
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Références :
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Fichier :
Réduction de Jordan (par la dualité)
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Développement :
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Remarque :
Pas grand chose à dire, il faut juste être au clair sur les propriétés de base du dual.
Je le prends pour les leçons 144, 148, 151, 154, 156 et 159.
On trouvera la preuve aux alentours de la page 672.
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Référence :
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Fichier :
Théorème chinois et applications
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Développement :
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Remarque :
Rien de très original, attention à bien maîtriser les petites propriétés sous-jacentes.
Je prends ce développement pour les leçons 122 et 142. On peut évidemment remplacer $A$ principal quelconque par $\mathbb Z$.
On trouvera les preuves/applications aux pages 244 (le théorème) et 286-288 (les applications).
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Référence :
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Fichier :
Idempotents et fonctions puissances de l'anneau Z/nZ
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Développement :
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Remarque :
En rédigeant ce développement, je me suis rendu compte qu'on utilisait plein de fois le théorème chinois. Ainsi, j'ai rajouté dans mon pdf plein de résultats importants qui utilisent le théorème chinois, comme les conditions sur $n$ pour assurer la cyclicité de $\displaystyle \left(\frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}\right)^{\times}$ ou le critère de Korselt pour les nombres de Carmichaël. Cela peut égayer ce développement qui peut paraître morose au premier abord. Enjoy !
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Références :
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Fichier :
Simplicité du groupe alterné An
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Développement :
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Remarque :
Mixte Perrin et Rombaldi. Attention au lemme sur les 5-cycles. Il n'est pas dans les références car je le fais sans les Sylow.
Leçons 103, 104, 105, 108, 190
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Références :
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Fichier :
Polynômes irréductibles sur Fq
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Développement :
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Remarque :
Bien lire le document pour choisir sa référence, il y en a pour tous les goûts !
Je le mets pour la 123, 125 et 141. Pour la 125, Francinou-Gianella/Demazure me parait incontournable.
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Références :
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Fichier :
Réduction des endomorphismes normaux dans un espace euclidien
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Développement :
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Remarque :
Pour les leçons 106, 148, 150, 151, 152, 157, 158 car il est facile de démontrer le théorème de classification des isométries + le théorème spectral avec. Pour la 152, outre le théorème spectral, on fait un peu de polynômes d'endomorphismes.
J'ai utilisé le Rombaldi mais en cas de doute, on peut aussi lire le Gourdon. Par contre, j'ai bricolé une version un peu plus directe.
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Références :
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Fichier :
Réduction de Jordan (par la dualité)
Décomposition de Dunford
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Développement :
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Remarque :
Ce développement est peut-être un peu court... On peut donc rajouter un autre corollaire pour le faire tenir en 15 minutes.
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Référence :
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Fichier :
Réduction des formes quadratiques et théorème de Sylvester
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Développement :
-
Remarque :
*Mes développements n’ont pas été pensés pour être partagés au départ, vous excuserez mon écriture et mes notations un peu brouillonnes. Soyez vigilants sur les coquilles/erreurs possibles et critiques sur ce que vous lisez. N’hésitez pas à me contacter pour des clarifications.
*La plupart de mes dévs contiennent un plan et un rappel des énoncés, pour être au clair sur ce qu’on a à disposition et ce qu’on veut faire.
*Les recasages inscrits sur le document sont les numéros de 2023/2024.
Recasages :
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Références :
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Fichier :
Le dénombrement des polynômes irréductibles unitaires sur un corps fini
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Développement :
-
Remarque :
*Mes développements n’ont pas été pensés pour être partagés au départ, vous excuserez mon écriture et mes notations un peu brouillonnes. Soyez vigilants sur les coquilles/erreurs possibles et critiques sur ce que vous lisez. N’hésitez pas à me contacter pour des clarifications.
*La plupart de mes dévs contiennent un plan et un rappel des énoncés, pour être au clair sur ce qu’on a à disposition et ce qu’on veut faire.
*Les recasages inscrits sur le document sont les numéros de 2023/2024.
Ma version ne parle pas de la fonction de Möbius. Je fais un exemple d'utilisation du résultat.
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Référence :
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Fichier :
Le dénombrement des polynômes irréductibles unitaires sur un corps fini
Dunford et l'exponentielle de matrice
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Développement :
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Remarque :
Version manuscrite, désolée pour l'écriture .
Je suis passée sur ce développement à l'oral, j'ai du abréger la fin car il ne me restait plus de temps.
Il se peut qu'il reste des coquilles, n'hésitez pas à me contacter au besoin.
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Références :
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Fichier :
Théorème spectral et ses trois corollaires
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Développement :
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Remarque :
A la fin de mes devs je mets toujours une petite note sur les résultats annexes à savoir, c'est très subjectif et non exhaustif, il y a évidemment pleins d'autres choses à savoir sur chaque dev que ce que je mets.
Pour me contacter si besoin : axel.carpentier2001@gmail.com
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Référence :
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Fichier :
Réduction de Jordan (par la dualité)
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Développement :
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Remarque :
A la fin de mes devs je mets toujours une petite note sur les résultats annexes à savoir, c'est très subjectif et non exhaustif, il y a évidemment pleins d'autres choses à savoir sur chaque dev que ce que je mets.
Pour me contacter si besoin : axel.carpentier2001@gmail.com
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Référence :
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Fichier :
Théorème chinois et applications
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Développement :
-
Remarque :
A la fin de mes devs je mets toujours une petite note sur les résultats annexes à savoir, c'est très subjectif et non exhaustif, il y a évidemment pleins d'autres choses à savoir sur chaque dev que ce que je mets.
Pour me contacter si besoin : axel.carpentier2001@gmail.com
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Référence :
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Fichier :
Dunford et l'exponentielle de matrice
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Développement :
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Références :
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Fichier :
Décomposition LU et de Cholesky
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Développement :
-
Remarque :
Lorsque la leçon s'oriente vers les formes quadratiques (157 - 170 - 171) il est préférable de démontrer le critère de Sylvester et la décomposition de Cholesky et dans les autres cas (154 - 162) il vaut mieux démontrer la décomposition LU et de Cholesky.
