Leçon 125 * : Extensions de corps. Exemples et applications.

(2018) 125

Dernier rapport du Jury :

(2017 : 125 - Extension de corps. Exemples et applications.) Le théorème de la base téléscopique et ses applications à l’irréductibilité de certains polynômes, ainsi que les corps finis, sont incontournables. De même il faut savoir calculer le polynôme minimal d’un élément algébrique dans des cas simples, notamment pour quelques racines de l’unité. La leçon peut être illustrée par des exemples d’extensions quadratiques et leurs applications en arithmétique, ainsi que par des extensions cyclotomiques. S’ils le désirent, les candidats peuvent s’aventurer en théorie de Galois ou expliquer comment l’utilisation du résultant permet de calculer des polynômes annulateurs de sommes et de produits de nombres algébriques.

(2016 : 125 - Extensions de corps. Exemples et applications.) Le théorème de la base télescopique et ses applications à l’irréductibilité de certains polynômes, ainsi que les corps finis sont incontournables. De même il faut savoir calculer le polynôme minimal d'un élément algébrique dans des cas simples, notamment pour quelques racines de l’unité. La leçon peut être illustrée par des exemples d’extensions quadratiques et leurs applications en arithmétique, ainsi que par des extensions cyclotomiques. S’ils le désirent, les candidats peuvent s’aventurer en théorie de Galois.
(2015 : 125 - Extensions de corps. Exemples et applications.) Très peu de candidats ont choisi cette leçon. On doit y voir le théorème de la base téléscopique et ses applications à l'irréductibilité de certains polynômes, ainsi que les corps finis. Une version dégradée de la théorie de Galois (qui n'est pas au programme) est très naturelle dans cette leçon.
(2014 : 125 - Extensions de corps. Exemples et applications.) Très peu de candidats ont choisi cette leçon. On doit y voir le théorème de la base téléscopique et ses applications à l'irréductibilité de certains polynômes, ainsi que les corps finis. Une version dégradée de la théorie de Galois (qui n'est pas au programme) est très naturelle dans cette leçon.

Plans/remarques :

2018 : Leçon 125 - Extensions de corps. Exemples et applications.


2017 : Leçon 125 - Extension de corps. Exemples et applications.


2016 : Leçon 125 - Extensions de corps. Exemples et applications.


2015 : Leçon 125 - Extensions de corps. Exemples et applications.


Retours d'oraux :

2018 : Leçon 125 - Extensions de corps. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    183 : Utilisation des groupes en géométrie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Gauss (polygones constructibles)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Suite au développement sur Gauss, que je pensais bien maîtriser, il y a eu deux questions :

    -A un moment du développement, vous dites que pour k dans (Z/pZ)*, g_k qui à (somme de 1 à p-1 des x_i w^i) associe (somme de 1 à p-1 des x_i w^(ik) ) est un morphisme de corps, vous pourriez le montrer ?
    (Pour ceux qui sont hors contexte : on se place sur l'espace vectoriel Q(w), de base {w, ... w^(p-1)} )

    "Oui alors on va commencer par montrer que c'est un morphisme de groupe (là on me dit que c'est pas la peine), puis pour le côté morphisme de corps on va calculer g_k( x * y) et g_k(x) * g_k(y) séparément et constater qu'ils sont égaux."
    J'avais déjà réfléchi vaguement à cette question donc je pensais que ça allait être facile, je développe et je dis "bon voilà c'est égal", sauf que le jury me fait remarquer que j'ai "mal" développé ma somme double ou du moins affirmé quelque chose d'a priori faux.
    A partir de là ils ont passé pas mal de temps à m'aider à essayer de montrer que c'était bien un morphisme, mais je n'y suis pas parvenu...je ne sais pas si c'est vraiment dur à montrer ou si c'est juste la panique au tableau qui m'a fait louper cette question qui n'avait pas l'air si méchante...

    -A un autre moment du développement, vous dites que l'espace vectoriel associé à la valeur propre -1, s'il n'est pas égal à {0}, est de dimension 1 sur K_i, vous pourriez expliquer ?

