Développement : Les idéaux premiers de K[X,Y]

Détails/Enoncé :

Soit $K$ un corps quelconque. Les idéaux premiers de $K[X,Y]$ sont exactement les idéaux de la forme

=> $(0)$
=> $(P)$ où $P$ est un polynôme irréductible de $K[X,Y]$
=> $(P(X),R(X,Y))$ où $P\in K[X]$ est irréductible, et la classe de $R(X,Y)$ dans l'anneau de polynômes $\left(^{K[X]}/_{(P)}\right)[Y]$ est irréductible

Ces derniers idéaux comportant deux générateurs sont en fait maximaux, et leurs corps résiduels sont des extensions finies de $K$. On peut en fait montrer qu'un idéal maximal de $K[X,Y]$ n'est jamais principal. On applique cette description aux cas $K$ algébriquement clos et $K=\mathbb R$.

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    Fait dans le Francinou Gianella bleu, mais c'est fait très vite. J'ai essayé de rajouter ici les détails manquants. Une fois que tout est bien compris, le Francinou Gianella suffira le jour J pour s'en sortir! N'hésitez pas à me prévenir si il y a des coquilles.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Exercices mathématiques , Francinou, Gianella (utilisée dans 19 versions au total)