Développement : Irréductibilité des polynômes cyclotomiques sur Q[X]

Tintin

Il faut bien défendre le développement pour la leçon 125 en insistant sur le corollaire. De plus, si le développement est un peu court on peut redémontrer le lien entre les éléments irréductibles de A[X] et ceux de Frac(A)[X] ou bien redémontrer que les polynômes cyclotomiques sont bien dans Z[X].

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Mathis Lemay

Je démontre le lemme de Gauss d'abord (dans le Perrin), puis le lemme sur les polynômes ensuite (Gozard) et enfin le théorème (Gozard). A force de m'entraîner, j'arrivais à faire les 3 en 15 minutes mais il faut être rapide et ne pas hésiter. On peut ne pas faire le lemme de Gauss, je le faisais seulement pour que ça rentre dans la 142...
Comme le dit Tintin, pour mettre ça dans la 125, il faut remplacer le lemme de Gauss par un dernier lemme qu'on démontre après donnant le fait que toute racine primitive de l'unité est algébrique et donnant le degré de l'extension.
Il faut comprendre pourquoi démontrer que si $u$ est racine de $f$ alors pour tout $p$ premier ne divisant pas $n$, $u^p$ est aussi racine de $f$ implique que toutes les racines primitives de l'unité sont racines de $f$. J'avais mis le détail en haut de la 2e page mais ce n'est pas passé au scan...
Désolé, la 2e page est un peu coupée, mais tout est dans les références.

Jeanclaudedu77

Assez élégant.

Mr_Syndrome

Pour les leçons : 102, 120(on utilise grandement la réduction modulo p), 123(on se place dans Z/pZ et on utilise le morphisme de Frobenius), 125, 127, 141, 144,
Attention, ce développement est assez difficile, il faut donc être bien sûr de soi si on le présente et faire attention à tous les petits détails de la preuve. Par exemple, dans la démonstration du Perrin, il y a beaucoup d'arguments qui sont passés sous silence, et sur lesquels le jury vous interrogera obligatoirement !
Je mets aussi un PDF général sur les polynômes cyclotomiques, qui contient également le développement (mieux rédigé que mon développement original car relu par un prof).

Marmiton

J’adore ce développement, clairement mon préféré ! Le Gozard contourne magnifiquement la division euclidienne dans Z[X] qui peut exister sous certaines conditions, c’est parfait pour ceux qui ne sont pas à l’aise sur ce sujet !

Recasages : 102 - 122 - 141 - (125)

Pour la 125, je peux comprendre le recasage, surtout qu’on peut parler d’extensions Cyclotomiques juste après mais bon… il y a la réduction des Cyclotomiques dans Fp qui me semble bien plus pertinente. Idem pour les leçons 120, 121 et 144 : oui il y a un lien, mais l’étude des polynômes Cyclotomiques dans Fp semble bien plus approprié (le carnet de voyage en Algebrie propose ce développement d’ailleurs).

Dylan D

C'est un développement de bon niveau démontrant l'irréductibilité des polynômes cyclotomiques sur $\mathbb{Q}$.
Une jolie application est la démonstration du théorème de Dirichlet faible, vous le découvrirez dans le pdf.

Sauf exception, on démontre le lemme de Gauss, le lemme puis le théorème dans cet ordre.

L'exception est la leçon 125 "Extensions de corps. Exemples et applications." où l'on ne démontre pas le lemme de Gauss. On démontre alors le lemme, le théorème puis le corollaire. (Même si ce recasage me semble dangereux).

Côtés recasages à mon avis :

- 102 "Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l'unité. Applications" puisque selon moi l'étude des polynômes cyclotomiques a sa place dans cette leçon.

- 125 " Extensions de corps. Exemples et applications." C'est un recasage dangereux. D'une part puisque seul le corollaire justifie ce recasage et que c'est une maigre partie du développement mais aussi parce que cela pourrait partir sur la question de l'irréductibilité du nième polynôme cyclotomique dans d'autres corps...

- 141 "Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications." Pas besoin de justifier ;)

- 142 "PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications." Les deux lemmes justifient complètement le recasage.

- 144 "Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications." On utilise quelques de notions de cette leçon dans ce développement (racines multiples et polynôme dérivé, polynôme minimal, nombre maximal de racines etc) mais je trouve ce recasage un peu limite. A vous de le justifier :)


Les remarques en gris sont des choses à ne pas forcément écrire lors du développement et aident simplement à la compréhension du dev.