    Donc là je réexplique ce que j'ai dit pendant mon développement, en stressant un peu car si on me demande de réexpliquer, je m'attends à avoir encore fait une erreur de raisonnement. Mais non, cette fois-ci c'est bon, mon explication est correcte. J'avais du expliquer un peu trop rapidement la première fois. "On prend deux éléments x et y associés à la vp -1, alors g(x/y)=-x/-y=x/y donc x/y est dans K_i et donc x=ly où l € K_i donc E-1 est bien de dimension 1 sur K_i. "

    Ensuite fin des questions sur le développement, et premier exercice :
    -Soit K une extension de degré 2 de Q, montrez que K = Q(racine(d)) avec d un entier relatif.
    Aucune idée de comment faire, mais bon je dis que je vais prendre un élément x de K\Q, considérer son polynome minimal, et puisque c'est un polynome de degré 2, exprimer x en fonction des coefficients. Je commence à dire "peut-être qu'on pourrait montrer K=Q(racine(delta))" mais on me fait remarquer que delta n'est pas un entier. Donc je fais la réflexion qu'on pourrait multiplier les coefficients par les ppcm de leur dénominateurs pour se ramener au cas entier. On me dit que c'est pas une mauvaise idée, et avant ça on me fait remarquer que delta ne peut pas être le carré d'un rationnel.
    L'exercice s'est arrêté plus ou moins à ce moment là, car je bloquais et qu'on avait passé pas mal de temps dessus (car j'avais déjà du réfléchir pas mal + être aidé avant d'en arriver à ce stade...)

    -Vous dites que la somme et le produit d'algébriques est algébrique, montrez-le.
    Question de cours, donc. Bon ça j'ai su faire, l'idée est de se servir de la formule des degrés :
    si a et b sont algébriques sur K, alors on va mq K(a,b) est de degré fini sur K, ça permettra de conclure car il contient a+b et ab
    Or K(a,b)=K(a)(b) donc [K(a,b) : K]=[K(a)(b) : K(a)] [K(a) : K]. a est algébrique sur K donc le crochet de droite est fini
    b est algébrique sur K et donc sur K(a) aussi (puisque K(a) contient K), donc le crochet de gauche est fini.
    Donc on a bien l'extension K(a,b) qui est finie, donc algébrique.

    L'oral s'est terminé là dessus.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Sur les 3 membres, l'un n'a pas dit grand chose, un autre s'est comporté normalement disons, et le dernier je l'ai trouvé assez sec.
    Ils aidaient un peu lorsque je bloquais à une question, mais pouvaient aussi me laisser patauger plusieurs minutes par moments.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    L'oral s'est mal passé, mais dans la mesure où je suis tombé sur deux leçons que je n'appréciais pas du tout, ça ne m'a pas tant surpris que ça...
    La surprise s'est faite sur les questions du jury, j'espérais avoir majoritairement des leçons de cours et en fait pas vraiment...

    Dommage, j'avais profité de la préparation pour lire à peu près toutes les démonstrations des théorèmes de mon plan + celles de thm cités dans le rapport du jury (genre "montrer que la cloture algébrique de Q est algébriquement close" dans je ne sais plus quel rapport de leçon.)
    Ben du coup je n'ai eu qu'une question de ce type là, sûrement car j'ai galéré beaucoup trop longtemps sur les autres...

  • Note obtenue :

    7.25


2016 : Leçon 125 - Extensions de corps. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Loi de réciprocité quadratique (par le résultant)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Des questions sur le développement : préciser pourquoi vous prenait un corps de rupture de $Y^2-xY+1$ (pour ceux qui connaissent le développement), c'était juste pour vérifier si j’avais compris ce que je faisais. Pourquoi Res(P ,Q) mod p = Res (P mod p, Q mod p), j’ai dit que c’était parce que je résultant passait aux morphismes mais pourquoi je ne savais pas exactement.
    Le boss me dit : - C’est quoi un résultant ?
    - Un déterminant, et le déterminant mod p c’est le déterminant des coeff mod p.
    Le boss : ok ça me va (même si l’autre juré souhaitait un peu plus de détails je crois)

    Questions sur le plan :
    - Pourquoi $X^3+X+1$ est irréductible sur Q(i) ?
    - Le polynôme est irréductible sur Q car pas de racine (s’il a une racine, on vérifie les hypothèse de divisibilité comme d’hab), puis on dessine la tour d’extension et comme P est de degré 3 et Q(i)/Q de degré 2 c’est bon (en détaillant un peu plus).