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
-
Référence :
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Fichier :
Générateurs de SL_n(K) et GL_n(K)
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Développement :
-
Remarque :
Il faut bien défendre le développement pour la leçon 162 en insistant sur le fait qu'on effectue moralement un pivot de Gauss lorsque l'on démontre le théorème.
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Référence :
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Fichier :
Homéomorphisme de H_n(C) sur H_n^++(C)
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Développement :
-
Remarque :
Si le développement est un peu court on peut rajouter en préambule un lemme sur le lien entre norme subordonnée et rayon spectral pour une matrice M de GL_n(C).
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Référence :
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Fichier :
Loi d’inertie de Sylvester et classification des formes quadratiques sur R
Simplicité de A_n pour n = 3 et n ≥ 5
Surjectivité de l’exponentielle matricielle
Théorème des restes chinois et application
Générateurs de Gl_n(K) et Sl_n(K) et application à la connexité
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Développement :
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Remarque :
Ce développement mérite d'être bien travaillé, surtout pour justifier que "par hypothèse de récurrence, ça marche", chose que j'ai essayé de faire à la fin en noir. L'application à la connexité permet de recaser ce développement dans la 204.
On peut optimiser le début de la récurrence je pense.
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Référence :
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Fichier :
Surjectivité de l’exponentielle matricielle
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Développement :
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Remarque :
Il faut faire attention avec la démonstration du premier lemme de ce développement dans le Rombaldi, il mélange un peu les intervalles de définition des fonctions ! Le plus simple est de rester sur $]-\frac{1}{\rho(A)};\frac{1}{\rho(A)}[$ tout le long de la preuve, en précisant que "$\frac{1}{0}=\infty$".
Il faut aussi bien savoir justifier que les séries matricielles convergent, qu'on peut dériver terme à terme. C'est ce que j'ai fait sur le côté gauche de la première page mais ça a été coupé par le scan... Je recommande de toute manière de bien travailler la partie du Rombaldi sur le rayon spectral et les séries matricielles.
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Référence :
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Fichier :
Simplicité de A_n pour n = 3 et n ≥ 5
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Développement :
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Remarque :
Avec de l'entraînement, on peut faire tenir les 2 lemmes et le théorème en 15 minutes. Au delà de connaître la démonstration, il faut avoir bien compris pourquoi il suffit de trouver un 3-cycle dans le sous-groupe distingué non trivial de $\mathfrak{A}_n$. Sinon, le développement n'est pas très difficile, les 2 lemmes sont des exercices sûrement déjà traités en L3 (ou même avant) et le théorème, c'est grosso modo 3 fois le même argument.
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Référence :
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Fichier :
Décomposition LU et de Cholesky
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Développement :
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Remarque :
Je n'utilisais pas les mêmes recasages que Tintin mais je suis d'accord avec sa remarque. Pour ma part, je le recasais seulement dans 154 et 162.
J'ai trouvé ce développement très enrichissant (je l'ai bossé en même temps que la leçon 154), car je ne connaissais pas du tout ces décompositions avant.
Il faut savoir comment on les obtient en pratique, de manière plus ou moins algorithmique. Savoir comment on peut avoir QR à l'aide de Cholesky et réciproquement.
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Référence :
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Fichier :
Nombres de Carmichael et théorème de Korselt
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Développement :
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Remarque :
Un développement peu connu qui se recase très bien dans 120,121 et surtout 127 (la petite nouvelle de 2024) !
Il est moyennement difficile dans la mesure où je trouve les idées assez astucieuses par endroits, mais c'est beaucoup de calcul modulaire et d'applications du théorème de Lagrange pas très difficiles.
Je me suis efforcé à justifier toutes les congruences car certaines ne me paraissaient pas triviales, mais ça l'est peut-être pour d'autres...
Attention, le Rombaldi oublie un argument pour 3) implique 1), il faut mentionner le théorème chinois pour l'existence du $x$ tel que.... !
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Référence :
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Fichier :
Critère de Sylvester
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Développement :
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Remarque :
Ce développement a le mérité de rentrer parfaitement dans la 157 pour laquelle il peut être difficile de trouver des développements...
Il faut savoir démontrer le théorème de Sylvester donnant la classe de congruence d'une matrice symétrique réelle, il faut aussi savoir faire en pratique : étant donné une forme quadratique réelle, la décomposer en carrés, en déduire son rang, sa signature.
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Référence :
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Fichier :
Critère de nilpotence par la trace et théorème de Burnside
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Développement :
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Remarque :
Je suis d'accord avec les recasages de Tintin, personnellement j'ai utilisé ce développement uniquement pour la leçon 153 car il m'en manquait un... Je l'ai fait un peu en catastrophe à la toute fin de l'année, mais comme il est facile ça a été.
Par sécurité, il faut savoir comment on obtient la formule de Vandermonde sur le déterminant (récurrence).
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Référence :
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Fichier :
Théorème du point fixe de Kakutani et sous-groupes compacts de GLn(R)
Dunford et l'exponentielle de matrice
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Développement :
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Remarque :
Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !
Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !
(Bon courage !)
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Références :
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Fichier :
Réduction des endomorphismes normaux dans un espace euclidien
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Développement :
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Remarque :
Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !
Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !
(Bon courage !)
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Référence :
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Fichier :
Le dénombrement des polynômes irréductibles unitaires sur un corps fini
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Développement :
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Remarque :
Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !
Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !
(Bon courage !)
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Référence :
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Fichier :
Simplicité du groupe alterné An
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Développement :
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Remarque :
Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !
Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !
(Bon courage !)
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Références :
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Fichier :
Condition de cyclicité des (Z/nZ)^x
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Développement :
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Remarque :
Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !
Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !
(Bon courage !)
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Références :
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Fichier :
Théorème chinois et applications
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Développement :
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Remarque :
Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !
Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !
(Bon courage !)
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Références :
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Fichier :
Utilisée dans les 338 versions de leçons suivantes :
171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
110 : Structure et dualité des groupes abéliens finis. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
202 : Exemples de parties denses et applications.
