Développement asymptotique de la série harmonique

Pour les leçons : 223, 224, 230

Nombres de Bell

Pour les leçons : 190, 241, 243

Formule de Stirling (par les intégrales de Wallis)

Pour les leçons : 223, 224, 236

Critère d'Eisenstein

Pour les leçons : (120),121, 122, 141, 142.

Classification des groupes d'ordre p^2

Pour les leçons : 101, 103, 104, (121 mais je pense qu'on peut trouver mieux).

Théorème de Cauchy + Condition suffisante pour qu’un sous groupe soit distingué

Pour les leçons : 101, 104, 105.
J'aimais bien ce développement mais une professeure m'a déconseillé de le faire car les deux résultats n'ont pas grand chose à voir, donc ça sent le recasage.

Théorème de Weierstrass (par les probabilités)

Pour les leçons : 201, 209, 241, 264.

Equivalence des normes en dimension finie et théorème de Riesz

Pour les leçons : 203, 206, 208.
Il faut bien faire attention à ce que l'on admet pour faire la preuve, à savoir que les compacts de R pour la norme uniforme sont les fermés-bornés.
Pour l'équivalence des normes, j'ai pris la démonstration du Gourdon mais en réalité je suis la progression du Isenmann-Pecatte. C'est juste que dans le IP, l'isomorphisme d'espaces vectoriels normés me posait problème, j'avais l'impression que ce n'était pas avec la bonne norme à l'arrivée (après j'ai sûrement loupé un argument).
J'ai aussi utilisé comme livre : Agrégation interne : analyse, résumés de cours et exercices, de Skandalis, édition 2024

Dunford et l'exponentielle de matrice

Pour les leçons : 150, 151, 152, 155, 156.

GLn(C) est dense, ouvert et connexe

Pour les leçons : 106, 149, 204.

Formule de Stirling (par le théorème central limite)

Pour les leçons : 223, 224, 261, 262, 266.
Attention, il y a une subtilité pour la domination dans le TCD : on peut faire cette domination car x appartient à [0;1] (c'est ici que ça sert) et donc x ne peut pas exploser quand n tend vers + infini.

Étude de la loi Gamma

Pour les leçons : 235, 236, 239, 245, 261.

Projection sur un convexe fermé

Pour les leçons : 205, 208, 213, 219, 253.

Théorème chinois et applications

Pour les leçons : 120, 122, 142.
Pour la leçon 120, il faut adapter la démonstration dans Z.

Intégrale de Dirichlet

Je fais 3 démonstrations de la valeur de cette intégrale (Fubini, analyse complexe, transformée de Laplace), à choisir en fonction de la leçon présentée.
Pour les leçons : 228, 235, 236, 239.

Irréductibilité des polynômes cyclotomiques sur Q[X]

Pour les leçons : 102, 120(on utilise grandement la réduction modulo p), 123(on se place dans Z/pZ et on utilise le morphisme de Frobenius), 125, 127, 141, 144,
Attention, ce développement est assez difficile, il faut donc être bien sûr de soi si on le présente et faire attention à tous les petits détails de la preuve. Par exemple, dans la démonstration du Perrin, il y a beaucoup d'arguments qui sont passés sous silence, et sur lesquels le jury vous interrogera obligatoirement !
Je mets aussi un PDF général sur les polynômes cyclotomiques, qui contient également le développement (mieux rédigé que mon développement original car relu par un prof).

Trigonalisation simultanée

Je fais aussi la co-diagonalisation, à voir en fonction du temps et de la leçon présentée. On peut aussi rajouter une application si besoin.
Je fais les deux démonstrations dans le cas d'une famille quelconque d'endomorphismes.
Pour la co-trigonalisation, je ne le fais pas avec les formes linéaires.
Pour les leçons : 148, 151, 156.

Décomposition polaire

Tout ce que j'ai écrit ne rentre pas en 15 minutes, à choisir en fonction de ses goûts.
Pour les leçons : 106, 152, 157, 158.

Simplicité de A_n pour n = 3 et n ≥ 5

Pour les leçons : 103, 104, 105, 108.
En fonction du temps, on peut ou non démontrer les lemmes (mais dans tous les cas il faut savoir les démontrer).
Au final je ne faisais pas ce développement car je le trouvais trop compliqué à mémoriser. Je faisais les sous-groupes distingués de $S_{n}$ à la place.

Théorème du point fixe de Picard

Pour les leçons : 205, 223, 226.
Ce développement ne se recase pas très bien, mais il a le mérite d'être simple et est crucial par exemple pour démontrer le théorème de Cauchy Lipschitz linéaire.

Théorème de Dirichlet faible

Pour les leçons : 102, 120, 121.
Je n'ai pas choisi ce développement finalement, donc attention il y a peut être des fautes.

Équation de Sylvester : AX + BX = C

Pour les leçons : 155, 156, 221.
Je ne l'ai finalement pas choisi, donc il se peut qu'il y ait des erreurs.

Théorème spectral

Pour les leçons : 148, 150, 152, 153, 157, 158.

Théorème de Kronecker

Pour les leçons : 102, 144.
Je n'utilise pas le théorème de décomposition des polynômes symétriques (car je veux éviter les questions dessus), seulement les relations coefficients-racines. A la place j'utilise les matrices compagnon.

Théorème de Heine + Application

Pour les leçons : 203 et 228.
On démontre d'abord le théorème de Heine en raisonnant par l'absurde, puis on prouve deux applications (en fonction du temps restant).
Je n'ai trouvé dans aucun livre de preuve pour l'application sur les fonctions périodiques, donc c'est une démonstration personnelle.

Connexité valeurs d'adhérence suite dans un compact

Pour les leçons : 204, 223, (226).
Je l'avais pris pour la leçon sur la connexité mais je l'ai très vite abandonné car je le trouvais trop compliqué à apprendre.

