Développement : Les idéaux premiers de K[X,Y]

Détails/Enoncé :

Soit $K$ un corps quelconque. Les idéaux premiers de $K[X,Y]$ sont exactement les idéaux de la forme

=> $(0)$
=> $(P)$ où $P$ est un polynôme irréductible de $K[X,Y]$
=> $(P(X),R(X,Y))$ où $P\in K[X]$ est irréductible, et la classe de $R(X,Y)$ dans l'anneau de polynômes $\left(^{K[X]}/_{(P)}\right)[Y]$ est irréductible

Ces derniers idéaux comportant deux générateurs sont en fait maximaux, et leurs corps résiduels sont des extensions finies de $K$. On peut en fait montrer qu'un idéal maximal de $K[X,Y]$ n'est jamais principal. On applique cette description aux cas $K$ algébriquement clos et $K=\mathbb R$.

Recasages pour l'année 2026 :

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    Fait dans le Francinou Gianella bleu, mais c'est fait très vite. J'ai essayé de rajouter ici les détails manquants. Une fois que tout est bien compris, le Francinou Gianella suffira le jour J pour s'en sortir! N'hésitez pas à me prévenir si il y a des coquilles.
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    Dév plutôt costaud.

    Il est sûrement trop long, on peut enlever le premier point.
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    Géomètres-algébristes, on détermine aujourd'hui le spectre premier de K[X, Y]. Développement qui marche très bien dans les leçons d'anneaux, y compris Anneaux principaux sans aucun problème (lisez la preuve, les gars). En combinant avec un résultat d'arithmétique on peut ainsi proposer un couplage « théorie des nombres ou algèbre commutative » au jury qui ne peut que faire bonne impression !
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Exercices mathématiques , Francinou, Gianella (utilisée dans 26 versions au total)
Exercices de mathématiques pour l'agrégation, algèbre 1, Serge Francinou (utilisée dans 7 versions au total)