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Leçon :
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Références :
-
Algèbre
, Gourdon
-
Analyse
, Gourdon
-
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily
-
De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman
-
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré
-
Analyse. Théorie de l'intégration, Briane, Pagès
-
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
-
Cours d'analyse
, Pommelet
-
Cours d'analyse fonctionnelle, Daniel Li
-
Fichier :
233 : Analyse numérique matricielle : résolution approchée de systèmes linéaires, recherche de vecteurs propres, exemples.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
156 : Exponentielle de matrices. Applications.
106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
103 : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
121 : Nombres premiers. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Plan présenté le jour J.
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Références :
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226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1=f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
221 : Équations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
-
Fichier :
220 : Équations différentielles ordinaires. Exemples de résolution et d’étude de solutions en dimension 1 et 2.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
162 : Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
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Leçon :
-
Références :
-
Analyse numérique et optimisation : une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique, Allaire
-
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 2, Caldero, Germoni
-
Oraux X-ENS Algèbre 2
, Francinou, Gianella, Nicolas
-
Algèbre
, Gourdon
-
Algèbre linéaire
, Grifone
-
Cours d'algèbre
, Perrin
-
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis
-
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
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Fichier :
160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
156 : Exponentielle de matrices. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
153 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
150 : Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
126 : Exemples d’équations en arithmétique.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
120 : Anneaux Z/nZ. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
108 : Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
107 : Représentations et caractères d’un groupe fini sur un C-espace vectoriel. Exemples.
105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
104 : Groupes abéliens et non abéliens finis. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l’unité. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
120 : Anneaux Z/nZ. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
J'ai changé les developpements en cours d'année : j'aurai finalement mis Dirichlet faible et le théorème de Sophie Germain (que j'aurai rajouté après les tests de primalité), les refs ne sont pas notées car c'est une version faite en oral blanc mais tout se trouve assez facilement : voir Gozard pour les polynomes cyclotomiques, Berhuy pour le théorème Chinois et les éléments remarquables, Gourdon pour les tests de primalité, Combes pour le théorème de structure et le reste se trouve facilement dans Perrin et Rombaldi
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Références :
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Fichier :
144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
103 : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
108 : Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
121 : Nombres premiers. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
126 : Exemples d’équations en arithmétique.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
152 : Déterminant. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
153 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l’unité. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
120 : Anneaux Z/nZ. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
122 : Anneaux principaux. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
123 : Corps finis. Applications.
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Leçon :
-
Références :
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Fichier :
142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
150 : Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
156 : Exponentielle de matrices. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
191 : Exemples d’utilisation des techniques d’algèbre en géométrie.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
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Leçon :
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Référence :
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Fichier :
158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
161 : Distances et isométries dun espace affine euclidien.
101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
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Leçon :
-
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Ulm] Théorie des Groupes : Félix Ulmer
[Per] Cours d'algèbre : Perrin
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann, Pecatte
-
Références :
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Fichier :
103 : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
104 : Groupes abéliens et non abéliens finis. Exemples et applications.
105 : Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.
106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
108 : Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.
120 : Anneaux Z/nZ. Applications.
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Leçon :
-
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[FGN Al1] Oraux X-ENS Algèbre 1 : Francinou, Gianella, Nicolas
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[Per] Cours d'algèbre : Perrin
-
Références :
-
Fichier :
121 : Nombres premiers. Applications.
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Leçon :
-
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[FGN Al1] Oraux X-ENS Algèbre 1 : Francinou, Gianella, Nicolas
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[Per]Cours d'algèbre : Perrin
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Références :
-
Fichier :
122 : Anneaux principaux. Applications.
123 : Corps finis. Applications.
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Leçon :
-
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Cal] Extension de Corps - Théorie de Galois : Josette Calais
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[Per] Cours d'algèbre : Perrin
[FGN Al1] Oraux X-ENS Algèbre 1 : Francinou, Gianella, Nicolas
-
Références :
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Fichier :
125 : Extensions de corps. Exemples et applications.
126 : Exemples d'équations en arithmétique.
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Leçon :
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Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Per] Cours d'algèbre : Perrin
[FGN An2] Oraux X-ENS Analyse 2 : Francinou, Gianella, Nicolas
[FGN Al1] Oraux X-ENS Algèbre 1 : Francinou, Gianella, Nicolas
-
Références :
-
Fichier :
141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.
142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[Cal] Elements de théorie des anneaux : Calais
[Per] Cours d'algèbre : Perrin
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[FGN Al1] Oraux X-ENS Algèbre 1 : Francinou, Gianella, Nicolas
[Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre
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Références :
-
Elements de théorie des anneaux
, Calais
-
Cours d'algèbre
, Perrin
-
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte
-
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
-
Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas
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131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
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Fichier :
144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
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Leçon :
-
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Per] Cours d'algèbre : Perrin
[Goz] Théorie de Galois : Gozard
[FGN Al1] Oraux X-ENS Algèbre 1 : Francinou, Gianella, Nicolas
[FGN An2] Oraux X-ENS Analyse 2 : Francinou, Gianella, Nicolas
[FGN Al2] Oraux X-ENS Algèbre 2 : Francinou, Gianella, Nicolas
-
Références :
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Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
-
Cours d'algèbre
, Perrin
-
Théorie de Galois, Gozard
-
Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas
-
Oraux X-ENS Analyse 2
, Francinou, Gianella, Nicolas
-
Oraux X-ENS Algèbre 2
, Francinou, Gianella, Nicolas
-
Fichier :
149 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.
-
Leçon :
-
Remarque :
Plan de la nouvelle leçon, ça vaut ce que ça vaut...
Références en fin de plan avec les notations:
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[All] Algèbre linéaire numérique : Allaire
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Références :
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Fichier :
150 : Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.
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Leçon :
-
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[GouAl]Algèbre : Gourdon
[H2G2] Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 : Caldero, Germoni
-
Références :
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Fichier :
151 : Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
152 : Déterminant. Exemples et applications.
153 : Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.
154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
156 : Exponentielle de matrices. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Zad] Un max de maths : Zavidovique
[H2G2] Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 : Caldero, Germoni
[Ber] Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements : Julien Bernis et Laurent Bernis
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
-
Références :
-
Fichier :
157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
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Leçon :
-
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[Gri] Algèbre linéaire : Grifone
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[H2G2] Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 : Caldero, Germoni
[All] Algèbre linéaire numérique : Allaire
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Références :
-
Fichier :
160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
-
Leçon :
-
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[H2G2] Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 : Caldero, Germoni
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Références :
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Fichier :
161 : Distances et isométries d’un espace affine euclidien.
