Développement : Théorème du point fixe de Brouwer

Détails/Enoncé :

On note $B^{n}$ la boule unité fermée de $\mathbb{R}^{n}$. Toute application continue $B^{n} \longrightarrow B^{n}$ admet un point fixe.

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    D'après moi pour les leçons : 203, 204, 214 et 215.

    Je n'ai jamais pu mettre la main sur le livre de M. Gonnord et Tosel, donc ma version provient de celle de Mathieu Dutour que je remercie grandement.

    Le développement est excessivement long, voir mes remarques à la fin du document pour le faire tenir en 15 minutes.

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
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  • Remarque :
    Je reprends la méthode de Mathieu Dutour.
    Ce développement est très long mais on gagne un peu de temps en argumentant la régularité de $\lambda$ sans en donner l'expression explicite en invoquant le théorème des fonction implicites et le fait que $\lambda(x)$ est racine simple d'un polynôme.
    Il faut donner beaucoup d'explications à l'oral sans trop détailler et/ou sauter des points pour réussir à faire le développement en 15 minutes.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Calcul différentiel , Gonnord, Tosel (utilisée dans 12 versions au total)
Petit guide de calcul différentiel , Rouvière (utilisée dans 139 versions au total)
Exercices pour l'agrégation - Analyse 3 , Chambert-Loir (utilisée dans 2 versions au total)