Développement : Théorème d'Ascoli

Détails/Enoncé :

Recasages pour l'année 2025 :

Versions :

  • Auteur :
    LM
  • Auteur :
  • Remarque :
    201 203 205 228

    Énoncé : Soient $(K,\mathrm{d})$ un espace métrique compact et $\mathcal{A}$ une partie de l'espace vectoriel normé $\left( \mathcal{C}(K,\mathbb{C}), \|\cdot\|_{\infty} \right)$ des fonctions continues sur $K$. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes :
    -- La partie $\mathcal{A}$ est équicontinue et bornée.
    -- La partie $\mathcal{A}$ est relativement compacte.

    Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
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  • Remarque :
    ATTENTION: je me permet de dire que la version de AA comporte une erreur. La suite n_k construite dans sa version dépends de epsilon ... On trouve certes après ||f_nk - f_nk'|| < epsilon pour k et k' grands, mais seulement pour ce epsilon ... C'est le contraire qu'il faut ! Trouver une extractrice (n_k) telle que, pour tout epsilon, pour k et k' assez grand, ||f_nk - f_nk'|| < epsilon.
    En particulier, le procédé d'extraction diagonale est obligatoire.
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  • Remarque :
    Je préfère la version du Daniel Li (contrairement à celle du Bernis ou je comprends moins bien) qui est bien détaillé surtout la construction de la bonne sous suite par extraction diagonale.
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  • Remarque :
    201 - 203 - 205 - 208 - 228. J'ai proposé une application sur les sous-espaces vectoriels fermés de C([0,1], R) faisant aussi intervenir le théorème du graphe fermé et le théorème de Riesz.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 166 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, 2de édition, Julien Bernis, Laurent Bernis (utilisée dans 17 versions au total)