170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Gri] Algèbre linéaire : Grifone
[H2G2] Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 : Caldero, Germoni
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Références :
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Fichier :
171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Gri] Algèbre linéaire : Grifone
[H2G2] Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 : Caldero, Germoni
[Rou] Petit guide de calcul différentiel : Rouvière
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
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Références :
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Fichier :
190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
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Leçon :
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Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[DeBia] Mathématiques pour le CAPES et l'Agrégation Interne : Jean de Biaisi
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Per] Cours d'algèbre : Perrin
[FGN An2] Oraux X-ENS Analyse 2 : Francinou, Gianella, Nicolas
[Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre
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Références :
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Mathématiques pour le CAPES et l'Agrégation Interne, Jean de Biaisi
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Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
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Cours d'algèbre
, Perrin
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Oraux X-ENS Analyse 2
, Francinou, Gianella, Nicolas
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131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
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Fichier :
191 : Exemples d'utilisation des techniques d'algèbre en géométrie.
106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
150 : Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.
156 : Exponentielle de matrices. Applications.
155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
121 : Nombres premiers. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Une ébauche de plan
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Références :
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Fichier :
106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
105 : Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Références en fin de plan avec les notations, essentiellement le Rombaldi à part pour mes développements (Dunford et décompo. polaire).
La partie algorithmique mériterait d'être plus poussée (QR, Iwasawa entre autres) mais mon quotient intellectuel ne me le permettrait pas le jour J.
On peut remplacer le Isenmann par le Gourdon.
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Références :
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Fichier :
148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.
190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
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Leçon :
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Remarque :
Leçon qui a tourné au diesel pour moi mais une fois son ébauche de plan en tête ça roule tout seul.
Références en fin de plan.
Etant une leçon sur des matrices, il vaut mieux éviter de proposer des développements version endomorphisme et de trop s'attarder sur les formes bilinéaires et les formes quadratiques même si un petit détour est inévitable selon moi (c'est écrit dans le rapport dtfc).
On peut remplacer le Isenmann par le Rombaldi pour la décomp. polaire et le X-ENS Algèbre 3 pour John-Löwner ;)
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Références :
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Fichier :
106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.
190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
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Leçon :
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Remarque :
Leçon qui peut faire peur au premier abord car il est rare d'avoir eu un cours sur cette thématique.
Finalement, elle est super cool à faire et change beaucoup des autres leçons :))
Mon plan contient beaucoup de résultats (63) mais c'est surtout la première partie qui est longue (24) et peut-être qu'il n'est pas nécessaire de rappeler certaines définitions en théorie des groupes.
Mes développements sont : "Nombre de Bell" et "Loi de réciprocité quadratique" qui rentrent impec dedans ;)
Il y a beaucoup de références mais elles ont déjà toutes été utilisées dans d'autres leçons donc bon…
On peut remplacer le Isenmann par le Caldero bien entendu…
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Références :
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L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte
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Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
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Algèbre L3
, Szpirglas
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Théorie des Groupes, Félix Ulmer
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Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas
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De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman
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Fichier :
160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
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Leçon :
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Remarque :
Voici mon plan totalement improvisé de mon oral blanc de leçon d'algèbre au sein de ma prépa-agreg. Vous constaterez qu'il est loin d'être parfait et comporte quelles coquilles dues au stress et au manque de temps, mais je l'ai déposé pour que vous puissiez voir à quoi ressemble une production dans le temps imparti de l'épreuve officielle.
Je laisse en référence les livres que j'avais utilisés pendant le temps de préparation.
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Références :
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Fichier :
101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l’unité. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Référence supplémentaire: Algèbre et géométrie: CAPES et Agrégation : Pierre Burg
J'avais initialement ajouté le paragraphe sur les angles orientés, non orientés, mesure principale et écart angulaire pour combler le vide laissé par l'absence de caractères, mais finalement la leçon est déjà assez longue sans ça (on peut donc enlever les items 40 à 44).
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Références :
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Fichier :
103 : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
104 : Groupes finis. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.
106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
108 : Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.
120 : Anneaux Z/nZ. Applications.
121 : Nombres premiers. Applications.
122 : Anneaux principaux. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Le théorème des deux carrés de Fermat est, à mon avis, hors sujet pour cette leçon, puisqu'il utilise de manière critique la factorialité, et non la principalité des anneaux en jeu (il y a même peut-être moyen de court-circuiter l'argument pour ne pas du tout utiliser la factorialité...)
... mais je le mets quand même parce que tout le monde l'accepete, et ça me fait un développement en moins...
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Références :
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Fichier :
123 : Corps finis. Applications.
125 : Extensions de corps. Exemples et applications.
126 : Exemples d’équations en arithmétique.
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Leçon :
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Remarque :
Références supplémentaires:
- Algèbre et géométrie: CAPES et Agrégation : Pierre Burg
- Algèbre I : Daniel Guin
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Références :
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Fichier :
141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
149 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.
151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
153 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Plan un peu court.
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Références :
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Fichier :
155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis passé sur cette leçon à l'oral. J'ai fait un plan globalement similaire à celui-ci, dont j'étais un peu moins satisfait.
Je n'ai pas fait de partie "Applications". Plutôt que de faire un paragraphe sur la décomposition de Dunford et le critère de Klarès, j'ai mis ce-dernier dans le paragraphe Critères de diagonalisabilité (en précisant dans la défense que ça nécessitait Dunford), et le paragraphe de Dunford est devenu un paragraphe "Application: puissance et exponentielle d'une matrice" de la partie II. Le paragraphe de topologie y a également été déplacé. En contrepartie, j'ai sérieusement raccourci le paragraphe sur les théorèmes spectraux au strict minimum, et je n'ai pas parlé de la réduction des endomorphismes normaux.
On peut étoffer la partie de topologie.
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Références :
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Fichier :
156 : Exponentielle de matrices. Applications.
