Référence : Mathématiques pour l'agrégation, Analyse et probabilités

Inégalités de Kolmogorov

Développement :
Inégalités de Kolmogorov
Remarque :
Mathématiques pour l'agrégation, Analyse et probabilités (Rombaldi) page 330
Référence :
- Mathématiques pour l'agrégation, Analyse et probabilités, Jean-Étienne Rombaldi

Trois théorèmes de point fixe

Développement :
Trois théorèmes de point fixe
Référence :
- Mathématiques pour l'agrégation, Analyse et probabilités, Jean-Étienne Rombaldi

Formule de Stirling (par les intégrales de Wallis)

Développement :
Formule de Stirling (par les intégrales de Wallis)
Remarque :
Développement assez calculatoire, mais les arguments théoriques utilisés sont élémentaires (c'est niveau licence). Étant extrêmement nul en calculs, j'ai dû le répéter un grand nombre de fois avant de le maîtriser. Malheureusement, il est difficile de couvrir toutes les leçons sans aucun développement calculatoire.
Références :
- Mathématiques pour l'agrégation, Analyse et probabilités, Jean-Étienne Rombaldi
- Analyse , Gourdon
Fichier :
- Développements.pdf

Théorème d'Ascoli

Développement :
Théorème d'Ascoli
Remarque :
Je le montre pour une sous partie A de C(K,F) où K est compact et F est complet.
A est alors relativement compacte ssi A est équicontinue et les A(x)=\overline{ {f(x) | f \in A} } sont relativement compacts.

Le Rombaldi a ce cas métrique mais j'ai fait un peu différemment par moment, en particulier, je montre Heine équicontinu à partir de Heine continu appliqué à une fonction d'évaluation globale de K dans C(A,F).

Pour la 208, on fait avec des normes infinies, Banach au lieu de complet, etc ... Mais ça ne change rien.
Références :
Fichier :
- Ascoli.pdf

102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l'unité. Applications.

Leçon :
Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l'unité. Applications.
Remarque :
Cette leçon est difficile à faire car il y a beaucoup de choses à dire et on peut partir dans beaucoup de directions mais il n'y a pas une référence privilégiée qui s'attarde sur le sujet et donne des applications poussées dans divers domaines variés... Les livres de classe prépa peuvent aider pour bien poser les bases et rappeler toutes les définitions et propriétés de base.

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
Références :
Fichier :
- Leçon 102 - Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l'unité. Applications..pdf

219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

Leçon :
Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
Remarque :
Cette leçon permet de réviser pas mal de choses : compacité, convexité, techniques d'optimisation, etc. Elle est également l'occasion de parler de la méthode du gradient si on le désire.

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
Références :
Fichier :
- Leçon 219 - Extremums existence caractérisation recherche. Exemples et applications..pdf

223 : Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples et applications.

Leçon :
Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples et applications.
Remarque :
Cette leçon paraît facile mais en réalité elle est assez piègeuse ! En effet, comme c'est une leçon niveau première année, le jury peut s'attendre à beaucoup de recul sur ces notions et poser des exos assez avancés... De plus, les notions de limsup et liminf ne sont pas très faciles et assez peu abordées en CPGE et à la fac (il faut d'ailleurs bien travailler les démonstrations sur ce sujet et faire des exercices pour bien comprendre ces deux notions).

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
Références :
Fichier :
- Leçon 223 - Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples et applications..pdf

229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

Leçon :
Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
Remarque :
La difficulté de cette leçon repose sur les démonstrations des résultats de convexité qui sont assez difficiles (c'est souvent une utilisation futée de l'inégalité des pentes)...
L'étude de la convexité se motive notamment par les inégalités qu'elle produit, et des résultats de passage du local au global. Il faut aussi absolument accompagner cette leçon avec des dessins en annexe pour illustrer les différentes situations.

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Références :
Fichier :
- Leçon 229 - Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications..pdf

244 : Exemples d'études et d'applcations de fonctions usuelles et spéciales.

Leçon :
Exemples d'études et d'applcations de fonctions usuelles et spéciales.
Remarque :
Il faut faire attention lorsque l'on parle des fonctions trigonométriques de bien donner un sens logique en sachant comment démontrer les choses (par exemple si on commence la leçon avec les formules trigonométriques du cosinus et du sinus et que l'on dit ensuite que ces fonctions sont dérivables alors il faut faire la démonstration avec ces formules trigonométriques et il ne faut surtout pas dire que c'est une série entière) : c'est cela qui rend la leçon difficile à faire...

