Leçon 206 : Théorèmes de point fixe. Exemples et applications.

(2014) 206
(2016) 206

Dernier rapport du Jury :

(2015 : 206 - Théorèmes de point fixe. Exemples et applications.) Il faut préparer des contre-exemples pour illustrer la nécessité des hypothèses des théorèmes énoncés . Les applications aux équations différentielles sont importantes. Répétons que la maîtrise du théorème de Cauchy-Lipschitz est attendue. Pour l'analyse de convergence des méthodes de point fixe, les candidats ne font pas suffisamment le lien entre le caractère localement contractant de l'opérateur itéré et la valeur de la différentielle au point fixe. La méthode de Newton, interprétée comme une méthode de point fixe, fournit un exemple où cette différentielle est nulle, la vitesse de convergence étant alors de type quadratique. L'étude de méthodes itératives de résolution de systèmes linéraires conduit à relier ce caractère contractant à la notion de rayon spectral. Pour les candidats solides, il est envisageable d'admettre le théorème de point fixe de Brouwer et d'en développer quelques conséquences comme le théorème de Perron-Frobenius.

(2014 : 206 - Théorèmes de point fixe. Exemples et applications.) Les applications aux équations différentielles sont importantes. Répétons que la maîtrise du théorème de Cauchy-Lipschitz est attendue. Il faut préparer des contre-exemples pour illustrer la nécessité des hypothèses. Pour l'analyse de convergence des méthodes de point fixe, les candidats ne font pas suffisamment le lien entre le caractère localement contractant de l'opérateur itéré et la valeur de la différentielle au point fixe. La méthode de Newton, interprétée comme une méthode de point fixe, fournit un exemple où cette différentielle est nulle, la vitesse de convergence étant alors de type quadratique. L'étude de méthodes itératives de résolution de systèmes linéraires conduit à relier ce caractère contractant à la notion de rayon spectral. Il est envisageable d'admettre le théorème de point fixe de Brouwer et d'en développer quelques conséquences comme le théorème de Perron-Froebenius.

Plans/remarques :

Pas de plans pour cette leçon.

Retours d'oraux :

2015 : Leçon 206 - Théorèmes de point fixe. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    206 : Théorèmes de point fixe. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    244 : Fonctions développables en série entière, fonctions analytiques. Exemples.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème du point fixe de Kakutani et sous-groupes compacts de GLn(R)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    L'exercice m'a paru plutôt difficile. On a seulement traité les cas où K est une boule, puis le cas où K est connexe par arcs. J'ai eu beaucoup d'indications, mais le jury était très pressant dès que la démo n'avançait pas, c'était assez frustrant.

    questions :

    comment prouver rapidement le résultat du développement pour les groupes finis ? avez-vous une idée pour généraliser le résultat aux groupes compacts infinis ?

    que pouvez-vous me dire sur le th. de représentation conforme ? (référence à la dernière remarque du plan qui parlait de points fixes d'homographies)

    pouvez-vous citer des applications du th. de picard en analyse fonctionnelle ?

    un exercice :

    Soit K un compact connexe de R^n, U un voisinage ouvert de K, f : U -\textgreater R^n, C^1, tel que pour tout x dans K, la norme subordonnée de df_x est \textlesser 1. Montrer que f admet un point fixe dans K.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Pas de réponse fournie.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    12