Leçon 201 : Espaces de fonctions. Exemples et applications.

(2023) 201

Dernier rapport du Jury :

(2022 : 201 - Espaces de fonctions. Exemples et applications.) Sans sortir du programme, le candidat dispose d'au moins deux thèmes très riches pour nourrir son plan : espaces de fonctions continues sur un compact, espaces $L^p$ sur le cercle ou sur la droite réelle. Sur le premier sujet, le jury attend des candidats une bonne familiarité avec la convergence uniforme et son utilisation pour justifier des régularités. Le théorème de Stone-Weierstrass est évidemment incontournable, dans ses différentes versions, constructives ou non. La complétude peut également être exploitée, par exemple en lien avec les équations différentielles ou intégrales. Sur le second, la convolution et ses applications, ainsi que l'analyse de Fourier fournissent un large terrain d'exploration. Plusieurs prolongements s'offrent aux candidats solides : théorème de Baire et ses innombrables applications, espaces de fonctions holomorphes (théorème de Montel et ses applications, espaces de Hardy, etc.), espaces de fonctions régulières (fonctions lipschitziennes, $C^k$, classe de Schwartz), algèbres de Banach de fonctions (algèbre de convolution $L^1(R)$, algèbre du disque, algèbre de Wiener des séries de Fourier absolument convergentes, etc.), étude des parties compactes de $C(K)$ (K compact) voire de $L^p$.

(2019 : 201 - Espaces de fonctions. Exemples et applications.) C’est une leçon riche où le candidat doit choisir soigneusement le niveau auquel il souhaite se placer et bien délimiter le champ qu’il se propose d’explorer. Le jury attend que les candidats aient réfléchi à leur choix et les illustrent avec des applications et exemples, ce qui parfois peut manquer dans la présentation. $\\$ Les candidats peuvent se concentrer dans un premier temps sur les espaces normés composés de fonctions continues sur $\textbf{R}$ ou une partie compacte de $\textbf{R}$ et les propriétés de l’espace selon la norme dont il est muni. La norme $\|.\|_{\infty}$ est naturellement associée à la convergence uniforme dont il faut avoir assimilé les bases (en particulier, le jury attend une maîtrise du fait qu’une limite uniforme de fonctions continues est continue). On peut aussi envisager les variantes faisant intervenir une ou plusieurs dérivées. $\\$ Les espaces de Hilbert de fonctions comme l’espace des fonctions $L^2$ constituent ensuite une ouverture déjà significative. Pour aller plus loin, d’autres espaces de Banach usuels tels que les espaces $L^p$ ont tout à fait leur place dans cette leçon, ainsi que les espaces de Sobolev, certains espaces de fonctions holomorphes (Hardy, Bergman), ou dans une autre direction, la structure de l’espace de Schwartz $S(\textbf{Z})$ ou de l’espace des fonctions $C^{\infty}$ à support compact sur $\textbf{R}$ peuvent offrir des ouvertures de très bon niveau. $\\$ Il est tout à fait bienvenu, et nombre de candidats ne s’en privent pas, de discuter les relations entre ces espaces, notamment de densité et de présenter des applications de ces propriétés.
(2017 : 201 - Espaces de fonctions ; exemples et applications.) C’est une leçon riche où le candidat devra choisir soigneusement le niveau auquel il souhaite se placer. Les espaces de fonctions continues sur un compact (par exemple l’intervalle $[0,1]$) offrent des exemples élémentaires et pertinents. Les candidats peuvent se concentrer dans un premier temps sur les espaces de fonctions continues et les bases de la convergence uniforme. Dans ce domaine, le jury attend une maîtrise du fait qu’une limite uniforme de fonctions continues est continue. Les espaces de Hilbert de fonctions comme l’espace des fonctions $L^2$ constituent ensuite une ouverture déjà significative. Pour aller plus loin, d’autres espaces usuels tels que les espaces $L^p$ ont tout à fait leur place dans cette leçon. Le théorème de Riesz-Fischer est alors un très bon développement pour autant que ses difficultés soient maîtrisées. Les espaces de fonctions holomorphes sur un ouvert de C constituent aussi une ouverture de très bon niveau ou, dans une autre direction, l’espace de Sobolev $H^1$.
(2016 : 201 - Espaces de fonctions : exemples et applications.) C’est une leçon riche où le candidat devra choisir soigneusement le niveau auquel il souhaite se placer. Les espaces de fonctions continues sur un compact (par exemple l’intervalle $[0,1]$) offrent des exemples élémentaires et pertinents. Dans ce domaine, le jury attend une maîtrise du fait qu’une limite uniforme de fonctions continues est continue. Les candidats peuvent se concentrer dans un premier temps sur les espaces de fonctions continues et les bases de la convergence uniforme. Les espaces de Hilbert de fonctions comme l’espace des fonctions $L^2$ constituent ensuite une ouverture déjà significative. Pour aller plus loin, d’autres espaces usuels tels que les espaces $L^p$ ont tout à fait leur place dans cette leçon. Le théorème de Riesz-Fischer est alors un très bon développement pour autant que ses difficultés soient maîtrisées. Les espaces de fonctions holomorphes sur un ouvert de C constituent aussi une ouverture de très bon niveau.