157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
162 : Systèmes d’équations linéaires; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
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Leçon :
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Remarque :
Référence supplémentaire: Algèbre et géométrie: CAPES et Agrégation : Pierre Burg
Les deux développements son plutôt hors sujet. C'est une leçon intéressante en soi, mais comme je ne veux pas parler de LU, QR & cie., je manque de choses à dire. Pour combler le vide, j'ai détaillé l'entièreté de l'algorithme du pivot de Gauss, mais ce n'est pas une bonne solution...
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Références :
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Fichier :
170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications
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Leçon :
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Remarque :
La plus grande difficulté de cette leçon est sa longueur: le sujet est très vaste. J'ai choisi de détailler l'algorithme de réduction de Gauss, mais en pratique, c'est une mauvaise idée (dans le plan en tout cas). Je n'ai pas insisté non plus sur les questions d'isotropie, parce que c'est plus difficile à trouver dans les références classiques (et puis il y a déjà bien assez à dire comme ça).
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Références :
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Fichier :
171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.
191 : Exemples d’utilisation de techniques d’algèbre en géométrie.
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Leçon :
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Remarque :
J'ai choisi d'explorer les deux axes suivants: d'un côté les isométries des polygones/poyèdres réguliers et la constructibilité, et d'autre part les coniques.
Ce plan fait également un pari: 2 pages de texte, 2 pages de dessins, contrairement au 3-1 habituel. Après tout, comme on dit, une leçon de géométrie sans dessins, «c'est une bête qui n'a qu'un œil, c'est un oiseau sans plumage, une forêt sans écureuil»...
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Références :
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Fichier :
101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
104 : Groupes finis. Exemples et applications.
105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
108 : Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis tombé sur cette leçon le jour J, je n'ai pas parlé d'endomorphismes semi-simples, de représentation, ni de Jordan. Que des questions sur les endo cycliques
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Références :
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Fichier :
156 : Exponentielle de matrices. Applications.
158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
104 : Groupes finis. Exemples et applications.
105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.
120 : Anneaux Z/nZ. Applications.
121 : Nombres premiers. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
122 : Anneaux principaux. Exemples et applications.
123 : Corps finis. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
126 : Exemples d’équations en arithmétique.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.
149 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.
151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
152 : Déterminant. Exemples et applications.
154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
156 : Exponentielle de matrices. Applications.
157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
104 : Groupes finis. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Leçon sur laquelle je suis passé en début d'année. Possibilité d'une annexe graphique contenant des graphes de caractères (cf. von zur Gathen, Gerhard, Modern Computer Algebra), et les isométries du cube.
Si j'étais passé sur cette leçon à l'oral, j'aurais parlé à la fin des isométries du cube, qui auraient constitué mon second développement (au lieu de $A_n$ simple pour $n \geq 5$).
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Références :
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Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
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Algèbre
, Gourdon
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L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte
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Cours d'algèbre
, Perrin
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Algèbre discrète de la transformée de Fourier
, Peyré
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Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
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Fourier Analysis, Stein, Shakarchi
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Théorie des Groupes, Félix Ulmer
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Fichier :
105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.
121 : Nombres premiers. Applications.
142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Ébauche de plan non rédigé en intégralité, mais que je partage quand même car j'aime beaucoup la structure de mon plan, notamment la deuxième partie. Mes développements ont été l'algorithme de Berlekamp et le théorème de Liouville (cf. EWna).
Des exemples, juste énoncés, d'éléments ayant un pgcd mais pas de ppcm, ou pas de pgcd, se trouvent dans
Berhuy. La preuve et plein d'autres belles infos sur les pgcd et ppcm se trouvent dans ce papier du culte Daniel Perrin :
Autour du ppcm et du pgcd
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Références :
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Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré
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Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
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Cours d'algèbre
, Demazure
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Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas
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Modern Computer Algebra, von zur Gathen, Gerhard
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Cours d'algèbre
, Perrin
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Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
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Fichier :
148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
…ça commence à en faire des plans pour cette nouvelle leçon !
Mon plan a été éprouvé par une présentation durant l'année. Je vous propose également une fiche synthétique autour de cette leçon.
Seules les quatre premières références sont nécessaires. Les autres sont plus pour la culture générale ou pour un item que vous aurez de toute façon oublié le jour J. En fin d'année, j'aurais plutôt remplacé la partie sur la décomposition QR et de Hermite par une partie sur la décomposition de Cholesky.
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Références :
-
Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation
, Ciarlet
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Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
-
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni
-
Algèbre linéaire réduction des endomorphismes, R. Mansuy, R. Mneimné
-
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré
-
Calcul mathématique avec Sage
, Casamayou
-
A Course in Computational Algebraic Number Theory, H. Cohen
-
Algèbre
, Gourdon
-
Algorithmique algébrique, P. Naudin, C. Quitté
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Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
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Fichiers :
190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
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Leçon :
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Remarque :
La leçon que je préfère dans l'agrégation.
Attention, cette leçon est potentiellement très casse-gueules si vous n'avez jamais eu d'UE de mathématiques discrètes ; par exemple, l'outil des séries génératrices est très puissant mais encore faut-il savoir s'en servir pour le dénombrement !
Je me suis servi principalement d'un livre anglais peu connu en France, comprenant des milliers d'exemples, sur lequel j'avais déjà travaillé durant ma scolarité. On pourra se rabattre sur d'autres livres, mais il est vrai que trouver des exemples est un peu dur : les anglophones raffolent de maths discrètes !
(la référence de l'application 6 : Wikipédia, mais vous pourrez sortir tout exemple drôle qui vous vient à l'esprit)
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Références :
-
Discrete and Combinatorial Mathematics: An Applied Introduction, Ralph P. Grimaldi
-
Proofs from the book (Raisonnements divins en fr), Aigner, Ziegler
-
Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
-
Algèbre et probabilités, Gourdon
-
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
-
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis
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Exercices mathématiques
, Francinou, Gianella
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Fichier :
101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
104 : Groupes finis. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
108 : Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
120 : Anneaux Z/nZ. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
121 : Nombres premiers. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
122 : Anneaux principaux. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
123 : Corps finis. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
126 : Exemples d’équations en arithmétique.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
149 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Clairement le deuxième développement est bancal et je suis content de pas être tombé dessus. Alors un conseil, présentez autre chose que la décomposition LU / Cholesky.
