Développement : Critère de Weyl

Détails/Enoncé :

Soit une suite $(u_n)_{n\ge 1} \in [0,1]$. Pour tout $0 \le a \le b \le 1$, on note

$$ X_n[a,b] = |\{ k \in \mathbb{N}, 1 \le k \le n : u_k \in [a,b] \} | $$

Les assertions suivantes sont équivalentes :

- $\forall 0 \le a \le b \le 1, \frac{ X_n[a,b]}{n} \to b-a$
- $\forall f \in C^0[0,1] , \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f(u_k) \to \int_0^1 f$
- $ \forall p \in \mathbb{N}^*, \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n e^{i 2\pi p u_k} \to 0$

Recasages pour l'année 2026 :

Autres années :

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    La fin du développement n'est pas pareil que dans le FGN, là c'est plus propre (faut pas hésiter à faire un dessin pour voir ce que ça donne concrètement).

    Attention aux coquilles !
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  • Remarque :
    Recasages : 223, 209, 246.

    Le critère de Weyl est un très joli résultat autour de l'équirépartition d'une suite modulo 1, qui utilise des séries de Fourier, le théorème de Weierstrass trigonométrique, l'approximation d'une fonction indicatrice d'intervalle par des fonctions continues, ou la construction de l'intégrale de Riemann !
    Attention, l'énoncé dans Oraux X-ENS est faux (ne pas prendre k dans N* mais dans Z*).

    Je propose ici une preuve et un énoncé légèrement modifiés pour éviter les élucubrations autour de l'approximation d'une fonction non-périodique par le théorème de Weierstrass trigonométrique, que FGN balaie d'un revers de main. Cela induit des modifications par rapport à Oraux X-ENS, mais qui se comprennent facilement.
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    Le rapport absout les candidats qui veulent recaser leurs développements sur les séries dans la leçon sur les suites. Je me rallie à cette autorisation fortuite, mais pour ne pas trop avoir l'air d'un forceur, j'ai sélectionné à côté ce joli développement dont j'avais toujours entendu parler et qui permet d'explorer le sujet des suites équiréparties, qui de plus sonne bien comme une partie d'un écrit. Le développement en lui-même étant trop faible, j'ai rajouté une application aux $(n\theta)_n$ qui ouvre la porte à des tas de saloperies (peu désagréables) mais relève le niveau. Enfin l'interprétation probabiliste permet de fournir les plans des leçons concernées.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Oraux X-ENS Analyse 2 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 77 versions au total)
Fourier Analysis, Stein, Shakarchi (utilisée dans 7 versions au total)
Thèmes pour l'agrégation de mathématiques - Eléments de cours, développements et exercices corrigés, Houkari (utilisée dans 22 versions au total)