Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Jean Etienne Rombaldi

Utilisée dans les 45 développements suivants :

Décomposition de Dunford (version non algorithmique)
Surjectivité de l'exponentielle matricielle
Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)
Théorème des deux carrés de Fermat (par les entiers de Gauss)
Simplicité du groupe alterné An
Endomorphismes semi-simples
Théorème du point fixe de Kakutani et sous-groupes compacts de GLn(R)
Calcul de exp(Mn(C)) et exp(Mn(R))
Réduction de Jordan (par la dualité)
Réduction des endomorphismes normaux
Polynômes irréductibles sur Fq
Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre
Diagonalisation des endomorphismes autoadjoints
Le dénombrement des polynômes irréductibles unitaires sur un corps fini
Classification des groupes d'ordre p^2
Théorème de Liouville : Fermat pour les polynômes
Décomposition de Dunford (version algorithmique) #effectif #méthodeEuler
Lemme chinois et lemme des noyaux
Générateurs de SL(E) et GL(E)
Dénombrement des matrices diagonalisables de Mn(Fq)
Dunford et l'exponentielle de matrice
Idempotents et fonctions puissances de l'anneau Z/nZ
Cyclicité du groupe multiplicatif d'un corps fini
Théorème de Maschke et lemme de Schur
Dualité et Algèbre des matrices
Diagonalisabilité de l'exponentielle de matrice
Condition nécessaire et suffisante pour que Z/nZ* soit cyclique
Cyclicité du groupe (Z/pZ)^*
Théorème de d'Alembert-Gauss par la compacité
Factorisation de Cholesky et Factorisation QR
Anneau des entiers algébriques et degré d'une représentation irréductible
Racines de l'unité dans Z/nZ
(Z/p^aZ)* est cyclique
Entiers algébriques et caractères irréductibles
Loi d'inertie de Sylvester, classification des formes quadratiques sur R, équivalence
Théorème spectral et ses trois corollaires
Théorème chinois et applications
Isométries du cube
Étude relative à la fonction Zeta
Réduction des formes quadratiques et théorème de Sylvester
Réduction des endomorphismes normaux dans un espace euclidien
Fonction zeta et nombres premiers
Dérangements d'un ensemble fini
Equivalence de diagonalisabilité
Décomposition de Dunford

Utilisée dans les 44 leçons suivantes :

171 (2024) Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
110 (2019) Structure et dualité des groupes abéliens finis. Applications.
202 (2019) Exemples de parties denses et applications.
233 (2021) Analyse numérique matricielle. Résolution approchée de systèmes linéaires, recherche d’éléments propres, exemples.
155 (2024) Exponentielle de matrices. Applications.
106 (2024) Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
103 (2024) Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
121 (2024) Nombres premiers. Applications.
226 (2024) Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d'équations.
221 (2024) Équations différentielles linéaires. Systèmes d'équations différentielles linéaires. Exemples et applications.
220 (2024) Illustrer par des exemples la théorie des équations différentielles ordinaires.
190 (2024) Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
162 (2024) Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
158 (2024) Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
159 (2024) Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
157 (2024) Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
156 (2024) Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
152 (2024) Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
150 (2024) Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.
150 (2022) Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.
144 (2024) Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
142 (2024) PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
126 (2023) Exemples d’équations en arithmétique.
120 (2024) Anneaux Z/nZ. Applications.
108 (2024) Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.
107 (2021) Représentations et caractères d’un groupe fini sur un C-espace vectoriel. Exemples.
105 (2024) Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.
104 (2024) Groupes finis. Exemples et applications.
102 (2024) Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l'unité. Applications.
149 (2024) Déterminant. Exemples et applications.
122 (2024) Anneaux principaux. Exemples et applications.
123 (2024) Corps finis. Applications.
148 (2024) Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
191 (2024) Exemples d'utilisation de techniques d'algèbre en géométrie.
161 (2024) Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.
101 (2024) Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
125 (2024) Extensions de corps. Exemples et applications.
141 (2024) Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.
153 (2024) Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.
151 (2024) Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
170 (2024) Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité. Applications.
154 (2024) Exemples de décompositions de matrices. Applications.
181 (2024) Convexité dans Rn. Applications en algèbre et en géométrie.
208 (2024) Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

Utilisée dans les 90 versions de développements suivants :

  • Développement :
  • Remarque :
    Recasages: 121, 126

    Je sais qu'il est d'usage de présenter ce théorème pour la 122. Selon moi, sans adaptation, c'est hors sujet, dans la mesure où on utilise de manière critique la factorialité des anneaux en jeu, pas leur principalité. Pour rentrer un minimum dans la 122, voici ce que je recommande: le théorème des deux carrés de Fermat ne doit pas être l'aboutissement du développement, mais seulement un outil intermédiaire pour mener l'étude de $\mathbb{Z}[i]$. On montrera donc que ce dernier est euclidien et le cas premier du théorème des deux carrés de Fermat avant de terminer la liste des irréductibles de $\mathbb{Z}[i]$ (ce dernier point se trouve dans le Perrin, à la suite du théorème). Ça reste contestable pour la 122 puisqu'on n'utilise toujours pas de manière critique la principalité d'un anneau, mais c'est déjà mieux.

    Dans les 121 et 126, je recommande très vivement d'écrire l'heuristique de la preuve au tableau comme je le fais dans mon document, puisque dans la suite des 8 équivalences qu'on est amené à écrire, 5 sont évidentes (elles relèvent du cours). Ainsi, prendre 2 minutes à écrire cette heuristique permet d'une part de rendre le procédé transparent, et d'autre part de gagner énormément de temps dans la suite. Il ne faut pas perdre de temps avec $\mathbb{Z}[i]$ car il s'écarte du sujet des 121 et 126: on se contentera d'un dessin et des inversible.

    Perrin p65 (on le trouvera aussi dans Rombaldi p269)

    Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
  • Références :
  • Fichier :

Utilisée dans les 263 versions de leçons suivantes :