Le Allaire est pas nécessaire, le Ciarlet suffit.
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Références :
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Fichier :
151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
156 : Exponentielle de matrices. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
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Leçon :
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Référence :
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Fichier :
161 : Distances dans un espace affine euclidien. Isoméries.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
162 : Systèmes d’équations linéaires; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
191 : Exemples d’utilisation de techniques d’algèbre en géométrie.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
C'est la version que j'ai présentée en oral blanc. J'ai mis les références utilisées (entre crochets) à chaque paragraphe. Quelques remarques :
-Il y a des choses de la partie I qui se placent mieux dans la partie II (tout ce qui concerne les applications linéaires : théorème du rang, équivalences bijectivité ssi surjuectivité ssi injectivité, etc);
-Si on a le temps, la place et l'envie, on peut aussi parler de dualité;
-L'algorithme de Berlekamp se place bien dans la sous-partie extension de corps - corps finis.
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Références :
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Fichier :
101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Cours d'algèbre
, Perrin
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Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
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Théorie des groupes (bis), Delcourt
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Algèbre L3
, Szpirglas
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Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
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Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 2, Caldero, Germoni
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Fichier :
121 : Nombres premiers. Applications.
101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
123 : Corps finis. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Plan testé devant la classe et approuvé par le professeur. C'est une totale recopie des deux références, tout y est, dans le bon ordre, c'est super ! (On peut évidemment rajouter des choses comme Chevaley-Warning, détailler l'utilisation de la loi de réciprocité quadratique etc.)
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Références :
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Fichier :
157 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
151 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
120 : Anneaux Z/nZ. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
On peut rajouter énormément de choses dans les applications (critère de réduction des polynômes, équations diophantiennes, création des corps finis etc.)
Mes métaplans ne sont pas vérifiés par une personne compétente, attention donc à la pertinence de ceux-ci.
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Références :
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Fichier :
159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité. Applications.
105 : Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.
149 : Déterminant. Exemples et applications.
141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.
152 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
144 : Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
104 : Groupes finis. Exemples et applications.
108 : Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.
101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.
Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.
Bon courage pour votre préparation !
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Références :
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Fichier :
103 : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.
Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.
Bon courage pour votre préparation !
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Références :
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Fichier :
104 : Groupes finis. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqué, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.
Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.
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Références :
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105 : Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqué, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.
Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.
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108 : Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.
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Références :
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120 : Anneaux Z/nZ. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.
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121 : Nombres premiers. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.
Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.
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122 : Anneaux principaux. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.
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123 : Corps finis. Applications.
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Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.
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141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.
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Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
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142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
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144 : Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
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Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.
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148 : Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
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150 : Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
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151 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.
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152 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
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Leçon :
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153 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.
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154 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.
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155 : Exponentielle de matrices. Applications.
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Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.
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156 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
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Leçon :
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Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.
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Références :
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Fichier :
158 : Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
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Leçon :
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Remarque :
Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.
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Références :
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162 : Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.
Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.
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Références :
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Fichier :
170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.
Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.
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Fichier :
171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.
Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.
Bon courage pour votre préparation !
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Références :
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Fichier :
101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l'unité. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Finalement, mon DEV 2 n'était pas Wedderburn mais Kronecker pour cette leçon.
Et d'ailleurs dans ce même développement, je rajoute une application pour durer 15 minutes, il s'agit du résultat suivant :
Soit $G$ un sous-groupe fini de $\text{GL}_n(\mathbb{Z})$. L'application qui va de $G$ dans $\text{GL}_n(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$, qui à une matrice associe la même matrice dont les coefficients sont réduits modulo 3 est un morphisme de groupes injectif (voir Carnet de Voyage en Algébrie)
Je trouve que cette leçon n'est pas facile à faire, surtout pour ce qui est de trouver de bonnes références...
Je parle des constructions géométriques à la fin et comme j'ai fait cette leçon en tout début d'année, je n'étais pas encore renseigné sur toutes les références qui existaient donc je précise que, pour cette notion, le Gozard fait tout très bien, pas besoin d'aller chercher le Carréga ou je ne sais quoi... (sauf si vous voulez vraiment être expert et aller très loin)
De même, pour la partie "Rotations vectorielles", le Rombaldi fait très bien l'affaire. Pour les angles orientés, le livre de Michèle Audin suffit.
Bon courage pour faire cette leçon ! Elle est un peu longue à s'approprier et travailler mais je trouve que ça vaut le coup, surtout pour tout ce qui est exponentielle complexe, argument, angles orientés...
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Références :
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Fichier :
101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l'unité. Applications.
103 : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
104 : Groupes finis. Exemples et applications.
105 : Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.
106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
108 : Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.
120 : Anneaux Z/nZ. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Voici un plan possible pour la leçon 120.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)
Attention, mes développements pour cette leçon sont sûrement trop proches et ne parlent que de Z/pZ pour p premier, il faudrait sûrement en changer un des deux.
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Références :
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Fichier :
121 : Nombres premiers. Applications.
122 : Anneaux principaux. Exemples et applications.
123 : Corps finis. Applications.
125 : Extensions de corps. Exemples et applications.
141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.
142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
144 : Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
148 : Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
149 : Déterminant. Exemples et applications.
150 : Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.
151 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
152 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
153 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.
154 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.
155 : Exponentielle de matrices. Applications.
156 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
157 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
158 : Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
162 : Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité. Applications.
190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
191 : Exemples d'utilisation de techniques d'algèbre en géométrie.
104 : Groupes finis. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon est très calquée sur celle d'un ami grand fan de théorie des groupes ! Comme pour beaucoup de choses sur les groupes, tout est dans le Berhuy...
Si j'étais tombé sur celle-là le jour J, j'aurais très probablement enlevé la sous-partie sur les quaternions que je ne maîtrisais pas...
Je pense qu'il faut éviter de faire des rappels trop longs de généralités, d'actions de groupes et vite focus le plan sur les groupes finis (abéliens, non abéliens...)
La théorie de Sylow est hors-programme, mais je trouve que c'est un très bon investissement à faire durant l'année.
Dans le DEV 1, je rajoute 2 lemmes pour que ça tienne en 15 minutes : $\mathfrak{A}_n$ est engendré par les 3-cycles et ceux-ci sont tous conjugués dans $\mathfrak{A}_n$.
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Références :
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Fichier :
105 : Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Il faut penser à parler des classes de conjugaison, avoir une idée de la démonstration, savoir dire si deux permutations sont conjuguées.
Il faut aussi connaître la preuve de l'existence et l'unicité de la décomposition en produit de cycles à supports disjoints (comme précisé dans le rapport du jury 2023) ! Et il faut aussi bien sûr savoir faire en pratique
Dans la partie Applications, j'ai choisi de parler des polynômes symétriques, ça peut être remplacé par la théorie de Sylow mais je trouve que ça se justifierait moins bien...
J'ai oublié d'encadrer le DEV 2 mais il s'agit des points 56,57,58 que vous trouverez un peu éparpillés dans le Gourdon et dans un des Francinou Oraux X-ENS...
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Références :
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Fichier :
106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon n'est pas très facile... J'ai parlé des sous-groupes dérivés et groupes projectifs dans une petite sous-partie sur le conseil d'un prof mais je ne suis pas sûr que j'aurais laissé cette partie si j'étais tombé sur cette leçon le jour J...
C'est important de parler des générateurs, des actions (pivot de Gauss, Gauss-Jordan et éventuellement Frobenius si vous l'avez travaillé pendant l'année, Sylvester)
Je pense qu'il faut parler du groupe orthogonal mais bien rester dans l'aspect GROUPE (structure, générateurs...) et le présenter comme un sous-groupe de GL(E)
Il faut bien prendre la version du Rombaldi où se trouve le chapitre "Actions de groupes sur les espaces de matrices" !
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Références :
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Fichier :
108 : Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Tous les groupes dont on parle dans cette leçon doivent absolument être présentés sous l'angle de leurs générateurs (groupes cycliques, groupe symétrique, groupe diédral, groupe linéaire, groupe orthogonal...)
Les groupes d'isométries du tétraèdre et du cube sont à mon sens un bon investissement à faire pendant l'année.
Comme vous pouvez le constater, j'ai fortement réduit la partie "structure des groupes abéliens (de type) fini" car je n'étais pas du tout à l'aise là-dessus.... Si on en parle, il faut dans tous les cas savoir écrire un produit cartésien de groupes cycliques sous la forme du théorème.
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Références :
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Fichier :
120 : Anneaux Z/nZ. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon étant assez vaste, on pourrait ajouter des choses ou remplacer les nombres de Carmichael par autre chose (par exemple classification des groupes d'ordre $p^2$ et $2p$)
On peut faire les conditions de cyclicité de $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$ en développement.
Dans le DEV 2, je n'ai le temps de faire que le THM 45
Il faut savoir résoudre un système de congruences, trouver l'inverse d'un élément dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ et résoudre des équations du second degré dans cet anneau.
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Références :
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Fichier :
121 : Nombres premiers. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Comme l'indique le rapport du jury 2024, cette leçon est très vaste et il faut faire des choix. C'est l'occasion de vraiment mettre des choses avec lesquelles on est à l'aise.
Il faut aussi se méfier du fait que lorsque cette leçon apparaît dans un tirage, elle est quasi systématiquement choisie par le candidat...
On n'est pas obligé de parler des nombres de Carmichael, mais le DEV se recase très bien dans 120 et 127
Les résultats sur la répartition des nombres premiers peuvent être admis sans problème (certaines des démonstrations étant vraiment atroces) par contre il faut s'attendre à des questions sur des cas particuliers du théorème de la progression arithmétique de Dirichlet.
La théorie de Sylow est hors programme, mais je trouve que c'est un bon investissement à faire durant l'année.
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Références :
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Fichier :
122 : Anneaux principaux. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon a été faite au tout début de l'année, le plan n'est peut-être pas des plus pertinents.
/!\ A la fin de l'année, j'ai remplacé le DEV 1 par les endomorphismes semi-simples ! Mais ça peut être bien d'avoir une idée de la démo de mon ancien DEV 1 sur cette leçon (voir le Francinou exos agreg algèbre 1), ça donne un exemple d'anneau principal plus sophistiqué que les habituels anneaux $\mathbb{Z}, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$...
/!\ J'ai aussi remplacé le DEV 2 par le théorème des deux carrés (voir ma leçon 127). On peut aussi bien sûr faire le théorème chinois + un exemple en DEV, j'ai choisi de ne pas le faire car j'avais un peu peur des calculs en DEV...
Il faut connaître les implications entre les types d'anneaux (euclidien, principal, factoriel) et des contre-exemples pour les implications réciproques.
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Références :
-
Anneaux, corps, résultants, Ulmer, Félix
-
Cours d'algèbre
, Perrin
-
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
-
Algèbre et géométrie
, Combes
-
Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
-
Exercices mathématiques
, Francinou, Gianella
-
Fichier :
127 : Exemples de nombres remarquables. Exemples d'anneaux de nombres remarquables. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
C'est la toute dernière leçon que j'ai faite.
La partie sur les nombres décimaux est assez (peut-être trop ?) longue, mais j'avais travaillé les démonstrations. Je pense que c'est ce qu'il faut faire si on choisit de s'étendre autant sur ce sujet.
Je doute un peu de la pertinence des carrés dans $\mathbb{F}_q$ dans cette leçon... C'était un sujet que je maîtrisais bien donc je le mettais partout où je pouvais le mettre :)
Les constructions géométriques à la règle et au compas me semblent être un bon investissement à faire pendant l'année (au moins pour les leçons 125,127,191)
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Références :
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Fichier :
142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je n'aime vraiment pas cette leçon... Mais il fallait bien la faire car j'avais déjà une impasse sur la 181...
La partie sur les anneaux ressemble beaucoup à la leçon 122, et la leçon en elle-même ne me semble pas trop mal mais la partie II-2) me faisait très peur (il est pourtant fortement recommandé de parler de ça dans le rapport du jury) et surtout mes développements sont vraiment bof bof ...
Bref à consulter avec prudence !
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Références :
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Fichier :
148 : Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon est un vrai plaisir car tout (ou presque) est dans le Grifone !