Caractérisation des matrices nilpotentes par la trace

Pour les leçons : 149, 153, 156, 162.
A adapter selon les leçons : par exemple pour la 149, je redémontre l'expression du déterminant de Vandermonde.

Convergence de lois binomiales vers une loi de Poisson

Pour les leçons : 261, 262, 264.
Je prouve d'abord le lemme de Scheffé, puis on l'applique pour des variables à densité (densité par rapport à la mesure de Lebesgue) et discrètes (densité par rapport à la mesure de comptage).
Pour la leçon sur les variables discrètes, je pense qu'il faut faire le sens réciproque.
Il faut aussi savoir que la convergence d'une binomiale vers une poisson est en fait un cas particulier de la loi des événements rares.

Equation de Bessel

Pour les leçons : 220, 221, 243.

Principe du prolongement analytique, théorème des zéros isolés et applications

Pour les leçons 204 et 245.
Pour la leçon sur la connexité, on peut redémontrer la propriété de connexité qui nous intéresse afin de bien appuyer sur cette notion, quitte à ne pas faire d'applications.
Pour la leçon sur les fonctions holomorphes, ce développement est même proposé par le rapport du jury donc il ne faut pas hésiter à le prendre.

[LES] Variables complexes, Lesfari

Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire

Pour les leçons : 205, 206, 221.
Il faut connaitre les applications de ce théorème (par exemple la structure de l'ensemble des solutions où la dimension finie intervient) et aussi savoir quelles sont les hypothèses dans le cas non linéaire et pourquoi le cas linéaire est un cas particulier de Cauchy-Lipschitz dans le cas globalement lipschitzien.

Exemple de la trace

Pour les leçons : 170, 171.
ATENTION : il y a une erreur dans le Rombaldi, lorsque l'on montre que l'orthogonal de $S_n(\mathbb{R})$ est $A_n(\mathbb{R})$, on veut montrer que $C(M,N)=0$. Le livre conclut directement en disant que $MN$ appartient à $A_n(\mathbb{R})$,, ce qui n'est pas le cas !! On peut quand même s'en sortir en passant par la transposée.

Formule de Burnside

Pour les leçons : 101, 104, 105, 190.
Je démontre la formule des classes, la formule de Burnside et je fais une application probabiliste.

Règle de Raabe-Duhamel, exemples

Pour la leçon 230.
Développement assez simple, mais qui ne convient que pour cette leçon.
Pour l'application je l'ai prise dans le Madère mais je suis sûr qu'on peut en trouver dans des livres plus "classiques".

Une base de L2(0, 1) : les polynômes trigonométriques

Pour les leçons : 201, 209, 213, 246.
Je n'aime pas du tout ce développement mais il rentrait dans des leçons où il me manquait des développements. Peut-être qu'il existe un livre où la démonstration est plus "intuitive".
Finalement je ne le prenais pas donc attention j'ai peut être fait des erreurs.

Existence et unicité d'un corps à q éléments

Pour les leçons : (120),121, 123, 125, 141.
Je montre d'abord l'existence et l'unicité avec les corps de décomposition, puis l'autre construction avec le corps de rupture d'un polynôme irréductible. Avant la deuxième construction il faut avoir mis dans le plan que F_q^* est cyclique.
Ce développement est pour moi un bon investissement car le rapport du jury stipule que la construction des corps finis doit être connue.
J'ai aussi utlisé comme livre : Algèbre Tome 4, Szpirglas

Loi d’inertie de Sylvester et classification des formes quadratiques sur R

Pour les leçons : 148, 159, 170, 171.
Je ne fais pas comme dans le Rombaldi : je montre qu'il existe toujours une base q-orthogonale, puis je démontre le théorème de Sylvester.

Transformée de Fourier d'une gaussienne

Pour les leçons : 236, 239, 245, 250.
Je fais la démonstration avec un contour rectangulaire et le théorème de Cauchy.
Je rajoute le calcul de l'intégrale de Gauss, pour que le développement ne soit pas trop court.

Sous-groupes distingués de Sn

Pour les leçons : 103, 104, 105, 108.
Développement que je trouve beaucoup plus simple que le classique "$\mathcal{A}_n$ est simple" et qui se recase dans les mêmes leçons.
Attention à l'ordre dans le plan, car par exemple le Berhuy utilise la simplicité de $\mathcal{A}_n$ pour en déduire les sous-groupes distingués de $\mathcal{S}_n$.

Critères de convexité d'une fonction différentiable, application à la recherche d'extremums

Pour les leçons : 215, 218, 219, 229, 253.
Voir en fonction du temps si l'on peut tout faire (peut-être pas l'application 3).

Surjectivité de l’exponentielle matricielle

Pour les leçons : 150, 152, 155.
Je ne faisais ce développement que pour la leçon sur l'exponentielle de matrice (pour les autres il y a de meilleurs devs je pense). La preuve que j'ai pris est dans le Mansuy et est vraiment différente des autres que j'ai trouvé sur agreg-maths, c'est pour cette raison que je la poste. Je la trouve beaucoup plus simple (après c'est vraiment subjectif).
Si on présente la leçon sur l'exponentielle de matrice, il faut de toute façon connaitre ce résultat et ses corollaires.

Théorème central limite

Pour les leçons : 218, 250, 261, 262, 266.

Différentielle du déterminant

Pour les leçons : 149 et 215.

Expression des zeta(2k)

Pour les leçons : 230 et 246.
Je trouvais la démonstration du Oraux X-ENS trop calculatoire, donc j'ai préféré prendre la version du Carnet de voyage en Analystan. Attention, il y a de nombreuses erreurs (notamment un horrible "continue sur Z").

