Développement asymptotique de la série harmonique

Pour les leçons : 223, 224, 230

Nombres de Bell

Pour les leçons : 190, 241, 243

Formule de Stirling (par les intégrales de Wallis)

Pour les leçons : 223, 224, 236

Critère d'Eisenstein

Pour les leçons : 121, 122, 141, 142.

Classification des groupes d'ordre p^2

Pour les leçons : 101, 103, 104, (121)

Théorème de Cauchy + Condition suffisante pour qu’un sous groupe soit distingué

Pour les leçons : 101, 104, 105

Théorème de Weierstrass (par les probabilités)

Pour les leçons : 201, 209, 264, 266

Equivalence des normes en dimension finie et théorème de Riesz

Pour les leçons : 203, 206, 208
J'ai aussi utilisé comme livre : Agrégation interne : analyse, résumés de cours et exercices, de Skandalis, édition 2024

Dunford et l'exponentielle de matrice

Pour les leçons : 150, 151, 152, 155, 156.

GLn(C) est dense, ouvert et connexe

Pour les leçons : 106, 149, 204.

Formule de Stirling (par le théorème central limite)

Pour les leçons : 223, 224, 261, 262, 266.
Attention, il y a une subtilité pour la domination dans le TCD : on peut faire cette domination car x appartient à [0;1] (c'est ici que ça sert) et donc x ne peut pas exploser quand n tend vers + infini.

Étude de la loi Gamma

Pour les leçons : 235, 236, 239, 245, 261.

Projection sur un convexe fermé

Pour les leçons : 205, 208, 213, 219, 253.

Théorème chinois et applications

Pour les leçons : 120, 122, 142.
Pour la leçon 120, il faut adapter la démonstration dans Z.

Intégrale de Dirichlet

Je fais 3 démonstrations de la valeur de cette intégrale (Fubini, analyse complexe, transformée de Laplace), à choisir en fonction de la leçon présentée.
Pour les leçons : 235, 236, 239.

Irréductibilité des polynômes cyclotomiques sur Q[X]

Pour les leçons : 102, 125, 127, 141, 144.
Attention, ce développement est assez difficile, il faut donc être bien sûr de soi si on le présente et faire attention à tous les petits détails de la preuve. Par exemple, dans la démonstration du Perrin, il y a beaucoup d'arguments qui sont passés sous silence, et sur lesquels le jury vous interrogera obligatoirement !
Je mets aussi un PDF général sur les polynômes cyclotomiques, qui contient également le développement (mieux rédigé que mon développement original car relu par un prof).

Trigonalisation simultanée

Je fais aussi la co-diagonalisation, à voir en fonction du temps et de la leçon présentée. On peut aussi rajouter une application si besoin.
Je fais les deux démonstrations dans le cas d'une famille quelconque d'endomorphismes.
Pour la co-trigonalisation, je ne le fais pas avec les formes linéaires.
Pour les leçons : 148, 151, 156.

Décomposition polaire

Tout ce que j'ai écrit ne rentre pas en 15 minutes, à choisir en fonction de ses goûts.
Pour les leçons : 106, 152, 157, 158.

Simplicité de A_n pour n = 3 et n ≥ 5

Pour les leçons : 103, 104, 105, 108.
En fonction du temps, on peut ou non démontrer les lemmes (mais dans tous les cas il faut savoir les démontrer).

Théorème du point fixe de Picard

Pour les leçons : 205 et 226.
Ce développement ne se recase pas très bien, mais il a le mérite d'être simple et est crucial par exemple pour démontrer le théorème de Cauchy Lipschitz linéaire.

Théorème de Dirichlet faible

Pour les leçons : 102, 120, 121.
Je ne pense pas que l'on puisse proposer ce développement en même temps que celui sur les polynômes cyclotomiques.

Équation de Sylvester : AX + BX = C

Pour les leçons : 155, 156, 221.

Théorème spectral

Pour les leçons : 148, 150, 152, 157, 158.

Théorème de Kronecker

Pour les leçons : 102, 144.
Je n'utilise pas le théorème de décomposition des polynômes symétriques (car je veux éviter les questions dessus), seulement les relations coefficients-racines. A la place j'utilise les matrices compagnon.

Théorème de Heine + Application

Pour les leçons : 203 et 228.
On démontre d'abord le théorème de Heine en raisonnant par l'absurde, puis on prouve deux applications (en fonction du temps restant).
Je n'ai trouvé dans aucun livre de preuve pour l'application sur les fonctions périodiques, donc c'est une démonstration personnelle.

Connexité valeurs d'adhérence suite dans un compact

Pour les leçons : 204, 223, (226).

Caractérisation des matrices nilpotentes par la trace

Pour les leçons : 149, 153, 156, 162.
A adapter selon les leçons : par exemple pour la 149, je redémontre l'expression du déterminant de Vandermonde.

Convergence de lois binomiales vers une loi de Poisson

Pour les leçons : 261, 262, 264.
Je prouve d'abord le lemme de Scheffé, puis on l'applique pour des variables à densité (densité par rapport à la mesure de Lebesgue) et discrètes (densité par rapport à la mesure de comptage).
Pour la leçon sur les variables discrètes, je pense qu'il faut faire le sens réciproque.
Il faut aussi savoir que la convergence d'une binomiale vers une poisson est en fait un cas particulier de la loi des événements rares.

Equation de Bessel

Pour les leçons : 220, 221, 243.

Principe du prolongement analytique, théorème des zéros isolés et applications

Pour les leçons 204 et 245.
Pour la leçon sur la connexité, on peut redémontrer la propriété de connexité qui nous intéresse afin de bien appuyer sur cette notion, quitte à ne pas faire d'applications.
Pour la leçon sur les fonctions holomorphes, ce développement est même proposé par le rapport du jury donc il ne faut pas hésiter à le prendre.

[LES] Variables complexes, Lesfari

Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire

Pour les leçons : 205, 206, 221.
Il faut connaitre les applications de ce théorème (par exemple la structure de l'ensemble des solutions où la dimension finie intervient) et aussi savoir quelles sont les hypothèses dans le cas non linéaire et pourquoi le cas linéaire est un cas particulier de Cauchy-Lipschitz dans le cas globalement lipschitzien.

Exemple de la trace

Pour les leçons : 170, 171.
ATENTION : il y a une erreur dans le Rombaldi, lorsque l'on montre que

Formule de Burnside

Pour les leçons : 101, 104, 105, 190.
Je démontre la formule des classes, la formule de Burnside et je fais une application probabiliste.

Règle de Raabe-Duhamel, exemples

Pour la leçon 230.
Développement assez simple, mais qui ne convient que pour cette leçon.
Pour l'application je l'ai prise dans le Madère mais je suis sûr qu'on peut en trouver dans des livres plus "classiques".

Une base de L2(0, 1) : les polynômes trigonométriques

Pour les leçons : 201, 209, 213, 246.
Je n'aime pas du tout ce développement mais il rentrait dans des leçons où il me manquait des développements. Peut-être qu'il existe un livre où la démonstration est plus "intuitive".

Séries de nombres réels et complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.

Une leçon assez classique, qui se fait bien.
Le développement sur les nombres de Bell n'est peut être pas le plus adapté à cette leçon (voir hors sujet) car ce n'est pas à proprement parler une série numérique. Il faut le remplacer, par exemple par la règle de Raabe-Duhamel et quelques applications.

Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

J'ai choisi de ne pas aller explorer des domaines trop compliqués (sauf la réduction de Jordan pour les endomorphismes nilpotents car cela justifiait bien pourquoi j'avais choisi de parler de ces endomorphismes).
La motivation de cette leçon est assez agréable, car tout s'enchaine bien. Pour justifier la partie sur les endomorphismes remarquables, il faut mettre en évidence les propriétés de ces endomorphismes qui concernent les SEV stables.
Je conseille de faire les exercices du Mansuy, surtout ceux concernant la co-diagonalisabilité et la co-trigonalisabilité, car il y a des chances que le jury vous en pose un (c'est ce qu'il s'est passé durant un oral blanc).

Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

Leçon faite à l'oral devant un professeur, le plan a bien été validé. On peux parler de transformée de Fourier (Plancherel et formule d'inversion) si on le souhaite mais ce n'était pas mon cas.
Les gros théorèmes prennent beaucoup de place, une suggestion était de ne pas les écrire pour pouvoir mettre plus d'exemples (mais alors il faut être capable de donner l'énoncé parfaitement).
C'est une des leçons où j'utilise le plus de références, mais je n'ai pas trouvé de livre qui me convienne et qui traite une partie entière de la leçon.

Pour la partie sur l'analyse complexe, il faut mieux se placer sur un ouvert convexe plutôt qu'un ouvert simplement connexe (cela permet d'éviter les questions sur l'homotopie).

TL1 = Tout-en-un pour la licence 1
LES = Variables complexes, Lesfari

Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l’unité. Applications.

Plan validé par une professeure et sur lequel je suis passé à l'oral. Il aurait peut-être fallu rajouter une partie sur la notion d'angle orienté/non orienté entre deux vecteurs.
Le fait de mettre une partie sur les endomorphismes unitaires se justifie pour deux raisons : les valeurs propres sont de module 1, et le terme "décomposition polaire" est exactement l'écriture exponentielle lorsque n=1.
Dans les questions qui m'ont été posées, on m'a demandé de justifier l'existence de pi (c'est en lien avec les sous-groupes de (R,+)), et il y en avait pas mal sur les propriétés des groupes de racines de l'unité (intersection, union, sous-groupe engendré).

Convergences d’une suite de variables aléatoires. Théorèmes limite. Exemples et applications.

Leçon sur laquelle je suis passé à l'oral dans ma prépa agreg, le plan a été validé par un professeur. La partie sur l'uniforme intégrabilité a été rajoutée suite à une discussion avec mon professeur, je ne pense pas qu'elle soit nécessaire.
Il faut bien avoir en tête tous les contre-exemples sur les implications de convergence, et les réciproques partielles.
Lors de la défense du plan, la meilleure chose est de faire le dessin donné en annexe en le remplissant au fur et à mesure (le jury aime bien que l'on utilise le tableau pendant la présentation). On m'a aussi conseillé d'écrire clairement au tableau mes deux développements.