Elle était dans mon tirage le jour J mais je ne l'ai pas prise, préférant la 125. J'ai en effet eu peur du fait que comme c'est une leçon considérée comme "facile", le jury attende un niveau de fou dessus... Je pense qu'il faut bien connaître les démos (au moins les idées) de la base extraite, de la base incomplète, du fait que toutes les bases ont même cardinal... De même, il faut savoir justifier qu'un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension finie est de dimension finie (c'est facile mais avec le stress le jour J on peut oublier l'argument...)
Concernant les développements, j'ai mis le théorème des extrema liés (+ un lemme d'algèbre linéaire sur la dualité que j'ai oublié d'écrire ici) car cela utilise à de multiples reprises la dimension finie et car c'était un développement que j'avais beaucoup travaillé donc je pouvais le réinvestir le plus possible. Evidemment, on peut trouver des choses plus simples à proposer... Le DEV 2 se justifie par le fait qu'on fait une récurrence sur la dimension. C'est en effet une application très pratique de la dimension finie, on a quelques théorèmes fondamentaux qui se démontrent comme ça (le théorème spectral par exemple...)
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Références :
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Fichier :
150 : Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis resté sur des choses relativement basiques pour cette leçon. Dans la sous-partie "endomorphismes remarquables diagonalisables", on peut ajouter les normaux et les symétriques si on a la place, on peut aussi remplacer les orthogonaux par les symétriques...
J'ai eu tendance à prendre trop de livres pour la réduction, il vaut mieux en choisir un ou deux une bonne fois pour toutes (genre Mansuy et Grifone)
Pour le développement sur la décomposition de Dunford, attention à la version que vous choisissez ! Si c'est l'une des deux qui sont dans le Gourdon, il faut prendre la deuxième (qui est celle qui figure dans cette leçon). En effet, une prof nous avait assuré que le jury n'aimait pas la première version. On peut aussi démontrer le lemme des noyaux pour aller vers les projecteurs spectraux (et recaser ainsi mieux dans PGCD-PPCM)
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Références :
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152 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon est l'une des premières que j'ai faites (la toute première je crois) et je l'ai présentée en classe. Le développement que j'ai fait au tableau était le DEV 1 : réduction des endomorphismes normaux. On m'a ensuite demandé de prouver que si un sev est stable par un endo normal, alors son orthogonal l'est aussi : il faut bien regarder la preuve, elle n'est pas du tout évidente si on ne l'a jamais vue !
Il faut aussi savoir démontrer : Si un endo $u$ est diagonalisable et si $F$ est un sev stable par $u$, $u_F$ est aussi diagonalisable.
Il faut aussi être au point sur la co-diagonalisabilité (d'autant que ça tombe souvent aux écrits !!).
On peut ajouter le critère de diagonalisabilité sur un corps fini (qu'il faut savoir démontrer).
J'ai eu tendance à prendre trop de livres pour la réduction, il vaut mieux en choisir un ou deux une bonne fois pour toutes (genre Mansuy et Grifone)
Pour le développement sur la décomposition de Dunford, attention à la version que vous choisissez ! Si c'est l'une des deux qui sont dans le Gourdon, il faut prendre la deuxième (qui est celle qui figure dans cette leçon). En effet, une prof nous avait assuré que le jury n'aimait pas la première version. On peut aussi démontrer le lemme des noyaux pour aller vers les projecteurs spectraux (et recaser ainsi mieux dans PGCD-PPCM)
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Références :
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Fichier :
151 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis passé en oral blanc sur cette leçon et j'avais fait ce plan qui a été validé. Le prof avait bien dit que c'était important de parler des endomorphismes cycliques, et qu'on pouvait aller jusqu'à Frobenius (à condition d'avoir les idées des démos et de savoir faire en pratique au moyen de l'algorithme de Smith).
J'attire l'attention sur la REM19 : il faut savoir faire en pratique avec une matrice 3x3
Concernant Dunford, le prof m'avait dit que c'était un peu superflu dans cette leçon, même si c'est pas complètement impertinent... On peut choisir d'enlever ces quelques points et d'aller un peu plus loin sur les endo cycliques. Au passage, il est utile de bosser les endomorphismes cycliques car ils tombent souvent aux écrits.
On m'avait demandé en exo la dimension du commutant d'un endomorphisme diagonalisable. Réponse : c'est la somme des carrés des multiplicités des valeurs propres.
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Références :
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Fichier :
153 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je n'aime pas beaucoup cette leçon... Elle paraît facile mais comme il faut éviter de recopier les leçons 150 ou 152 et vraiment axer sur les éléments propres, ça en fait une leçon un peu délicate... Surtout la partie "calcul approché" avec les méthodes numériques du style méthode de la puissance que je ne maîtrisais pas bien...
Je pense que ma leçon tient la route mais évidemment on peut étoffer et ajouter plein de choses, notamment dans les méthodes approchées de calcul d'éléments propres (méthode de Givens-Householder par exemple...)
/!\ A la fin de l'année, j'ai remplacé le DEV1 par le théorème de Burnside sur les sous-groupes finis de GL(E), il s'agit de 3 résultats : le critère de nilpotence par la trace + un autre lemme + le théorème de Burnside (voir Rombaldi)
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Références :
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Fichier :
154 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
J'ai trouvé cette leçon très cool, ça a été l'occasion pour moi de découvrir plein de choses que je ne connaissais pas (qui étaient passées à la trappe dans les enseignements que j'avais reçus jusqu'à la prépa agreg) : décompositions LU, Cholesky, QR, Jordan et Frobenius (que j'avais vus avant mais j'ai pu les approfondir ici), décomposition polaire...
Concernant Jordan et Frobenius, comme j'avais bien bossé les endomorphismes cycliques, je connaissais bien Frobenius et j'en déduisais Jordan. Problème : je connaissais assez peu la méthode par les noyaux itérés et je recommanderais plutôt d'apprendre Jordan en passant par là ; C'est utile pour résoudre certains exos théoriques.
Il est important de noter que si on parle d'une décomposition dans le plan, il faut savoir faire en pratique : certaines démos sont "algorithmiques" et permettent de savoir faire sur une matrice de petite taille.
On peut bien sûr aussi parler du pivot de Gauss dans cette leçon.
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Références :
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Fichier :
155 : Exponentielle de matrices. Applications.