Inégalités de Young, Holder, Minkowsky et calcul de norme de l'injection de L1 dans Lp

Pour les leçons : 201, (229), 234.
Je fais l'inégalité de Young, Hölder et Minkowski. En fonction du temps restant, on peut parler du fait que cela permet d'avoir une norme sur L^p, ou alors prouver l'injection de ces espaces quand on a une mesure finie.

Corps des nombres algébriques

Pour les leçons : 125, 127, 144, 148.
Je démontrais les équivalences pour être un nombre algébrique, et le fait que l'ensemble des éléments algébriques est un corps.
Ce développement peut paraitre élémentaire, mais je pense qu'il faut de toute façon le maitriser car ce sont des questions qui peuvent tomber à l'écrit comme à l'oral.

[SZP] Algèbre Tome 4, Szpirglas

Dual de M_n(K)

Pour la leçon 159.
Je l'ai vraiment fait en vitesse à la fin de l'année pour boucher un trou, il y a sûrement des erreurs.

Séries de nombres réels et complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.

C'était mon premier plan de leçon de l'année, donc il y a sûrement des choses à revoir. C'est en tout cas une leçon assez classique, qui se fait bien.
Le développement sur les nombres de Bell n'est peut être pas le plus adapté à cette leçon (voir hors sujet) car ce n'est pas à proprement parler une série numérique. Il faut le remplacer, par exemple par la règle de Raabe-Duhamel et une application.
Si j'étais tombé dessus le jour J, j'aurais enlevé la partie sur les séries de Fourier (pas assez à l'aise dessus), que l'on peut remplacer par une partie sur l'espérance de variables aléatoires discrètes par exemple.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

Je suis passé sur cette leçon pendant l'année, elle a été validée par un professeur.
J'ai choisi de ne pas aller explorer des domaines trop compliqués (sauf la réduction de Jordan pour les endomorphismes nilpotents car cela justifiait bien pourquoi j'avais choisi de parler de ces endomorphismes). Avec du recul, je n'aurais pas parlé des endomorphismes nilpotents : la leçon était trop longue et je voulais éviter les questions sur la réduction de Jordan qui est hors programme.
Je suis très content de l'ordre de mes parties. La présentation de 6 minutes de cette leçon est assez agréable, car tout s'enchaine bien. Pour justifier la partie sur les endomorphismes remarquables, il faut mettre en évidence les propriétés de ces endomorphismes qui concernent les SEV stables. Je pense d'ailleurs que certaines propriétés de mon plan peuvent être enlevées car ne concernent pas les sous-espaces stables.
Je conseille de faire les exercices du Mansuy, surtout ceux concernant la co-diagonalisabilité et la co-trigonalisabilité, car il y a des chances que le jury vous en pose un (c'est ce qu'il s'est passé durant un oral blanc).

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

Leçon faite à l'oral devant un professeur, le plan a bien été validé. On peux parler de transformée de Fourier (Plancherel et formule d'inversion) si on le souhaite mais ce n'était pas mon cas.
Les gros théorèmes prennent beaucoup de place, une suggestion était de ne pas les écrire pour pouvoir mettre plus d'exemples (mais alors il faut être capable de donner l'énoncé parfaitement).
C'est une des leçons où j'utilise le plus de références, mais je n'ai pas trouvé de livre qui me convienne et qui traite une partie entière de la leçon.

Pour la partie sur l'analyse complexe, il faut mieux se placer sur un ouvert convexe plutôt qu'un ouvert simplement connexe (cela permet d'éviter les questions sur l'homotopie).

TL1 = Tout-en-un pour la licence 1
LES = Variables complexes, Lesfari

Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l’unité. Applications.

Plan validé par une professeure et sur lequel je suis passé à l'oral pendant l'année. Il aurait peut-être fallu rajouter une partie sur la notion d'angle orienté/non orienté entre deux vecteurs, mais je ne voulais pas m'aventurer dans la géométrie.
Dans mon développement sur le théorème de Kronecker, il y a un corollaire qui utilise l'irréductibilité des polynômes cyclotomiques, qui est un résultat qui arrive bien plus tard dans le plan. Ma professeure m'a conseillé de le mentionner pendant les 6 minutes de présentation.
Le fait de mettre une partie sur les endomorphismes unitaires se justifie pour deux raisons : les valeurs propres sont de module 1, et le terme "décomposition polaire" est exactement l'écriture exponentielle lorsque $n=1$.
Dans les questions qui m'ont été posées, on m'a demandé de justifier l'existence de $\pi$ (c'est en lien avec les sous-groupes de $(\mathbb{R},+)$), et il y en avait pas mal sur les propriétés des groupes de racines de l'unité (intersection, union, sous-groupe engendré).

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Convergences d’une suite de variables aléatoires. Théorèmes limite. Exemples et applications.

Leçon sur laquelle je suis passé à l'oral dans ma prépa agreg, le plan a été validé par un professeur. La partie sur l'uniforme intégrabilité a été rajoutée suite à une discussion avec mon professeur, je ne pense pas qu'elle soit indispensable.
Il faut bien avoir en tête tous les contre-exemples sur les implications de convergence, et les réciproques partielles. Pour la phase de questions, il faut avoir les bons réflexes pour montrer les différents types de convergence : inégalité de Markov et de Bienaymé-Tchebichev pour la convergence en probabilité, lemme de Borel-Cantelli pour la convergence p.s, lemme de Slutsky pour la convergence en loi...
Lors de la défense du plan, la meilleure chose est de faire le dessin donné en annexe en le remplissant au fur et à mesure (le jury aime bien que l'on utilise le tableau pendant la présentation). On m'a aussi conseillé d'écrire clairement au tableau mes deux développements.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Nombres premiers. Applications.

