Développement : Méthodes itératives de résolution d'un système linéaire

Détails/Enoncé :

Soient $A \in GL_n(\mathbb{R})$, $b \in \mathbb{R}^n$ et $u$ l'unique solution de$Au = b$. On pose $u_0 \in \mathbb{R}^n$ et $u_{k+1} = M^{-1} ( N u_k +b)$ où $A = M-N$ avec $M \in GL_n(\mathbb{R})$. Alors la suite $(u_k)$ converge vers $u$ (quelque soit $u_0$) si et seulement si $\rho( M^{-1}N) < 1$.

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    J'aime cette version qui ne s'intéresse qu'aux théorèmes préliminaires de convergence mais ce sont ceux-là qui permettent de justifier la convergence de méthodes comme Jacobi ou Gauss-Seidel. En tout cas c'est assez clairement expliqué dans Schatzman.
    D'ailleurs la démonstration originelle dans Schatzman comporte des erreurs que je pense avoir réussi à corriger.

    Il faut conclure une présentation de ce développement par un commentaire sur la convergence d'au moins une méthode itérative.
    (p265)
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Modélisation à l'oral de l'agrégation , Dumas (utilisée dans 8 versions au total)
Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation , Ciarlet (utilisée dans 48 versions au total)
Analyse numérique, Une approche mathématique, Michelle Schatzman (utilisée dans 4 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 123 versions au total)
Algèbre linéaire numérique., Allaire, Grégoire & Kaber, Sidi Mahmoud (utilisée dans 8 versions au total)