Référence : Algèbre et probabilités

Corps des nombres algébriques

Développement :
Corps des nombres algébriques
Remarque :
J'ai suivi les indications de EWna
Références :
- Algèbre et probabilités, Gourdon
- Cours d'algèbre , Perrin
Fichier :
- corps des nombres algébriques.pdf

Théorème spectral et ses trois corollaires

Développement :
Théorème spectral et ses trois corollaires
Remarque :
Recasages: 149, 151, 155, 158

Rombaldi p734 (Lemmes, Thm) + Gourdon (v3) p256 (Cors)

Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
Références :
- Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
- Algèbre et probabilités, Gourdon
Fichier :
- Théorème spectral.pdf

Invariants de similitude (réduction de Frobenius)

Développement :
Invariants de similitude (réduction de Frobenius)
Remarque :
Ce document est très long mais c'est parce que je fais une sorte d'introduction au problème et j'essaie de ne pas parachuter le supplémentaire stable, mais de l'introduire petit à petit.
Pour moi, c'est 5 étoiles dans la leçon sur la dualité et je le justifie dans mon document.
Je met aussi un lien à la fin vers un document qui présente des applications du théorème de Frobenius.
Références :
- Algèbre et probabilités, Gourdon
- Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni
Fichier :
- Réduction de Frobenius.pdf

Statistiques du nombre de cycles d'une permutation aléatoire

Développement :
Statistiques du nombre de cycles d'une permutation aléatoire
Remarque :
Une version sympa trouvée dans le Gourdon et sur Mathstackexchange pour la partie sur les points fixes. Développement très fun !
Édit : j'ai rajouté un théorème limite central sur le nombre de cycles, un résultat que j'ai trouvé dans le Garet, Kurtzmann et que j'ai montré à la main plutôt qu'avec le théorème limite central de Lindeberg, à noter pour la leçon 262 !
Références :
- Algèbre et probabilités, Gourdon
- De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman
Fichier :
- Permutations aléatoires.pdf

190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

Leçon :
Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
Références :
Fichier :
- 190_perso.pdf

190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

Leçon :
Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
Référence :
- Algèbre et probabilités, Gourdon
Fichier :
- 190.pdf

105 : Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.

190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

Leçon :
Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
Remarque :
Plan éprouvé par une présentation durant l'année.

L'essentiel de la partie combinatoire est faite avec le Gourdon Algèbre & Probas (les séries génératrices s'y font plus discrètes). Les autres références servent essentiellement pour la partie d'applications.
Références :
Fichiers :

158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

Leçon :
Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
Remarque :
Leçon qui a tourné au diesel pour moi mais une fois son ébauche de plan en tête ça roule tout seul.

Références en fin de plan.

Etant une leçon sur des matrices, il vaut mieux éviter de proposer des développements version endomorphisme et de trop s'attarder sur les formes bilinéaires et les formes quadratiques même si un petit détour est inévitable selon moi (c'est écrit dans le rapport dtfc).

On peut remplacer le Isenmann par le Rombaldi pour la décomp. polaire et le X-ENS Algèbre 3 pour John-Löwner ;)
Références :
Fichier :
- 158 Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes..pdf

120 : Anneaux Z/nZ. Applications.

Leçon :
Anneaux Z/nZ. Applications.
Remarque :
(Je la réécrirai plus proprement dès que possible, désolé.)
Références :
Fichier :
- 120.pdf

125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

Leçon :
Extensions de corps. Exemples et applications.
Remarque :
Fun fact: on ne peut pas ajouter $\mathbb{F}_{p^{28}}$ dans le diagramme des extensions de corps finis donné en annexe de façon à ce que le graphe reste planaire ! Preuve en exercice...
Références :
Fichier :
- 125.pdf

126 : Exemples d’équations en arithmétique.

Leçon :
Exemples d’équations en arithmétique.
Remarque :
Références supplémentaires:
- Algèbre et géométrie: CAPES et Agrégation : Pierre Burg
- Algèbre I : Daniel Guin
Références :
Fichier :
- 126.pdf

141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

Leçon :
Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- 141.pdf

144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

Leçon :
Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- 144.pdf

151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

Leçon :
Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- 151.pdf

152 : Déterminant. Exemples et applications.

Leçon :
Déterminant. Exemples et applications.
Remarque :
L'introduction du déterminant via les formes multilinéaires alternées telle que je la présente (qui complète celle du Gourdon) est aussi pratique que simple.
Il est bon de faire le dessin de l'interprétation du déterminant en terme de volume.
Références :
Fichier :
- 152.pdf

153 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.

155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

Leçon :
Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
Remarque :
Je suis passé sur cette leçon à l'oral. J'ai fait un plan globalement similaire à celui-ci, dont j'étais un peu moins satisfait.
Je n'ai pas fait de partie "Applications". Plutôt que de faire un paragraphe sur la décomposition de Dunford et le critère de Klarès, j'ai mis ce-dernier dans le paragraphe Critères de diagonalisabilité (en précisant dans la défense que ça nécessitait Dunford), et le paragraphe de Dunford est devenu un paragraphe "Application: puissance et exponentielle d'une matrice" de la partie II. Le paragraphe de topologie y a également été déplacé. En contrepartie, j'ai sérieusement raccourci le paragraphe sur les théorèmes spectraux au strict minimum, et je n'ai pas parlé de la réduction des endomorphismes normaux.

On peut étoffer la partie de topologie.
Références :
Fichier :
- 155.pdf

157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.

Leçon :
Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
Remarque :
J'ai ajouté la partie III purement artificiellement pour mettre un second développement -- la loi d'inertie de Sylverster -- qui est hors surjet...
Références :
Fichier :
- 159.pdf

226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

Leçon :
Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
Remarque :
La leçon que je préfère dans l'agrégation.
Attention, cette leçon est potentiellement très casse-gueules si vous n'avez jamais eu d'UE de mathématiques discrètes ; par exemple, l'outil des séries génératrices est très puissant mais encore faut-il savoir s'en servir pour le dénombrement !

Je me suis servi principalement d'un livre anglais peu connu en France, comprenant des milliers d'exemples, sur lequel j'avais déjà travaillé durant ma scolarité. On pourra se rabattre sur d'autres livres, mais il est vrai que trouver des exemples est un peu dur : les anglophones raffolent de maths discrètes !

(la référence de l'application 6 : Wikipédia, mais vous pourrez sortir tout exemple drôle qui vous vient à l'esprit)
Références :
Fichier :
- 190.pdf

Algèbre et probabilités

Utilisée dans les 4 développements suivants :

Utilisée dans les 15 leçons suivantes :

Utilisée dans les 4 versions de développements suivants :

Corps des nombres algébriques

Théorème spectral et ses trois corollaires

Invariants de similitude (réduction de Frobenius)

Statistiques du nombre de cycles d'une permutation aléatoire

Utilisée dans les 19 versions de leçons suivantes :

190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

105 : Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.

190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

120 : Anneaux Z/nZ. Applications.

125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

126 : Exemples d’équations en arithmétique.

141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

152 : Déterminant. Exemples et applications.

153 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.

155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.

226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.