Leçon 141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

(2023) 141
(2025) 141

Dernier rapport du Jury :

(2024 : 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.) Les généralités sur les algèbres de polynômes à une variable sont supposées connues. Le bagage théorique permettant de définir corps de rupture et corps de décomposition doit être présenté. Ces notions doivent être illustrées dans différents types de corps (réels, rationnels, corps finis) ; les corps finis peuvent être illustrés par des exemples de polynômes irréductibles de degré 2, 3, 4 sur F2 ou F3. Il est nécessaire de présenter des critères d'irréductibilité de polynômes et les polynômes minimaux de quelques nombres algébriques, par exemple les polynômes cyclotomiques. Le théorème de la base téléscopique, ainsi que les utilisations arithmétiques (utilisation de la divisibilité) que l'on peut en faire dans l'étude de l'irréductibilité des polynômes sont incontournables. Des applications du corps de décomposition doivent être mentionnées, par exemple en algèbre linéaire. Pour aller plus loin, on peut montrer que l'ensemble des nombres algébriques sur le corps Q des rationnels est un corps algébriquement clos, s'intéresser aux nombres constructibles à la règle et au compas, et éventuellement s'aventurer en théorie de Galois.

(2023 : 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.) Les généralités sur les algèbres de polynômes à une variable sont supposées connues. Le bagage théorique permettant de définir corps de rupture et corps de décomposition doit être présenté. Ces notions doivent être illustrées dans différents types de corps (réel, rationnel, corps finis) ; les corps finis peuvent être illustrés par des exemples de polynômes irréductibles de degré 2, 3, 4 sur $\mathbb{F}_2$ ou $\mathbb{F}_3$. Il est nécessaire de présenter des critères d'irréductibilité de polynômes et des polynômes minimaux de quelques nombres algébriques, par exemple les polynômes cyclotomiques. Le théorème de la base téléscopique, ainsi que les utilisations arithmétiques (utilisation de la divisibilité) que l'on peut en faire dans l'étude de l'irréductibilité des polynômes sont incontournables. Des applications du corps de décomposition doivent être mentionnées, par exemple en algèbre linéaire. Pour aller plus loin, on peut montrer que l'ensemble des nombres algébriques sur le corps $\mathbb{Q}$ des rationnels est un corps algébriquement clos, s'intéresser aux nombres constructibles à la règle et au compas, et éventuellement s'aventurer en théorie de Galois.
(2022 : 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications. ) La présentation du bagage théorique permettant de définir corps de rupture, corps de décomposition, ainsi que des illustrations dans différents types de corps (réel, rationnel, corps finis) sont inévitables. Les corps finis peuvent être illustrés par des exemples de polynômes irréductibles de degré 2, 3, 4 sur F2 ou F3. Il est nécessaire de présenter des critères d'irréductibilité de polynômes et des polynômes minimaux de quelques nombres algébriques. Il est bon de savoir montrer que l'ensemble des nombres algébriques sur le corps Q des rationnels est un corps algébriquement clos. Le théorème de la base téléscopique, ainsi que les utilisations arithmétiques (utilisation de la divisibilité) que l'on peut en faire dans l'étude de l'irréductibilité des polynômes, est incontournable. Des applications du corps de décomposition doivent être mentionnées, par exemple en algèbre linéaire.
(2020 : 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.) La présentation du bagage théorique permettant de définir corps de rupture, corps de décomposition, ainsi que des illustrations dans différents corps (réel, rationnel, corps finis) sont inévitables. Les corps finis peuvent être illustrés par des exemples de polynômes irréductibles de degré 2, 3, 4 sur $F_2$ ou $F_3$ . Il est nécessaire de présenter des critères d’irréductibilité de polynômes et des polynômes minimaux de quelques nombres algébriques. $$$$ Il est bon de savoir montrer que l’ensemble des nombres algébriques sur le corps Q des rationnels est un corps algébriquement clos. Le théorème de la base téléscopique, ainsi que les utilisations arithmétiques (utilisation de la divisibilité) que l’on peut en faire dans l’étude de l’irréductibilité des polynômes, est incontournable.