Plan réalisé en conditions réelles durant un oral blanc. Ma professeure l'a validé, et a dit que son point fort était que des domaines variés étaient abordés donc que cela incitait le jury à poser des questions sur un peu tout le plan.
Dans cette leçon il y a énormément de choix possibles, donc il faut mettre ce sur quoi on est le plus à l'aise. En revanche la première grande partie me semble incontournable, même si je ne pense pas que les questions du jury porteront beaucoup dessus.
Durant la défense du plan, il faut bien insister sur la pertinence des objets étudiés (par exemple justifier la place des polynômes cyclotomiques dans cette leçon).

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin et Ewna. Merci à elles/eux !
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

Plan réalisé en conditions réelles durant un oral blanc. Mon professeur n'a pas fait de remarque particulière sur le plan.
En licence je n'étais pas très à l'aise avec les équa diffs, pour moi c'était un truc de physicien. Mais en les bossant pour les écrits, je suis évidemment tombé sur le Berthelin qui m'a tout clarifié. Pour cette leçon, ce livre suffit, la progression est logique et il y a beaucoup d'exemples. De plus il y a de nombreuses remarques qui permettent de bien comprendre ce que l'on fait.
Au départ dans ma partie II) j'avais mis une sous-partie sur les équa diff linéaires d'ordre $n$ scalaires à coefficients constants, mais finalement je trouvais que cela faisait une leçon trop longue et que les notations étaient trop lourdes, à vous de voir ce qui vous plaît.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Espaces de fonctions. Exemples et applications.

Pas très fan de cette leçon, je ne suis pas sûr que mes parties sur la convolution et la transformée de Fourier soient pertinentes (j'avais l'impression que l'esprit de la leçon était de se concentrer sur les espaces de fonctions et pas les fonctions elles-même).
Le développement sur Young-Holder-Minkowski est justifié car il permet de munir ${L}^{p}$ d'une norme et donc d'en faire un espace vectoriel normé.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Utilisation de la notion de compacité.

Le rapport du jury indique qu'il ne faut pas s'attarder trop longtemps sur les définitions et propriétés de la compacité, mais plus sur ses applications.
Je ne suis pas allé très loin dans les notions abordées, mais je pense que cela suffit pour obtenir une bonne note si l'on maitrise bien les bases.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Connexité. Exemples d’applications.

Leçon que j'aimais bien, le plan est assez basique.
Dans mon développement sur le principe du prolongement analytique, je démontrais aussi la propriété de connexité qui est utilisée, pour bien qu'il rentre dans la leçon.

[LES] Variables complexes, Lesfari

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Espaces complets. Exemples et applications.

Dans la présentation de 6 minutes, je pense qu'il faut bien insister sur l'utilité des suites de Cauchy dans les espaces complets (elles permettent de montrer qu'une suite converge sans connaître la limite).
Si j'étais tombé sur cette leçon le jour J, je ne sais pas si j'aurais parlé de prolongement d'applications car je n'étais pas assez à l'aise dessus.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse.

Leçon pas si facile que ça à préparer, je pense qu'il vaut mieux la faire en fin d'année afin d'avoir assez de recul et de savoir sur quelles notions on est à l'aise (étant donné qu'il y a plein de domaines possibles à mettre dans cette leçon).
Au départ j'avais mis comme deuxième développement le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire car dans le rapport du jury de la leçon 221 sur les équa diffs linéaires il est mentionné que sa preuve est un exemple fondamental d'intervention de la dimension finie en analyse. Cependant dans la preuve on n'utilise pas la dimension finie, même mes professeurs ne comprenaient pas ce que voulait dire le rapport. C'est en revanche un corollaire de ce théorème qui utilise la dimension finie, et qui permet de décrire l'espace des solutions. Si j'étais tombé sur cette leçon le jour J, je pense donc que faute de mieux, j'aurais fait comme développement la preuve de ce corollaire et d'une proposition sur les matrices fondamentales (avec pourquoi pas un exemple concret).

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

Ce plan faisait partie de mes premiers, il contient donc le strict minimum. Je ne sais pas s'il fallait autant mettre l'accent sur la complétude, mais je ne voyais pas d'autres notions de mon niveau à mettre.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples d’applications.

Je n'aimais pas du tout cette leçon, donc je ne suis pas sûr que mon plan soit bon (ma 3e partie est un copié-collé de la leçon sur les séries de Fourier, donc un peu abusé).
Si j'étais tombé dessus le jour J, j'aurais même enlevé la 2e partie (sur la théorie de l'intégration) par peur des questions qui pouvaient arriver.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Espaces de Hilbert. Exemples d’applications.

J'aimais beaucoup cette leçon, mon plan est classique mais efficace. Je pense que la partie sur les bases hilbertiennes peut être simplifiée (on peut juste parler de familles dénombrables). J'étais content de la partie sur l'espace $L^2$ car elle permettait bien d'illustrer l'utilité des espaces de Hilbert.
Malheureusement, à part le classique "Projection sur un convexe fermé" je ne trouvais pas de développement qui me plaise. Si j'étais passé dessus le jour J, j'aurais pris comme autre développement le théorème de représentation de Riesz, l'existence du gradient, et l'existence de l'adjoint. Mais je pense alors que mes deux devs auraient été trop similaires (tous les deux sont calculatoires).

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Applications différentiables définies sur un ouvert de Rn. Exemples et applications.

Cette leçon peut être faite uniquement avec le livre de El Amrani (merci à ce monsieur pour tous ses livres). D'ailleurs avant les écrits mes bases de calcul diff n'étaient pas très solides, et lire ce livre m'a été d'une grande aide pour comprendre cette matière.
Si vous prenez cette leçon, il faut savoir calculer la différentielle de fonctions classiques (voir les exemples et exercices du livre cité plus haut).

