(2019 : 201 - Espaces de fonctions. Exemples et applications.)
C’est une leçon riche où le candidat doit choisir soigneusement le niveau auquel il souhaite se placer et bien délimiter le champ qu’il se propose d’explorer. Le jury attend que les candidats aient réfléchi à leur choix et les illustrent avec des applications et exemples, ce qui parfois peut manquer dans la présentation. $\\$ Les candidats peuvent se concentrer dans un premier temps sur les espaces normés composés de fonctions continues sur $\textbf{R}$ ou une partie compacte de $\textbf{R}$ et les propriétés de l’espace selon la norme dont il est muni. La norme $\|.\|_{\infty}$ est naturellement associée à la convergence uniforme dont il faut avoir assimilé les bases (en particulier, le jury attend une maîtrise du fait qu’une limite uniforme de fonctions continues est continue). On peut aussi envisager les variantes faisant intervenir une ou plusieurs dérivées. $\\$ Les espaces de Hilbert de fonctions comme l’espace des fonctions $L^2$ constituent ensuite une ouverture déjà significative. Pour aller plus loin, d’autres espaces de Banach usuels tels que les espaces $L^p$ ont tout à fait leur place dans cette leçon, ainsi que les espaces de Sobolev, certains espaces de fonctions holomorphes (Hardy, Bergman), ou dans une autre direction, la structure de l’espace de Schwartz $S(\textbf{Z})$ ou de l’espace des fonctions $C^{\infty}$ à support compact sur $\textbf{R}$ peuvent offrir des ouvertures de très bon niveau. $\\$ Il est tout à fait bienvenu, et nombre de candidats ne s’en privent pas, de discuter les relations entre ces espaces, notamment de densité et de présenter des applications de ces propriétés.
229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Questions sur le développement : quelques précisions sur ce que j'avais fait, puis
Q : Comment retrouver ce résultat dès qu'on a un contre-exemple ?
R : Sur [0,1], si on a un contre-exemple g qui est continue nulle part dérivable et f une fonction continue sur [0,1], j'ai commencé par considérer f_n(x) = f(x) + g(x)/n, mais j'ai remarqué qu'elle n'est pas forcément nulle part dérivable, donc c'est sûrement pas ça qu'il faut considérer.
Q : A quelles conditions sur la fonction f est ce que les fonctions f_n sont nulle part dérivables ?
R : Si la fonction f est dérivable par exemple. (petit moment de réflexion) Ah on peut penser au théorème de Weierstrass en approximant f par des fonctions polynômes qui sont régulières.
Q : Comment se démontre le théorème de Weierstrass ?
R : j'ai expliqué la preuve par la convolution
Mon plan était en 3 parties :
I - Espaces de fonctions continues
II - Espaces L^p
III - Espaces de fonctions holomorphes
Questions sur le plan :
Q : Sur les espaces L^p, si l'ensemble est de mesure finie, on a une inclusion (L^p inclus dans L^q si q
Jury composé de deux femmes et un homme, c'est l'homme qui posait la plupart des questions et qui était le plus encourageant. J'avais l'impression que le jury ne comprenait pas très bien le développement, comme si c'était la première fois qu'ils le voyaient, ils ont d'ailleurs mis beaucoup de temps pour choisir le développement et prenaient beaucoup de notes.
A part le développement où j'ai dépassé les 15min (j'ai duré 16min), l'oral s'est passé comme je l'imaginais. Des questions classiques mais permettant de mettre en valeur mes connaissances. J'ai fait quasiment le même plan que celui que j'avais préparé pendant l'année (j'ai mis mon plan sur le site), avec 70 items à peu près.
18.75
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Question sur le développement : "Comment expliquer le théorème de transfert à des lycéens?" "Quel est la limite d'une suite de polynômes?"
Question sur le plan : théorème de convergence monotone "pas bon" (confusion entre intégrable vs mesurable , cf Marco) et donc ils m'ont aidé à construire un contre-exemple
Question : Est-ce que L1 muni de la norme infini est complet ? pourquoi ?
Nous aide à répondre aux questions, pousse à répondre et ne pas abandonner.
Non, j'ai été déstabilisé. Je suis sortie de l'oral assez déçue, notamment à cause du tirage (j'avais eu Suite récurrente l'année précédente)
10.75