Développement : Les idéaux premiers de K[X,Y]

Détails/Enoncé :

Soit $K$ un corps quelconque. Les idéaux premiers de $K[X,Y]$ sont exactement les idéaux de la forme

=> $(0)$
=> $(P)$ où $P$ est un polynôme irréductible de $K[X,Y]$
=> $(P(X),R(X,Y))$ où $P\in K[X]$ est irréductible, et la classe de $R(X,Y)$ dans l'anneau de polynômes $\left(^{K[X]}/_{(P)}\right)[Y]$ est irréductible

Ces derniers idéaux comportant deux générateurs sont en fait maximaux, et leurs corps résiduels sont des extensions finies de $K$. On peut en fait montrer qu'un idéal maximal de $K[X,Y]$ n'est jamais principal. On applique cette description aux cas $K$ algébriquement clos et $K=\mathbb R$.

Versions :