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Formules de Taylor. Exemples et applications.

Mon plan n'est pas entièrement rédigé, il faudrait sûrement enlever une des applications car sinon il est trop long. Je ne sais pas s'il est pertinent de mettre à la fois les formules de Taylor pour une variable, et celles pour plusieurs variables.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

Leçon assez vaste où l'on peut choisir quelles notions on aborde.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Suites réelles et complexes. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.

Leçon pas compliquée à faire, il suffit de suivre le El Amrani. En revanche, je pense qu'il faut faire pas mal d'exercices pour cette leçon car ce sont des notions qui sont de niveau L1-L2 et donc on n'a plus forcément les bons réflexes.
Au départ mon 2e développement était sur les valeurs d'adhérence d'une certaine suite, mais je l'ai vite abandonné car je le trouvais trop compliqué. J'aurais donc fait le développement sur le théorème de point fixe, en le mettant dans la partie sur les suites de Cauchy.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.

C'est juste un méta-plan que j'ai fais à la va-vite avant les oraux, histoire de sauver les meubles si je tombais dessus. Je n'aimais pas du tout cette leçon, maitriser autant d'exemples représentait un trop gros travail. Je mets quand même ce que j'ai fais, si cela peut donner des idées, mais à utiliser avec prudence.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.

Leçon que j'ai aimé préparer, surtout que mes sous-parties de la partie 3 se recasent dans d'autres leçons. Dans l'idéal, je pense qu'il faut un développement sur la continuité et un autre sur la dérivabilité.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

J'étais un grand fan des fonctions convexes, mais malheureusement je n'aimais pas du tout ma partie sur les fonctions monotones. Même dans mes applications, cela ne concernait presque que les fonctions convexes.
Comme développement, j'avais pris les critères de convexité d'une fonction différentiable (qui ne figure pas dans mon plan). Je n'en trouvais pas de deuxième donc le jour J j'aurais fait les inégalités de Young-Holder-Minkowski, mais qui est limite hors-sujet (la convexité n'intervient que pour l'inégalité de Young). Je n'avais pas réussi à trouver de développement qui me convienne sur les fonctions monotones.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.

J'ai fait cette leçon dans le cadre d'une mesure $\mu$ quelconque (pour pouvoir suivre les livres), je pense que pendant la présentation il faut insister sur le fait que sauf mention contraire, les éléments du plan s'appliquent avec la mesure de Lebesgue $\lambda$.
La leçon n'est pas très longue à faire car la première partie est de la théorie de la mesure générale avec les théorèmes principaux (TCM-Fatou-TCD), et les autres parties se prennent tel quel dans d'autres leçons.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Problèmes d’interversion de symboles en analyse

Cette leçon est à faire tôt dans l'année, car permet de réviser les théorèmes d'intégration (notamment leurs hypothèses précises) ce qui va forcément servir pour les écrits.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.

Cette leçon est assez vaste, on peut choisir vers quels domaines on souhaite l'orienter. Pour ma part, j'aimais beaucoup cette leçon, notamment car la partie sur les probabilités était vaste.
Le seul bémol est que j'ai eu besoin de beaucoup de références, mais bon ce sont les mêmes que pour les leçons 235 et 236 donc à la longue on arrive à les retenir.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.

C'est la seule leçon où dans l'intitulé il y a écrit "exemples et contre-exemples" donc il faut être notamment au point sur les contre-exemples des modes de convergences (le Hauchecorne est fait pour ça).

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

Leçon très vaste, il faut faire des choix. Par exemple, dans le rapport du jury ils mentionnent l'équivalence entre analycité et holomorphie. J'ai choisi de ne pas en parler (mais il faut le savoir de toute façon) et de faire seulement une partie sur le développement en série entière, afin de pouvoir faire une partie sur les séries génératrices en probabilités (aussi mentionné dans le rapport du jury).

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C. Exemples et applications

Leçon extrêmement vaste, étant donné que l'on aborde toute la théorie de l'analyse complexe. J'ai préféré détailler les notions de base, donc j'ai dû mettre le minimum concernant les fonctions méromorphes et le théorème des résidus (le rapport du jury mentionne que ces notions là doivent apparaitre, je ne sais pas comment ils veulent que tout cela tienne en 3 pages).
En général aux écrits il y une ou deux questions sur les fonctions holomorphes (prolongement analytique, ou alors un contour avec le théorème des résidus) mais je ne sais pas si c'est vraiment rentable de bosser à fond cette matière.

[LES] Variables complexes, Lesfari

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Séries de Fourier. Exemples et applications.

Je n'étais pas très à l'aise sur cette leçon, heureusement il suffit de suivre le El Amrani pour construire le plan, donc cela ne prend pas trop de temps. Je ne suis pas fan de ma partie Applications, mais je ne trouvais rien d'autre.
Pour bien comprendre les idées derrière les séries de Fourier, je recommande de lire la partie du livre Objectif Agrégation, elle m'a beaucoup clarifié les choses.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Transformation de Fourier. Applications.

Tout est fait dans le El Amrani. Je n'avais pas envie de parler de l'espace de Schwarz, mais je pense qu'il faut au moins parler de la transformée de Fourier dans $L^2$ (attention aux différentes définitions, il y a des subtilités).
C'est une des nombreuses leçons où il est utile de maitriser la théorie des probabilités, car cela permet de bien la remplir : la fonction caractéristique peut être vue comme la transformée de Fourier de la mesure de probabilités. On peut donc lister toutes les propriétés de la fonction caractéristique et ses nombreuses applications. Cela permet aussi d'utiliser un développement qui se recase dans les leçons de probabilités, par exemple la démonstration du TCL.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel iteairem de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Utilisation de la notion de convexité en analyse.

