Développement : Le dénombrement des polynômes irréductibles unitaires sur un corps fini

Détails/Enoncé :

$\textbf{Théorème.}$ Soit $n$ un entier naturel non nul, on note $N_q(n)$ le nombre de polynômes irréductibles unitaires de degré $n$ sur le corps fini $\mathbb{F}_q$, alors, on a :
$$N_q(n)=\frac{1}{n}\sum_{d\vert n}q^d\mu\left(\frac{n}{d}\right).$$

Recasages pour l'année 2025 :

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    Développement pas trop long, assez compliqué mais très recasable ce qui en fait, pour moi, un incontournable.
    On utilise le théorème fondamental de l'arithmétique, le théorème de Lagrange, la notion de polynome minimal, la notion de corps de rupture et de décomposition et le théorème de la base télescopique.
    NB1 : Il faut se convaincre soi-même de la pertinence d'un recasage et être capable de défendre son choix le jour J devant le jury. Vous pouvez, évidemment, ne pas être d'accord avec moi.
    NB2 : Il peut y avoir des fautes dans ce que j'écris, faites attention.
    NB3 : Attention, il n'est pas évident que : $ [F_{q^n} : F_[q}] = n $. (voir la question 1 qui manque de détails)
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    Recasages: 123, 125, 141, 190

    Page 423

    Pour prouver la formule d'inversion de Moebius, je n'utilise pas (explicitement) la convolution de Dirichlet comme le fait Rombaldi: il suffit d'écrire la somme, utiliser la relation et permuter les deux sommes, il n'y même pas besoin de le retenir tellement ça glisse tout seul !

    Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
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    *Mes développements n’ont pas été pensés pour être partagés au départ, vous excuserez mon écriture et mes notations un peu brouillonnes. Soyez vigilants sur les coquilles/erreurs possibles et critiques sur ce que vous lisez. N’hésitez pas à me contacter pour des clarifications.

    *La plupart de mes dévs contiennent un plan et un rappel des énoncés, pour être au clair sur ce qu’on a à disposition et ce qu’on veut faire.

    *Les recasages inscrits sur le document sont les numéros de 2023/2024.

    Ma version ne parle pas de la fonction de Möbius. Je fais un exemple d'utilisation du résultat.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Corps commutatifs et théorie de Galois , Tauvel (utilisée dans 15 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 493 versions au total)
Analyse fonctionnelle - Théorie et applications, Brezis, Haim (utilisée dans 29 versions au total)
Exercices mathématiques , Francinou, Gianella (utilisée dans 25 versions au total)
Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy (utilisée dans 114 versions au total)