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
Références :
Fichier :
- Leçon 244 - Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales..pdf

253 : Utilisation de la notion de convexité en analyse.

Leçon :
Utilisation de la notion de convexité en analyse.
Remarque :
La convexité est utile pour établir des inégalités intéressantes et étendre des résultats locaux au global (par exemple sur l'optimisation ou l'analyse complexe). Il faut tenter de donner le plus d'applications possibles dans divers domaines et dire où elle intervient.

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Références :
Fichier :
- Leçon 253 - Utilisation de la notion de convexité en analyse..pdf

218 : Formules de Taylor. Exemples et applications.

Leçon :
Formules de Taylor. Exemples et applications.
Remarque :
Voici le plan que j'ai présenté en leçon. Il a été validé par l'encadrant, il y a juste 2-3 petites erreurs. C'est une leçon chiante, clairement mais entre ça et la 224, le choix est vite fait. Le TCL, même si on n'utilise pas bcp Taylor se recase bien. J'avais mis aussi démo de Taylor Young facile (ref Gourdon) et application à un équivalent de suite récurrente. J'ai abandonné le dev sur Kolmogorov en cours de route, car trop lourd à apprendre et non recasable.
Références :
Fichier :
- 218.pdf

264 : Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.

Leçon :
Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.
Remarque :
Dans les leçons de probas, c'est celle que j'ai eu le plus de mal à faire. Il faut bien se souvenir qu'une var. aléatoire discrète est à valeur dans un espace discret !! Oui c'est dans le nom mais c'est important !

Pour mon premier développement j'ai aussi enlevé Galton Watson parce que le jury en avait marre. Finalement j'ai mis la marche aléatoire sur Z.

J'ai beaucoup de références, je pense qu'on peut faire moins. Pas mon meilleur plan mais si ça peut donner des idées.

Mes plans sont généralement inspirés de Mr_Syndrome, ma_tilde, Mathis Lemay et Ewna. Merci à eux.
Références :
Fichier :
- leçon264.pdf

223 : Suites réelles et complexes. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications

Leçon :
Suites réelles et complexes. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications
Remarque :
J'aime bien mon plan, il est simple et efficace. Je l'ai fait au début de l'année donc il faut reprendre des choses. D'abord, aux endroits où il y a marqué [ROH], j'utilise finalement le EL Amrani.

Le dev 1 se justifie par le fait qu'on montre la convergence de deux suites réelles.

Mes plans sont généralement inspirés de Mr_Syndrome, ma_tilde, Mathis Lemay et Ewna. Merci à eux.
Références :
Fichier :
- leçon223.pdf

241 : Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples

Leçon :
Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples
Remarque :
Leçon présentée en prépa agreg mais avec peu de retours... Voici un méta plan différent de ce que j'ai proposé, qui me semblait après coup un peu mieux. En PJ la version détaillée de ce que j'ai présenté en classe.

I/ Suites et séries de fonctions
1. Définition, modes de convergence
2. Régularité
(DEV : Riesz-Ficher [IP])
3. Cas des séries entières

II/ Applications aux probabilités
1. Suites de v.a. et convergence
2. Fonctions caractéristiques, fonctions génératrices
3. Théorèmes de convergence (DEV : lemme, Lévy, TCL)
Références :
Fichier :
- Leçon_241___Suites_et_Séries_de_Fonctions.pdf

Mathématiques pour l'agrégation, Analyse et probabilités

Utilisée dans les 4 développements suivants :

Utilisée dans les 9 leçons suivantes :

Utilisée dans les 4 versions de développements suivants :

Inégalités de Kolmogorov

Trois théorèmes de point fixe

Formule de Stirling (par les intégrales de Wallis)

Théorème d'Ascoli

Utilisée dans les 10 versions de leçons suivantes :

102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l'unité. Applications.

219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

223 : Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples et applications.

229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

244 : Exemples d'études et d'applcations de fonctions usuelles et spéciales.

253 : Utilisation de la notion de convexité en analyse.

218 : Formules de Taylor. Exemples et applications.

264 : Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.

223 : Suites réelles et complexes. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications

241 : Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples