(2017 : 150 - Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.)
Dans cette leçon il faut présenter différentes actions (congruence, similitude, équivalence, ...) et dans chaque cas on pourra dégager d’une part des invariants (rang, matrices échelonnées réduites...) et d’autre part des algorithmes, comme le pivot de Gauss, méritent aussi d’être présentés dans cette leçon. Si l’on veut aborder un aspect plus théorique, il est pertinent de faire apparaître à travers ces actions quelques décompositions célèbres ; on peut décrire les orbites lorsque la topologie s’y prête.
S’ils le désirent, les candidats peuvent travailler sur des corps finis et utiliser le dénombrement dans ce contexte.
150 : Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.
181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Jury très sympathique et souriant ! J'ai donc fait comme DVPT la topologie des classes de similitude qui caractérise la réduction.
Ensuite ils m'ont demandé un contre exemple
rép: prendre une matrice 2x2 de polynome caractéristique X²+1 et donc elle est diagonalisable sur C mais pas sur R, donc sa classe de similitude sur C est fermée, mais sa classe de similitude réelle est l'intersection entre la complexe et Mn(R) donc est fermée.
Il m'ont demandé de changer les hypothèses pour que le théorème marche tout le temps
rép : il fallait considérer des endomorphismes semi-simples
J'ai eu ensuite quelques exercices :
1) on se place dans Fq^n, soit A=diag(1,0,..,0)
calculer le cardinal de l'oribte de A dans l'action par conjugaison.
rép: on a la formule : Orbite=Groupe/stab
il suffit de calculer le stab de A qui est l'ensemble des matrices qui commutent avec A
2)soient deux matrices semblables sur C, le sont elles sur R ?
rép : oui, séparer en partie réelle et imaginaire, puis raisonner par l'absurde avec un polynome ayant une infinité de racines et est donc nul. puis conclure.
3) comment caractériser les matrices symétriques réelle?
rep: signature + sylvester
4) démontrer sylvester
5) On se place dans Op,q une orbite de cette action (forme quadratiques réelles)
les orbites sont elles connexes?
J'ai juste eu le temps de parler des cas les plus simples commes On,0 et O0,n
Jury patient, souriant et m'aidait pendant les questions et me disaient lorsque je répondais juste !
Il avait l'air de bonne humeur du coup moi aussi.
J'avais plus l'impression d'échanger plutôt que de passer un concours.
J'ai vraiment été surpris, je pensais me faire détruire lors de cette leçon, mais cela s'est bien passé. J'ai mis le plan à mon niveau sans mettre de choses que je ne maîtrisais pas et ça s'est plutôt bien passé !
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150 : Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.
181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.
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Quelques questions sur mon développement (un point que j'avais peu détaillé, notations). Les invariants de similitude sont les espaces ou les polynômes ?
-Les actions que vous donnez sont-elles à droite ou à gauche ? (je sais jamais)
-Vous avez centré votre exposé sur les invariants et les formes normales. Que peut-on dire de la structure des orbites ? Par exemple pour l'action d'équivalence, que peut-on dire des orbites de rang fixé ? (j'ai parlé d'adhérence et de semi-continuité) Est-ce que ces orbites sont des sous-variétés ? (Pour rg=0 et rg=n, c'est trivial, sinon, je ne savais pas, et je leur ai dit - vu que le rang n'est pas continu, je ne voyais pas comment procéder).
-Ex: si un sg additif $G$ est stable par multiplication à gauche et à droite par $M_n$, montrer que $G=\{0\}$ ou $G=M_n$. (Si non nul, on a une matrice dont un coeff est non nul, donc on a une matrice avec $a_{1,1}=1$ dans $G$ en permutant/dilatant, puis par pivot de Gauss, on tue les coeff sur la première ligne et la première colonne, et en multipliant par la matrice $E_{1,1}$, on obtient $E_{1,1}$, donc tous les $E_{i,j}$ par permutation, donc $M_n$.
-A propos de réduction simultanée et d'action diagonale (ce que j'avais fait pour la conjugaison et la congruence), que se passe-t-il pour l'action d'équivalence ? Nb de classes, invariants, etc. (J'ai un peu tâtonné, cherchant à réduire l'un puis l'autre sans trop de succès. Ils m'ont dit de regarder le cas où la dim=1 -> On voit alors que on a soit (0,0), soit (1,0) ou (0,1), soit (1,x), $x\neq 0$, et le rapport $x$ est un invariant. Retour à $n>1$, on veut regarder la classe de (Id,M), et on voit que c'est (Id, P), où P est semblable à M)
Un peu sec tout au début quand j'avais pris des mauvaises notations dans mon plan sur les invariants de similitude et que je confonde action à droite et à gauche, mais après, avec les exercices, ils sont vite devenus assez enthousiastes.
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