Développement : Critère de Weyl

Détails/Enoncé :

Soit une suite $(u_n)_{n\ge 1} \in [0,1]$. Pour tout $0 \le a \le b \le 1$, on note

$$ X_n[a,b] = |\{ k \in \mathbb{N}, 1 \le k \le n : u_k \in [a,b] \} | $$

Les assertions suivantes sont équivalentes :

- $\forall 0 \le a \le b \le 1, \frac{ X_n[a,b]}{n} \to b-a$
- $\forall f \in C^0[0,1] , \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f(u_k) \to \int_0^1 f$
- $ \forall p \in \mathbb{N}^*, \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n e^{i 2\pi p u_k} \to 0$

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  • Remarque :
    La fin du développement n'est pas pareil que dans le FGN, là c'est plus propre (faut pas hésiter à faire un dessin pour voir ce que ça donne concrètement).

    Attention aux coquilles !
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  • Auteur : Anonyme
  • Remarque :
    Recasages : 223, 209, 246.

    Le critère de Weyl est un très joli résultat autour de l'équirépartition d'une suite modulo 1, qui utilise des séries de Fourier, le théorème de Weierstrass trigonométrique, l'approximation d'une fonction indicatrice d'intervalle par des fonctions continues, ou la construction de l'intégrale de Riemann !
    Attention, l'énoncé dans Oraux X-ENS est faux (ne pas prendre k dans N* mais dans Z*).

    Je propose ici une preuve et un énoncé légèrement modifiés pour éviter les élucubrations autour de l'approximation d'une fonction non-périodique par le théorème de Weierstrass trigonométrique, que FGN balaie d'un revers de main. Cela induit des modifications par rapport à Oraux X-ENS, mais qui se comprennent facilement.
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  • Remarque :
    Recasages: 209, 223, 246

    Page 47

    Inspiré de AdrienChd, spécialiste du sujet: je recommande sa version, très complète.

    Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
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