    - Connaissez-vous un générateur de Q($\sqrt 2, \sqrt 3$) ?
    - Oui $\sqrt 2 + \sqrt 3$ et je dois donner la preuve.

    - Pouvez-vous montrer qu’il existe un polynôme irréductible de tout degré dans Fq ?
    - Elément primitif car Fq* est cyclique puis le polynôme minimal d’un générateur convient.

    - Montrer que $X^4+1$ est réductible sur tout Fp
    Ça je m’en souvenais plus alors que c’était écrit dans le Perrin, que j’avais utilisé pour quasiment tout le plan, je m’en suis voulu. J’ai un peu galéré, j’ai essayé pour p=2, c’est Frobenius, puis pour p>2 il fallait juste trouver un racine dans Fp² donc un élément d’ordre 8 dans Fp²* qui existe car c’est un groupe cyclique d’ordre (p+1)(p-1), qui est divisible par 8.
    - Et comme $X^4+1=(X^2+1)-2X^2$ ça vous dit quoi au niveau de la réciprocité quadratique ?
    - 2 est un carré (je l’avais relu le matin quand j’avais revu mon développement)

    Le boss reprend la main et ne la relâche plus :
    - On revient à Q($\sqrt 2, \sqrt 3$)/Q, pouvez-vous me donner tous les générateurs ?
    - Euh… j’ai écrit un élément $a+b \sqrt 2 + c \sqrt 3 + d \sqrt 6$. Bon $a$ n’engendre pas grand-chose et on ne peut pas avoir deux des coefficients parmi $b,c,d$ qui sont nuls.
    Le boss : oui donc par exemple $b \sqrt 2 + c \sqrt 3$
    J’ai dessiné la tour d’extensions, dit qu’il faudrait montrer que son polynôme minimal est de degré 4.
    Le boss me parle de groupe de Galois, je baragaouine quelques trucs que je savais dessus et ça lui convient.

    Le boss demande si ses collègues ont d’autres questions.
    Un juré : Une dernière question, comment vous montrer que 1/x est constructible, si x l’est ?
    - Alors c’est le théorème de Thalès, je fais un dessin, mais pas le bon (j’ai dessiné le droite reliant 1 à 1 et x à x ce qui n’est pas top…). Je leur dit que ça ne va pas trop ça. Les types sourient, le boss fait une petite blague (« oui ça c’est juste une règle de 3 »). Ils me disent que c’était pas la bonne droite à considérer. Ah oui il faut juste relier 1 à x, et voilà.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    3 types, un boss et deux autres. Le boss menait la plupart du temps la discussion mais les autres étaient aussi actifs (contrairement aux autres oraux). Jury dynamique et sympa (l’oral s’est bien déroulé, ça doit aider).

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Je pensais qu'on me titillerait plus sur la réciprocité quadratique et le résultant mais en fait non (tant mieux).
    En fait on a presque plus parlé de polynômes irréductibles que d'extensions de corps (bon ok c'est très lié). A part la dernière question, rien sur les nombres constructibles.

    C'était mon dernier oral et j'avais été juste niveau temps lors du premier, donc là j'ai essayé d'être efficace pendant la préparation pour pouvoir relire mes développements.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.


2015 : Leçon 125 - Extensions de corps. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    105 : Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Galois inverse

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Question assez faciles. Le jury était assez sympathique (Il y avait Caldero dedans).

    Prouver qu'un extension finie de Q ne contient qu' un nombre fini de racines de l'unité

    Prouver X^2 +X +1 est irréductible dans F_2, puis F_32

    Irréductibilité des poly cyclotomiques sur F_p

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Pas de réponse fournie.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Relativement bien, même si je me suis un peu embrouillé sur le ien entre irréductibilité dans Q[X] et dans Z[X].

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.