Développements :

Plans/remarques :

2023 : Leçon 201 - Espaces de fonctions. Exemples et applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Je suis tombée sur cette leçon le jour de l'oral, j'ai fait quasiment le même plan, juste dans la partie I j'ai enlevé le théorème d'Ascoli et rajouté dans la 3ème sous-partie le théorème de densité des fonctions continues nulle part dérivables (que je présentais en développement). Les références sont à la fin du pdf
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Voici mes plans de leçons que j'ai réalisé en format complet.
    Si cela peut aider des gens, avec plaisir !
    Tout mes plans de leçons sont inspirés majoritairement de Jouaucon, Marvin et abarrier ( Merci à eux ! ).
    Les références sont à la fin.
    Attention aux éventuels coquilles.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.
  • Fichier :

2022 : Leçon 201 - Espaces de fonctions. Exemples et applications.


2020 : Leçon 201 - Espaces de fonctions. Exemples et applications

  • Auteur :
  • Remarque :
    Toutes les références sont à la fin du plan.

    Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...
  • Fichier :

2019 : Leçon 201 - Espaces de fonctions. Exemples et applications.


2018 : Leçon 201 - Espaces de fonctions. Exemples et applications.


2017 : Leçon 201 - Espaces de fonctions ; exemples et applications.


2016 : Leçon 201 - Espaces de fonctions : exemples et applications.


Retours d'oraux :

2023 : Leçon 201 - Espaces de fonctions. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    201 : Espaces de fonctions. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Densité des fonctions continues nulles part dérivables

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Questions sur le développement : quelques précisions sur ce que j'avais fait, puis
    Q : Comment retrouver ce résultat dès qu'on a un contre-exemple ?
    R : Sur [0,1], si on a un contre-exemple g qui est continue nulle part dérivable et f une fonction continue sur [0,1], j'ai commencé par considérer f_n(x) = f(x) + g(x)/n, mais j'ai remarqué qu'elle n'est pas forcément nulle part dérivable, donc c'est sûrement pas ça qu'il faut considérer.
    Q : A quelles conditions sur la fonction f est ce que les fonctions f_n sont nulle part dérivables ?
    R : Si la fonction f est dérivable par exemple. (petit moment de réflexion) Ah on peut penser au théorème de Weierstrass en approximant f par des fonctions polynômes qui sont régulières.
    Q : Comment se démontre le théorème de Weierstrass ?
    R : j'ai expliqué la preuve par la convolution

    Mon plan était en 3 parties :
    I - Espaces de fonctions continues
    II - Espaces L^p
    III - Espaces de fonctions holomorphes

    Questions sur le plan :
    Q : Sur les espaces L^p, si l'ensemble est de mesure finie, on a une inclusion (L^p inclus dans L^q si q R : Inégalité de Hölder.
    Q : L'inclusion est-elle stricte ?
    R : Oui, j'ai construit un contre exemple pour q=1 et p=2 sur [0,1] (la fonction f(x) = 1/sqrt{x})
    Q : Sur [0,1], est-ce-que L^2 est fermé dans L^1 ?
    R : Non, j'ai construit une suite en contre-exemple, la suite de fonctions f_n(x) = 1/(sqrt{x} + 1/n), qui sont L^2, converge dans L^1 vers la fonction f, qui n'est pas dans L^2.
    Q : Sur [0,1], montrer que la boule unité de L^2 est fermée dans L^1.
    R : J'ai commencé par prendre une suite (f_n) de la boule unité qui converge vers une fonction f. Le jury m'a suggéré d'utiliser Riesz-Fischer, puis j'ai voulu essayer d'appliquer le théorème de convergence dominée pour montrer que f était aussi dans la boule unité.
    Q : Le théorème de convergence dominée ne va pas marcher ici, connaissez-vous d'autres théorèmes sur l'intégrale de la limite d'une suite de fonctions ?
    R : Ah oui, ici on veut juste une inégalité, on peut penser au lemme de Fatou. J'ai fait un dessin au tableau pour me rappeler du sens de l'inégalité en trouvant un cas d'inégalité stricte, ce que le jury a apprécié.

