Développement :
Irréductibilité des polynômes cyclotomiques sur Q[X]
Détails/Enoncé :
Le but de ce développement est de montrer que les polynômes cyclotomiques sont irréductibles sur Q[X] dans le but d’obtenir le degré d’une extension particulière.
Il faut bien défendre le développement pour la leçon 125 en insistant sur le corollaire. De plus, si le développement est un peu court on peut redémontrer le lien entre les éléments irréductibles de A[X] et ceux de Frac(A)[X] ou bien redémontrer que les polynômes cyclotomiques sont bien dans Z[X].
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
Je démontre le lemme de Gauss d'abord (dans le Perrin), puis le lemme sur les polynômes ensuite (Gozard) et enfin le théorème (Gozard). A force de m'entraîner, j'arrivais à faire les 3 en 15 minutes mais il faut être rapide et ne pas hésiter. On peut ne pas faire le lemme de Gauss, je le faisais seulement pour que ça rentre dans la 142...
Comme le dit Tintin, pour mettre ça dans la 125, il faut remplacer le lemme de Gauss par un dernier lemme qu'on démontre après donnant le fait que toute racine primitive de l'unité est algébrique et donnant le degré de l'extension.
Il faut comprendre pourquoi démontrer que si $u$ est racine de $f$ alors pour tout $p$ premier ne divisant pas $n$, $u^p$ est aussi racine de $f$ implique que toutes les racines primitives de l'unité sont racines de $f$. J'avais mis le détail en haut de la 2e page mais ce n'est pas passé au scan...
Désolé, la 2e page est un peu coupée, mais tout est dans les références.
Attention, ce développement est utilisé dans des leçons de votre couplage. Voulez-vous quand même le supprimer de votre couplage ?
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