Leçon dont plusieurs parties sont en commun avec la leçon 229 sur les fonctions convexes. Cette leçon est assez visuelle, il est donc conseillé de faire des dessins au tableau pendant les 6 minutes de présentation.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Loi d’une variable aléatoire: caractérisations, exemples, applications.

Je suis assez content de mon plan, notamment la deuxième partie sur la caractérisation de la loi par différentes fonctions : cela permet de montrer des techniques qui sont utilisées en pratique pour déterminer la loi d'une variable aléatoire.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.

Bien qu'élémentaire, il y a beaucoup de choses à dire dans cette leçon.
Ma sous-partie sur les lois discrètes usuelles peut être seulement mise en annexe pour gagner de la place, c'est juste que j'aimais bien que pour chaque loi il y ait son interprétation dans la vraie vie.
J'ai décidé de faire toute une partie sur l'espérance et les moments même si ce sont des notions générales, car pour les variables aléatoires discrètes leur définition est spécifique et facile à manipuler.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Utilisation de la notion d’indépendance en probabilités.

Je suis tombé sur cette leçon le jour J, j'ai fait exactement le même plan (voir mon retour d'oral, j'ai eu 18.75).
Même si mes deux développements concernent le TCL, je ne pense pas que cela pose un problème car leurs démonstrations n'ont rien à voir.
Les lemmes de Borel-Cantelli ne sont pas indispensables, il ne faut en parler que si l'on est vraiment à l'aise dessus.
Si l'on choisit cette leçon, il faut être au point sur les différents modes de convergence car vous aurez forcément des questions qui utilisent l'indépendance et la convergence de variables aléatoires.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

J'aime bien mon plan, qui est assez classique. La deuxième partie permet de mettre en valeur les deux types d'actions que l'on utilise le plus.
J'ai fais ma troisième partie sur les actions sur les groupes de matrices car je ne trouvais d'autres applications qui me conviennent, mais on peut aller dans beaucoup d'autres directions. De toute façon cette partie se recase dans d'autres leçons.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

Attention, mon méta-plan est correct, mais pas mon plan manuscrit (j'ai déplacé la partie sur les $p$-groupes car elle doit arriver après les groupes quotients).
Mon deuxième développement était sur les sous-groupes distingués de $S_n$ car je trouvais celui sur la simplicité de $A_n$ trop compliqué à retenir.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Groupes finis. Exemples et applications.

L'intérêt de cette leçon est qu'elle ne nécessite pas beaucoup de références.
J'aime bien mon plan, à savoir l'idée de présenter un groupe fini abélien et un non-abélien. Après je n'ai pas eu de retours dessus donc je ne sais pas si cela convient.
Comme deuxième développement j'ai préféré faire la formule de Burnside et une application au lieu de faire un développement sur le groupe symétrique (je ne voulais pas avoir trop de questions sur cette notion).

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

Une des leçons les plus simples à faire, même si je n'étais pas fan de cette notion. En effet, il suffit de suivre le Berhuy (ou le Rombaldi selon vos goûts) et ensuite juste rajouter des applications.
Il faut bien savoir comment vous définissez le morphisme signature, car plusieurs constructions sont possibles et l'ordre des propriétés change alors.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

Pas un grand fan de cette leçon, même si j'aimais bien mes développements. En revanche il suffit d'utiliser le Rombaldi donc elle se fait rapidement.
Si j'étais tombé dessus le jour J, j'aurais enlevé la partie sur les générateurs car je ne voulais surtout pas être interrogé dessus, même si le fait de ne pas en parler m'aurait sûrement fait défaut.
Ma partie sur le groupe orthogonal est peut-être un peu longue, mais cela se justifie bien car c'est un sous-groupe de $GL(E)$ (cf le titre de la leçon) et que cela permet d'arriver à la décomposition polaire, qui concerne $GL_{n}(\mathbb{R})$.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Anneaux Z/nZ. Applications.

J'ai fait une première partie sur le groupe $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)$ car il y a vraiment des propriétés importantes, après je ne sais pas si cela est considéré comme hors-sujet étant donné que le titre de la leçon invite à se concentrer sur la notion d'anneau.
Si j'étais tombé dessus le jour J, j'aurais enlevé la partie sur les systèmes de congruences (en laissant tout de même un exemple pour illustrer le théorème chinois) car je n'étais pas à l'aise dessus.
Je pense que l'on peut justifier de faire un développement sur l'irréductibilité de polynômes (Eisenstein ou polynômes cyclotomiques par exemple) car on se place à de nombreuses reprises dans $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Anneaux principaux. Exemples et applications.

J'aimais bien cette leçon, d'autant plus que je n'avais qu'à suivre le Ulmer pour le début.
Je pense que l'on peut parler d'anneau factoriel dans cette leçon, j'ai préféré ne pas le faire par peur de certaines questions. On peut aussi parler de nombres algébriques et polynôme minimal associé.
Pour le développement sur le critère d'Eisenstein, je me plaçais dans un anneau principal (alors que factoriel suffit) et cela simplifiait donc la preuve.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Corps finis. Applications.

Plan pas très compliqué, j'utilise juste le Perrin et le Gozard, d'autant plus que certaines parties se retrouvent dans d'autres leçons.
Avant de faire cette leçon, je ne connaissais aucun résultat sur les carrés dans $\mathbb{F}_q$. Franchement c'est un bon investissement car cela remplit la leçon et les preuves sont simples.
Ma partie sur l'irréductibilité de polynômes est peut être un peu longue, mais bon pour chaque critère on se place à un moment dans $\mathbb{F}_p$ donc c'est justifié.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Extensions de corps. Exemples et applications

Une de mes leçons préférées. Il suffit de suivre le Perrin, sauf pour la partie sur la clotûre algébrique qui je trouve est mieux faite dans le Gozard.
Si vous passez dessus, ayez le réflexe de faire des tours d'extensions, cela permet de mieux visualiser les extensions. Et les schémas sont toujours appréciés par le jury.
Si l'on fait le développement sur l'irréductibilité des polynômes cyclotomiques dans cette leçon, il faut insister sur le corollaire qui permet de connaitre le degré d'une extension cyclotomique.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Exemples de nombres remarquables. Exemples d’anneaux de nombres remarquables. Applications.