    Q : Comment se démontre l'inversion de Fourier ?
    R : On le démontre pour les noyaux de Gauss, puis pour les convolées avec les noyaux de Gauss, puis on utilise le fait que c'est une approximation de l'unité
    Q : La transformée de Fourier est-elle injective?
    R : Oui en utilisant la formule d'inversion. J'ai commencé par prendre deux fonctions dont la transformée de Fourier était la même
    Q : Vu un des résultats dans votre plan, est-ce-qu'on peut pas simplifier le raisonnement?
    R : Ah oui, puisque la transformation de Fourier est linéaire on peut juste considérer une fonction dont la transformée de Fourier est nulle.
    Q : Est-elle surjective ?
    R : Non, car sinon elle serait bijective et d'après le théorème d'isomorphisme de Banach puisque les espaces sont complets, l'inverse serait aussi continue. C'était la fin de l'oral et j'ai pas pu finir le raisonnement

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury composé de deux femmes et un homme, c'est l'homme qui posait la plupart des questions et qui était le plus encourageant. J'avais l'impression que le jury ne comprenait pas très bien le développement, comme si c'était la première fois qu'ils le voyaient, ils ont d'ailleurs mis beaucoup de temps pour choisir le développement et prenaient beaucoup de notes.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    A part le développement où j'ai dépassé les 15min (j'ai duré 16min), l'oral s'est passé comme je l'imaginais. Des questions classiques mais permettant de mettre en valeur mes connaissances. J'ai fait quasiment le même plan que celui que j'avais préparé pendant l'année (j'ai mis mon plan sur le site), avec 70 items à peu près.

  • Note obtenue :

    18.75


2018 : Leçon 201 - Espaces de fonctions. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    201 : Espaces de fonctions. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Weierstrass (par les probabilités)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Question sur le développement : "Comment expliquer le théorème de transfert à des lycéens?" "Quel est la limite d'une suite de polynômes?"
    Question sur le plan : théorème de convergence monotone "pas bon" (confusion entre intégrable vs mesurable , cf Marco) et donc ils m'ont aidé à construire un contre-exemple
    Question : Est-ce que L1 muni de la norme infini est complet ? pourquoi ?

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Nous aide à répondre aux questions, pousse à répondre et ne pas abandonner.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Non, j'ai été déstabilisé. Je suis sortie de l'oral assez déçue, notamment à cause du tirage (j'avais eu Suite récurrente l'année précédente)

  • Note obtenue :

    10.75


Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Analyse , Gourdon (utilisée dans 400 versions au total)
Elements d'analyse fonctionnelle , Hirsch (utilisée dans 62 versions au total)
Analyse. Théorie de l'intégration, Briane, Pagès (utilisée dans 76 versions au total)
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily (utilisée dans 162 versions au total)
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 214 versions au total)
Analyse fonctionnelle - Théorie et applications, Brezis, Haim (utilisée dans 27 versions au total)
Analyse complexe pour la Licence 3, Tauvel (utilisée dans 57 versions au total)
Calcul Intégral , Faraut (utilisée dans 18 versions au total)
Oraux X-ENS Analyse 3, Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 17 versions au total)
Topologie générale et espaces normés , Hage Hassan (utilisée dans 20 versions au total)
Cours d'analyse fonctionnelle, Daniel Li (utilisée dans 44 versions au total)
Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani (utilisée dans 44 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 123 versions au total)
Théorie des distributions , Bony (utilisée dans 8 versions au total)
Analyse fonctionelle , Brézis (utilisée dans 25 versions au total)
Analyse réelle et complexe , Rudin (utilisée dans 59 versions au total)
Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions, El Amrani (utilisée dans 56 versions au total)
Analyse numérique et équation différentielle , Demailly (utilisée dans 52 versions au total)
Analyse numérique et optimisation : une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique, Allaire (utilisée dans 22 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 130 versions au total)
Cours d'analyse , Pommelet (utilisée dans 45 versions au total)
De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman (utilisée dans 39 versions au total)