(2019 : 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.) La présentation du bagage théorique permettant de définir corps de rupture, corps de décomposition, ainsi que des illustrations dans différents types de corps (réel, rationnel, corps finis) sont inévitables. Les corps finis peuvent être illustrés par des exemples de polynômes irréductibles de degré 2, 3, 4 sur $\textbf{F}_2$ ou $\textbf{F}_3$. Il est nécessaire de présenter des critères d’irréductibilité de polynômes et des polynômes minimaux de quelques nombres algébriques. Il est bon de savoir montrer que l’ensemble des nombres algébriques sur le corps $\textbf{Q}$ des rationnels est un corps algébriquement clos. Le théorème de la base téléscopique, ainsi que les utilisations arithmétiques (utilisation de la divisibilité) que l’on peut en faire dans l’étude de l’irréductibilité des polynômes, est incontournable.
(2017 : 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.) La présentation du bagage théorique permettant de définir corps de rupture, corps de décomposition, ainsi que des illustrations dans différents types de corps (réel, rationnel, corps finis) sont inévitables. Les corps finis peuvent être illustrés par des exemples de polynômes irréductibles de degré 2, 3, 4 sur $F_2$ ou $F_3$. Il est nécessaire de présenter des critères d’irréductibilité de polynômes et des polynômes minimaux de quelques nombres algébriques. Il faut savoir qu’il existe des corps algébriquement clos de caractéristique nulle autres que C; il est bon de savoir montrer que l’ensemble des nombres algébriques sur le corps Q des rationnels est un corps algébriquement clos. Le théorème de la base téléscopique, ainsi que les utilisations arithmétiques (utilisation de la divisibilité) que l’on peut en faire dans l’étude de l’irréductibilité des polynômes, est incontournable.
(2016 : 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.) La présentation du bagage théorique permettant de définir corps de rupture, corps de décomposition, ainsi que des illustrations dans différents types de corps (réel, rationnel, corps finis) sont inévitables. Les corps finis peuvent être illustrés par des exemples de polynômes irréductibles de degré 2, 3, 4 sur $F_2$ ou $F_3$ . Il est nécessaire de présenter des critères d’irréductibilité de polynômes et des polynômes minimaux de quelques nombres algébriques. Il faut savoir qu’il existe des corps algébriquement clos de caractéristique nulle autres que $C$ ; il est bon de savoir montrer que l’ensemble des nombres algébriques sur le corps $Q$ des rationnels est un corps algébriquement clos. Le théorème de la base télescopique, ainsi que les utilisations arithmétiques (utilisation de la divisibilité) que l’on peut en faire dans l’étude de l’irréductibilité des polynômes, est incontournable.
(2015 : 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.) Le jury attend dans cette leçon un bagage théorique permettant de définir corps de rupture, corps de décomposition (la preuve de l'unicité de ce dernier n'est pas exigée), ainsi que des illustrations dans différents types de corps (réel, rationnel, corps finis). Attention à ne pas croire qu'un polynôme réductible admet forcément des racines (même en dehors du cadre de cette leçon !). sBien entendu, les corps finis ont une place de choix et il sera instructif de chercher des polynômes irréductibles de degré $2,3,4$ sur $\mathbb{F}_2$, ou $\mathbb{F}_3$. Il faut savoir qu'il existe des corps algébriquement clos de caractéristique nulle autres que $\mathbb{C}$ se savoir montrer que l'ensemble des nombres algébriques sur le corps $\mathbb{Q}$ des rationnels est un corps algébriquement clos. Il faut connaître le théorème de la base téléscopique ainsi que les utilisations artithmétiques (utilisation de la divisibilité) que l'on peut en faire dans l'étude de l'irréductibilité des polynômes.
(2014 : 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.) Les applications ne concernent pas que les corps finis. Il existe des corps algébriquement clos de caractéristique nulle autre que $C$. Un polynôme réductible n'admet pas forcément de racines. Il est instructif de chercher des polynômes irréductibles de degré 2, 3, 4 sur $F_2$ . Il faut connaître le théorème de la base téléscopique ainsi que les utilisations artithmétiques (utilisation de la divisibilité) que l'on peut en faire dans l'étude de l'irréductibilité des polynômes.

Développements :

Plans/remarques :

2024 : Leçon 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Beaucoup de parties de cette leçon se recasent dans d'autres, donc elle est pas super compliquée à préparer.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Pour cette leçon, tout est dans le Perrin et le Gozard ! Le plan a été approuvé par une excellente prof.
    Il faut essayer de bien mixer les polynômes irréductibles et la théorie des corps.
    C'est bien de penser à parler d'un peu d'algèbre linéaire.
    Il faut savoir évidemment montrer qu'un polynôme est irréductible (ou au moins proposer des critères), mais aussi construire des corps finis comme $\mathbb{F}_4$, $\mathbb{F}_9$ avec un polynôme irréductible, puis faire des calculs dans le corps fini ainsi construit (produits, inverses)
  • Références :
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Retrouvez tous nos plans de leçons ainsi que les fichiers latex associés à nos leçons sur notre site : https://sites.google.com/view/tribalchiefandwiseman/home?authuser=0
    Bonne preparation à vous !
  • Auteur :
  • Remarque :
    Retrouvez tous nos plans de leçons ainsi que les fichiers latex associés à nos leçons sur notre site : https://sites.google.com/view/tribalchiefandwiseman/home?authuser=0
    Bonne preparation à vous !
  • Auteur :
  • Remarque :
    La plupart des mes plans sont inspirés de Ewna, Agentb0, Jouaucon, Abarrier et Marvin. Merci à eux. Attention aux coquilles ! Mes plans sont, en général, scannés juste après que j'ai finis de rédiger, bien sur quand je les ai relu j'ai trouvé des erreurs. Les références sont à la fin des plans.
  • Fichier :

2023 : Leçon 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Leçon présentée en binôme pendant l'année
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.
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2022 : Leçon 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.


2020 : Leçon 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Toutes les références sont à la fin du plan.

    Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...
  • Fichier :

2019 : Leçon 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.


2018 : Leçon 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.


2017 : Leçon 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.


2016 : Leçon 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.


2015 : Leçon 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.


Retours d'oraux :

2023 : Leçon 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.


2019 : Leçon 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    161 : Distances et isométries d'un espace affine euclidien.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Critère d'Eisenstein

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Un échange (très) détaillé est disponible sur mon site internet : www.coquillagesetpoincare.fr

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury pas trop agréable, avec des visages très fermés même si j’ai réussi à décrocher un sourire à un des trois sur l’histoire d’un Fp-espace-vectoriel de dimension fini. Pas beaucoup d’aide pour répondre, j’ai du tout chercher tout seul. Des fois, ça allait vite, des fois un peu moins.Sur le coup, ça ne m’a pas marqué, mais avec le recul, je me suis rendu compte que je n’ai pas eu beaucoupde questions sur les polynômes irréductibles, mais surtout sur de la factorialité, le pgcd, les éléments/idéaux irréductibles et premiers, corps finis, etc

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Oui

  • Note obtenue :

    14


2017 : Leçon 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.


Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Cours d'algèbre , Perrin (utilisée dans 433 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 493 versions au total)
Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy (utilisée dans 114 versions au total)
Algèbre , Gourdon (utilisée dans 334 versions au total)
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 292 versions au total)
Théorie de Galois : Niveau L3-M1, Ivan Gozard (utilisée dans 10 versions au total)
Exercices mathématiques , Francinou, Gianella (utilisée dans 25 versions au total)
Théorie de Galois, Gozard (utilisée dans 35 versions au total)
Cours d'algèbre , Demazure (utilisée dans 16 versions au total)
Tout-en-un MP/MP*, Claude Deschamps (utilisée dans 40 versions au total)
Algèbre et probabilités, Gourdon (utilisée dans 77 versions au total)
Exercices de mathématiques pour l'agrégation, algèbre 1, Serge Francinou (utilisée dans 5 versions au total)
Algèbre L3 , Szpirglas (utilisée dans 45 versions au total)
Théorie de Galois , Gozart (utilisée dans 7 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 144 versions au total)
Cours de Mathématiques - 1 Algèbre, Arnaudiès - Fraysse (utilisée dans 15 versions au total)
Algèbre , Tauvel (utilisée dans 9 versions au total)
Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 142 versions au total)
Extension de Corps - Théorie de Galois, Josette Calais (utilisée dans 6 versions au total)
Corps Finis, Dany-Jack Mercier (utilisée dans 3 versions au total)