Leçon que j'ai préparé à la toute fin de l'année, donc je n'ai qu'un méta-plan.
J'ai essayé de recaser ce que je pouvais, d'où la première partie qui peut paraitre désordonnée, c'est juste que c'était des notions que je maitrisais bien et qui sont dans d'autres leçons.
J'ai aussi décidé de me concentrer sur les liens avec les extensions de corps, de toute façon le rapport du jury dit qu'il ne faut pas s'éparpiller dans tous les sens.

La partie sur les polynômes cyclotomiques est justifiée car ils sont définis à partir des racines de l'unité qui sont des nombres remarquables, et car ils permettent de créer des corps cyclotomiques qui sont des anneaux remarquables.

[TL1] Tout en un pour la licence 1

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.

Je n'aimais pas du tout cette leçon, c'est pour cette raison que je l'ai faite à la toute fin de l'année et que je n'ai qu'un méta-plan.
Je consacre tout une partie au groupe symétrique car on dispose de nombreux générateurs pour ce groupe, et car j'ai un développement sur les sous-groupes distingués de $\mathcal{S}_{n}$.
Pour le deuxième développement, je n'ai pas trouvé mieux que "$(\mathbb{Z}/p^{\alpha}\mathbb{Z})^{\times}$ est cyclique".

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

Plan ultra classique, il y a vraiment zéro prise de risques.
Je pense que pendant la présentation de 6 minutes, il faut insister sur l'utilité des corps de rupture et de décomposition, cela permet de faire "vivre" la leçon.
Si j'étais passé dessus le jour J, j'aurais enlevé la sous-partie sur la clotûre algébrique par manque de place (je préférais me concentrer sur les corps finis car leur construction utilise les corps de rupture et de décomposition, on peut d'ailleurs le présenter comme développement).

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.

J'ai l'impression que cette leçon est redoutée par beaucoup, mais je pense qu'en bossant bien les notions elle n'est pas si compliquée (par contre je ne trouvais pas beaucoup de développements). Il faut bien faire attention à l'odre dans lequel on introduit les notions, j'ai pour ma part décidé de partir du cas général pour aller vers les cas particuliers (qui sont plus simples).
Comme algorithmes, le mimimum est de mettre celui d'Euclide et celui d'Euclide étendu (ce sont les algorithmes utilisés au lycée donc aucune nouveauté).
Je ne pense pas que mon développement sur le critère d'Eisenstein mérite une sous-partie à lui tout seul, mais je ne voyais pas où le mettre sinon.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

Je suis tombé sur cette leçon le jour J, j'ai fait exactement le même plan (voir mon retour d'oral, j'ai eu 16.75).
Je trouve cette leçon agréable à faire car mis à part la première partie, on peut vraiment mettre ce que l'on veut dedans. J'étais content de parler à la fois d'extensions de corps et d'algèbre linéaire.
Pour chaque notion abordée dans le plan, il est important d'expliquer comment on la relie au titre de la leçon (par exemple, les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique et permettent d'obtenir des informations sur la diagonalisation ou trigonalisation).
Je pense que si l'on fait une partie sur les corps de rupture et de décomposition, ça sera valorisé d'expliquer leur utilité pendant la présentation de 6 minutes.
J'ai décidé de ne parler que des polynômes symétriques élémentaires et pas des polynômes symétriques (une professseure m'avait dit que ce n'était pas pénalisant), en revanche il faut s'attendre pendant la phase de questions à devoir donner l'expression d'un polynôme symétrique en fonction des élémentaires. Pour le développement sur le théorème de Kronecker, je n'utilise donc pas le théorème de structure des polynômes symétriques (j'utilise les matrices compagnons) mais ça n'a pas l'air de poser problème.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

Leçon assez élémentaire mais où il faut être au point sur l'ordre des propriétés annoncées. Par exemple le fait que toutes les bases ont même cardinal peut se prouver de plusieurs façons et n'est pas aussi simple que ça à démontrer. Pareil pour le fait que tout SEV d'un EV de dimension finie est aussi de dimension finie. C'est le genre de questions que le jury peut poser pendant la phase de discussion pour voir si vous maitrisez bien les bases.

Le Grifone et le Gourdon font bien le taff pour les deux premières parties.
Pour la partie applications, on peut faire de nombreux choix. Je pense d'ailleurs que deux applications suffisent, sinon il n'y aura pas assez de place.
Au départ mon deuxième développement devait être sur l'équivalence des normes et le théorème de Riesz, mais il était trop orienté "analyse" et ça se voyait que c'était un recasage (même si je pense qu'il peut se justifier, à faire confirmer par un professeur). J'avais donc choisi à la place celui sur la caractérisation des nombres algébriques et le corps des nombres algébriques.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Déterminant. Exemples et applications.

Je fais la construction du déterminant de façon classique en suivant le Gourdon (je suis un grand fan du Grifone mais je ne pense pas que sa construction du déterminant soit la meilleure).
Je pense que parler de polynôme caractéristique est incontournable, mais il faut absolument savoir pourquoi il existe bien car en général on définit le déterminant sur un corps (c'est expliqué dans le Beck-Malick-Peyré).
Pour le développement sur le critère de nilpotence par la trace, je redémontre l'expression du déterminant de Vandermonde afin de bien justifier le recasage, quitte à aller plus vite sur certaines parties du dèv.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.

