Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Quelques questions sur mon développement (un point que j'avais peu détaillé, notations). Les invariants de similitude sont les espaces ou les polynômes ?
-Les actions que vous donnez sont-elles à droite ou à gauche ? (je sais jamais)
-Vous avez centré votre exposé sur les invariants et les formes normales. Que peut-on dire de la structure des orbites ? Par exemple pour l'action d'équivalence, que peut-on dire des orbites de rang fixé ? (j'ai parlé d'adhérence et de semi-continuité) Est-ce que ces orbites sont des sous-variétés ? (Pour rg=0 et rg=n, c'est trivial, sinon, je ne savais pas, et je leur ai dit - vu que le rang n'est pas continu, je ne voyais pas comment procéder).
-Ex: si un sg additif $G$ est stable par multiplication à gauche et à droite par $M_n$, montrer que $G=\{0\}$ ou $G=M_n$. (Si non nul, on a une matrice dont un coeff est non nul, donc on a une matrice avec $a_{1,1}=1$ dans $G$ en permutant/dilatant, puis par pivot de Gauss, on tue les coeff sur la première ligne et la première colonne, et en multipliant par la matrice $E_{1,1}$, on obtient $E_{1,1}$, donc tous les $E_{i,j}$ par permutation, donc $M_n$.
-A propos de réduction simultanée et d'action diagonale (ce que j'avais fait pour la conjugaison et la congruence), que se passe-t-il pour l'action d'équivalence ? Nb de classes, invariants, etc. (J'ai un peu tâtonné, cherchant à réduire l'un puis l'autre sans trop de succès. Ils m'ont dit de regarder le cas où la dim=1 -> On voit alors que on a soit (0,0), soit (1,0) ou (0,1), soit (1,x), $x\neq 0$, et le rapport $x$ est un invariant. Retour à $n>1$, on veut regarder la classe de (Id,M), et on voit que c'est (Id, P), où P est semblable à M)
