Développement : Corps des nombres algébriques

Aurélie BIGOT

Leçons 125, 144, 151.

EWna

/!\ Attention /!\

Coquille non négligeable dans la version d'Aurélie Bigot ! (Désolé Aurélie, je n'ai rien contre vous, vous l'avez pourtant bien écrit dans votre leçon !)

• - Le théorème est faux: sachant que tout élément de $K$ est algébrique sur $K$, on a $K \subseteq A$, donc si $K$ n'est pas dénombrable, $A$ ne pourra jamais l'être. (L'erreur vient, dans la démonstration de (ii), du fait que $A = \bigcup\limits_{k \geq 0} \bigcup\limits_{n \geq 1} \bigcup\limits_{P \in E_{k,n}} Z(P)$, et qu'en n'écrivant pas cette troisième union, on oublie le fait que $E_{k,n}$ n'est pas dénombrable si $K$ ne l'est pas.)


• - Bien évidemment, il ne faut pas oublier la condition $P \neq 0$ dans la définition de $A$

C'est bien trop court pour faire un développement: en prenant vraiment son temps, on ne peut pas tenir plus de 10 min. Je recommande d'ajouter ceci à la double caractérisation de l'algébricité (avec $K[\alpha]$ et $K(\alpha)$).

Côté recasages, mettre ce développement en dehors de la 125 me paraît quelque peu abusif.

On trouvera cet exercice p94 de la 3e version du Gourdon algèbre, et ma suggestion d'ajout se trouvera en p66 du Perrin

Thiers

J'ai suivi les indications de EWna

Marstelle

*Mes développements n’ont pas été pensés pour être partagés au départ, vous excuserez mon écriture et mes notations un peu brouillonnes. Soyez vigilants sur les coquilles/erreurs possibles et critiques sur ce que vous lisez. N’hésitez pas à me contacter pour des clarifications.

*La plupart de mes dévs contiennent un plan et un rappel des énoncés, pour être au clair sur ce qu’on a à disposition et ce qu’on veut faire.

*Les recasages inscrits sur le document sont les numéros de 2023/2024.

Recasages : 125 - 127 - 144 - 148

Matthieu C.

Développement très classique, mais j'ai décidé de la faire de façon un peu moins conventionnelle. Je l'ai séparé en trois parties: preuve que l'ensemble des nombres algébriques sur un corps est un corps, puis montrer que ce corps est algébriquement clos si le corps de départ l'est, et enfin construction d'un polynôme annulateur pour la somme de deux nombres algébriques. Cette troisième partie nécessite la notion de résultant, très intéressante, très riche, mais hors programme. Si vous ne voulez pas vous y frotter, ne prenez pas cette version du développement.
L'idée est de montrer que la preuve par les extensions de corps est très efficace, mais non constructive, et de présenter un outil pour faire une preuve constructive. En effet, une fois que l'on a la stabilité par la somme, la stabilité par produit se fait de façon semblable. La stabilité par l'inverse se fait rapidement, sans avoir besoin de théories exotiques. Le Rombaldi explique bien la partie sur le résultant, dans son chapitre "Résultant". Attention cependant: il le fait dans le cas des entiers algébriques, qui nécessitent d'avoir un polynôme annulateur unitaire. Ici, ce n'est pas le cas, donc la preuve est encore plus simple! Il faut quand même s'y pencher un peu pour voir ce qui peut être enlevé.

Côté recasages à mon avis:
Extensions de corps
Exemples de nombres et d'anneaux de nombres remarquables
Racines d'un polynôme
Déterminant (dans cette leçon, il faudra donc prévoir une partie sur le résultant. Dans le développement, je ne montrais pas la partie sur les corps algébriquement clos, mais faisais aussi l'explication pour trouver un polynôme annulateur du produit de deux nombres algébriques)

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Jeanclaudedu77

Un esprit sain dans un corps sain.