Le rapport du jury stipule qu'il faut bien insister sur les polynômes d'endomorphismes. D'ailleurs si vous faites le développement sur la décomposition de Dunford, il faut absolument faire la preuve où les endomorphismes $d$ et $n$ sont des polynômes en $u$ (cela vient du lemme des noyaux, dont la démonstration est limpide dans le Mansuy).
Mon développement sur le théorème spectral est peut être un peu court, il faudrait rajouter une application. Je pense que l'on peut trouver un meilleur dèv.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

Le Mansuy peut (encore une fois) à lui seul faire toute la leçon.
La première partie peut sûrement être raccourcie, par exemple en ne rappelant pas les définitions de polynôme minimal et caractéristique, juste en écrivant les propriétés importantes.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.

Leçon qui se fait rapidement, les premières parties se retrouvent dans de nombreuses leçons.
Concernant le calcul approché d'élements propres, je n'en parle pas car je n'étais vraiment pas à l'aise. Je pense que ce que j'ai mis dans ma troisième partie sur la recherche des valeurs propres est suffisant, ce sont des notions que j'ai découvert en préparant la leçon donc je n'ai pas de recul dessus.
Mon plan étant très théorique (et peut-être pas assez appliqué), je ne pense pas que j'aurais immédiatement choisi cette leçon le jour J.

Le développement sur le théorème spectral est justifié car on se sert des valeurs propres et des vecteurs propres.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Exponentielle de matrices. Applications.

Je n'ai pas trouvé beaucoup de choses à dire sur cette leçon, heureusement qu'il y a les équations différentielles à mettre comme application.
Je n'avais pas d'idée pour mon deuxième développement, j'ai donc fait la surjectivité de l'exponentielle matricielle en utilisant la démonstration du Mansuy.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

Plan classique, on peut raccourcir la première partie si l'on veut.
Je n'avais pas envie de parler de la suite des noyaux itérés et de la décomposition de Jordan pour les endomorphismes nilpotents (qui est hors programme), mais le rapport du jury insistait beaucoup dessus.
J'ai mis la décomposition de Dunford à part car c'est elle qui fait le lien entre endomorphismes trigonalisables et nilpotents.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

Au départ je pensais que cette leçon allait être bien, mais le fait de devoir à chaque fois mettre le cas réel et complexe est assez énervant.
Je pense que ma partie sur les formes quadratiques et hermitiennes est trop grande, mais le rapport du jury insistait dessus et je ne voyais pas d'autres applications.
Les parties sur le théorème spectral et les matrices symétriques positives sont un bon investissement, elles se recasent très bien dans d'autres leçons.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

Mon plan est extrêmement classique, je n'ai pas eu envie de parler d'endomorphismes normaux (les endomorphismes orthogonaux et symétriques suffisaient amplement pour remplir mon plan).
La sous-partie sur l'adjoint d'un endomorphisme se justifie car les exemples d'endomorphismes donnés vont se distinguer par les propriétés de leur adjoint.
Pour les endomorphismes orthogonaux, il aurait peut-être fallu parler de la classification en dimension 2 et 3, mais je n'étais pas à l'aise dessus.
Il faut parler des endomorphismes orthogonaux avant les symétriques, car notamment pour le théorème spectral et la décomposition polaire, on a besoin des matrices orthogonales.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.

Pas très fan de cette leçon, mais bon le plan est classique. Je pense qu'en bossant bien la notion ce n'est pas une leçon très difficile.
Mon premier développement est un peu là par défaut (je ne l'utilisais que pour cette leçon) et pour le deuxième sur la loi d'inertie de Sylvester, il faut bien appuyer sur les hyperplans et les formes linéaires dans la preuve.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité. Applications.

J'aimais bien cette leçon, il suffit de suivre le Rombaldi et de rajouter un peu du Grifone.
Mon deuxième développement sur $Tr(M^2)$ est clairement là par défaut (je ne le prenais que dans cette leçon) et je ne pense pas qu'il mérite une sous-partie à lui seul, il faudrait le mettre dans la partie sur la classification sur $\mathbb{R}$.
Il faut impérativement faire la classification sur $\mathbb{C}$, afin de se démarquer de la leçon 171 (je n'avais par contre pas envie de regarder ce qu'il se passe dans les corps finis).
J'aimais bien mon application sur le groupe orthogonal, car c'est une notion que l'on retrouve dans de nombreuses leçons.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.

Méta-plan qui est un copié-collé de la leçon 170, mis à part la partie sur les coniques et le fait de se placer seulement dans le cas réel.
Cette leçon était presque une impasse à cause des coniques, j'ai mis comme référence le Grifone mais je ne sais pas si c'est le mieux (je n'ai toujours pas compris ce qu'était un conique).
Au moins ce sont les mêmes développements que la 170.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

Si on aime le dénombrement, cette leçon est un régal car on peut aller dans de nombreuses directions.
Je pense que la première partie est incontournable, de toute façon il suffit de suivre le Gourdon à la lettre.
L'inconvénient de cette leçon est que pour chaque résultat énoncé, la démonstration est vraiment différente, donc il est difficile de mémoriser toutes les preuves (et le jury demandera forcément de démontrer un résultat du plan).
Je ne vois pas trop comment défendre les parties durant la présentation de 6 minutes, étant donné qu'à chaque fois c'est "tel résultat est utile/intéressant, et son lien avec la combinatoire c'est qu'on utilise la dénombrement dans sa démonstration".
Pour les développements proposés, il faut évidemment s'attarder sur la partie dénombrement et passer plus vite sur le reste.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.