(2023 : 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.)
Les généralités sur les algèbres de polynômes à une variable sont supposées connues. Le bagage théorique permettant de définir corps de rupture et corps de décomposition doit être présenté. Ces notions doivent être illustrées dans différents types de corps (réel, rationnel, corps finis) ; les corps finis peuvent être illustrés par des exemples de polynômes irréductibles de degré 2, 3, 4 sur $\mathbb{F}_2$ ou $\mathbb{F}_3$. Il est nécessaire de présenter des critères d'irréductibilité de polynômes et des polynômes minimaux de quelques nombres algébriques, par exemple les polynômes cyclotomiques. Le théorème de la base téléscopique, ainsi que les utilisations arithmétiques (utilisation de la divisibilité) que l'on peut en faire dans l'étude de l'irréductibilité des polynômes sont incontournables. Des applications du corps de décomposition doivent être mentionnées, par exemple en algèbre linéaire.
Pour aller plus loin, on peut montrer que l'ensemble des nombres algébriques sur le corps $\mathbb{Q}$ des rationnels est un corps algébriquement clos, s'intéresser aux nombres constructibles à la règle et au compas, et éventuellement s'aventurer en théorie de Galois.
(2022 : 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications. )
La présentation du bagage théorique permettant de définir corps de rupture, corps de décomposition,
ainsi que des illustrations dans différents types de corps (réel, rationnel, corps finis) sont inévitables.
Les corps finis peuvent être illustrés par des exemples de polynômes irréductibles de degré 2, 3, 4
sur F2 ou F3. Il est nécessaire de présenter des critères d'irréductibilité de polynômes et des polynômes
minimaux de quelques nombres algébriques.
Il est bon de savoir montrer que l'ensemble des nombres algébriques sur le corps Q des rationnels est un
corps algébriquement clos. Le théorème de la base téléscopique, ainsi que les utilisations arithmétiques
(utilisation de la divisibilité) que l'on peut en faire dans l'étude de l'irréductibilité des polynômes, est
incontournable.
Des applications du corps de décomposition doivent être mentionnées, par exemple en algèbre linéaire.
(2020 : 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.)
La présentation du bagage théorique permettant de définir corps de rupture, corps de décomposition, ainsi que des illustrations dans différents corps (réel, rationnel, corps finis) sont inévitables. Les corps
finis peuvent être illustrés par des exemples de polynômes irréductibles de degré 2, 3, 4 sur $F_2$ ou $F_3$ . Il est nécessaire de présenter des critères d’irréductibilité de polynômes et des polynômes minimaux de
quelques nombres algébriques.
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Il est bon de savoir montrer que l’ensemble des nombres algébriques sur le corps Q des rationnels est un corps algébriquement clos. Le théorème de la base téléscopique, ainsi que les utilisations arithmétiques (utilisation de la divisibilité) que l’on peut en faire dans l’étude de l’irréductibilité des polynômes, est incontournable.
(2019 : 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.)
La présentation du bagage théorique permettant de définir corps de rupture, corps de décomposition, ainsi que des illustrations dans différents types de corps (réel, rationnel, corps finis) sont inévitables. Les corps finis peuvent être illustrés par des exemples de polynômes irréductibles de degré 2, 3, 4 sur $\textbf{F}_2$ ou $\textbf{F}_3$. Il est nécessaire de présenter des critères d’irréductibilité de polynômes et des polynômes minimaux de quelques nombres algébriques.
Il est bon de savoir montrer que l’ensemble des nombres algébriques sur le corps $\textbf{Q}$ des rationnels est un corps algébriquement clos. Le théorème de la base téléscopique, ainsi que les utilisations arithmétiques (utilisation de la divisibilité) que l’on peut en faire dans l’étude de l’irréductibilité des polynômes, est incontournable.
(2017 : 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.)
La présentation du bagage théorique permettant de définir corps de rupture, corps de décomposition, ainsi que des illustrations dans différents types de corps (réel, rationnel, corps finis) sont inévitables. Les corps finis peuvent être illustrés par des exemples de polynômes irréductibles de degré 2, 3, 4 sur $F_2$ ou $F_3$. Il est nécessaire de présenter des critères d’irréductibilité de polynômes et des polynômes minimaux de quelques nombres algébriques.
Il faut savoir qu’il existe des corps algébriquement clos de caractéristique nulle autres que C; il est bon de savoir montrer que l’ensemble des nombres algébriques sur le corps Q des rationnels est un corps algébriquement clos. Le théorème de la base téléscopique, ainsi que les utilisations arithmétiques (utilisation de la divisibilité) que l’on peut en faire dans l’étude de l’irréductibilité des polynômes, est incontournable.
(2016 : 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.)
La présentation du bagage théorique permettant de définir corps de rupture, corps de décomposition, ainsi que des illustrations dans différents types de corps (réel, rationnel, corps finis) sont inévitables. Les corps finis peuvent être illustrés par des exemples de polynômes irréductibles de degré 2, 3, 4 sur $F_2$ ou $F_3$ . Il est nécessaire de présenter des critères d’irréductibilité de polynômes et des polynômes minimaux de quelques nombres algébriques.
Il faut savoir qu’il existe des corps algébriquement clos de caractéristique nulle autres que $C$ ; il est bon de savoir montrer que l’ensemble des nombres algébriques sur le corps $Q$ des rationnels est un corps algébriquement clos. Le théorème de la base télescopique, ainsi que les utilisations arithmétiques (utilisation de la divisibilité) que l’on peut en faire dans l’étude de l’irréductibilité des polynômes, est incontournable.
(2015 : 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.)
Le jury attend dans cette leçon un bagage théorique permettant de définir corps de rupture, corps de décomposition (la preuve de l'unicité de ce dernier n'est pas exigée), ainsi que des illustrations dans différents types de corps (réel, rationnel, corps finis).
Attention à ne pas croire qu'un polynôme réductible admet forcément des racines (même en dehors du cadre de cette leçon !).
sBien entendu, les corps finis ont une place de choix et il sera instructif de chercher des polynômes irréductibles de degré $2,3,4$ sur $\mathbb{F}_2$, ou $\mathbb{F}_3$.
Il faut savoir qu'il existe des corps algébriquement clos de caractéristique nulle autres que $\mathbb{C}$ se savoir montrer que l'ensemble des nombres algébriques sur le corps $\mathbb{Q}$ des rationnels est un corps algébriquement clos.
Il faut connaître le théorème de la base téléscopique ainsi que les utilisations artithmétiques (utilisation de la divisibilité) que l'on peut en faire dans l'étude de l'irréductibilité des polynômes.
(2014 : 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.)
Les applications ne concernent pas que les corps finis. Il existe des corps algébriquement clos de caractéristique nulle autre que $C$. Un polynôme réductible n'admet pas forcément de racines. Il est instructif de chercher des polynômes irréductibles de degré 2, 3, 4 sur $F_2$ . Il faut connaître le théorème de la base téléscopique ainsi que les utilisations artithmétiques (utilisation de la divisibilité) que l'on peut en faire dans l'étude de l'irréductibilité des polynômes.
