Dernier rapport du Jury :
(2019 : 209 - Approximation d’une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.)
Pour la session 2020, le titre de cette leçon évolue en $\\$
"Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications." $\\$
Ce nouvel intitulé ouvre le sujet et permet de mettre en lumière des points de vue de natures différentes, avec des points d’accès de niveaux aussi variés. Bien entendu l’approximation polynomiale ou par polynômes trigonométriques reste un des thèmes centraux de cette leçon et un certain nombre de classiques trouveront à s’exprimer, comme par exemple l’approximation par les polynômes de Bernstein, éventuellement agrémentée d’une estimation de la vitesse de convergence(en termes de module de continuité). $\\$ Il n’est pas absurde de voir la formule de Taylor comme une approximation locale d’une fonction par des polynômes mais on veillera à ne pas trop s’attarder sur ce point. Les polynômes d’interpolation de Lagrange peuvent être mentionnés à condition de maîtriser la différence fondamentale entre interpolation et approximation. L’approximation d’une fonction par des fonctions de classe $C^{\infty}$ par convolution est une technique qui s’intègre parfaitement dans ce nouvel intitulé et qui doit être illustrée d’applications (approximation de fonctions indicatrices, obtention, par densité, d’inégalités ou de résultats asymptotiques, résolution de l’équation de la chaleur,...) $\\$ Dans la même veine, pour aller plus loin, le théorème de Fejér (versions $L^1$, $L^p$ ou $C(\partial \mathcal{D})$) offre la possibilité d’un joli développement, surtout s’il est agrémenté d’applications (polynômes trigonométriques lacunaires, injectivité de la transformée de Fourier sur $L^1$,...). La convolution avec d’autres noyaux (Dirichlet, Jackson) est aussi une source de résultats intéressants.
Autres rapports
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(2017 : 209 - Approximation d'une fonction par des polynômes et et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.)
Cette leçon comporte un certain nombre de classiques comme par exemple les polynômes de Bernstein, éventuellement agrémentés d’une estimation de la vitesse de convergence (avec le module de continuité). Il n’est pas absurde de voir la formule de Taylor comme une approximation locale d’une fonction par des polynômes. Les polynômes d’interpolation de Lagrange peuvent être mentionnés en mettant en évidence les problèmes qu’ils engendrent du point de vue de l’approximation. La résolution de l’équation de la chaleur et/ou des ondes peut trouver sa place dans cette leçon.
Pour aller plus loin, le théorème de Fejér (versions $L^1$, $L^p$ ou $C(T)$) offre aussi la possibilité d’un joli développement, surtout s’il est agrémenté d’applications (polynômes trigonométriques lacunaires, injectivité de la transformée de Fourier sur $L^1$, ...), mais on peut aussi s’intéresser à la convolution avec d’autres noyaux.
(2016 : 209 - Approximation d'une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.)
Cette leçon comporte un certain nombre de classiques comme par exemple les polynômes de Bernstein, éventuellement agrémenté d’une estimation de la vitesse de convergence (avec le module de continuité). Il n’est pas absurde de voir la formule de Taylor comme une approximation locale d’une fonction par des polynômes. Les polynômes d’interpolation de Lagrange peuvent être mentionnés en mettant en évidence les problèmes qu’ils engendrent du point de vue de l’approximation. Pour aller plus loin, le théorème de Fejér (versions $L^1$, $L^p$ ou $C(T)$) offre aussi la possibilité d’un joli développement, surtout s’il est agrémenté d’applications (polynômes trigonométriques lacunaires, injectivité de la transformée de Fourier sur $L^1$ , . . .), mais on peut aussi s’intéresser à la convolution avec d’autres noyaux.
(2015 : 209 - Approximation d'une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.)
Cette leçon comporte un certain nombre de classiques. Les polynômes d'interpolation de Lagrange, les polynômes de Bernstein sont des classiques tout comme le théorème général de Stone-Weierstrass.
En ce qui concerne le théorème de Weierstrass par les polynômes de Bernstein, un candidat plus ambitieux pourra donner une estimation de la vitesse de convergence (avec le module de continuité), et éventuellement en montrer l'optimalité. Il n'est pas absurde de voir la formule de Taylor comme une approximation locale d'une fonction par des polynômes. Comme la leçon 202, elle permet aux candidats plus ambitieux d'aller jusqu'à la résolution d'équations aux dérivées partielles (ondes, chaleur, Schrödinger) par séries de Fourier.
(2014 : 209 - Approximation d'une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.)
Cette leçon comporte un certain nombre de classiques comme le théorème de Stone-Weierstrass. Comme la leçon 202, elle permet d'explorer aux candidats plus ambitieux d'aller jusqu'à la résolution d'équations aux dérivées partielles (ondes, chaleur, Schrödinger) par séries de Fourier.
