Développement : Réduction des endomorphismes normaux

Détails/Enoncé :

Soit $E$ un espace euclidien et $f$ un endomorphisme normal (qui commute à son adjoint). Alors il existe une bonne base telle que la matrice de $f$ dans cette base soit presque diagonale par blocs avec des blocs de dimension $1$ et des blocs de dimensions $2$ spéciaux.

Vous n'êtes pas d'accord avec les recasages ci-dessous ? Connectez-vous pour proposer les vôtres !

Recasages pour l'année 2025 :

158 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
150 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.
151 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

Autres années :

Versions :

Version de Tom

Auteur :
Tom
Référence :
- Algèbre , Gourdon
Fichier :
- reduc_endo_normaux_tom.pdf

Version de Marie

Auteur :
Marie
Remarque :
Mis à jour le 23.04.17
Référence :
- Algèbre , Gourdon
Fichier :
- Réduction des endomorphismes nomaux.pdf

Version de Titi le mathématicien

Auteur :
Titi le mathématicien
Remarque :
https://sites.google.com/view/evariste-d-aubergine/
Fichier :
- Réduction des endormorphismes normaux.pdf

Version de Fabien Thireau

Auteur :
Fabien Thireau
Remarque :
Le lemme peut se trouver dans le Berhuy Grand combat p.160 il me semble
Référence :
- Algèbre , Gourdon
Fichier :
- Réduction des endomorphismes normaux.pdf

Version de JULIEN L

Auteur :
JULIEN L
Référence :
- Algèbre , Gourdon
Fichier :
- Réduction des Endomorphismes Normaux.pdf

Version de Matoumatheux

Auteur :
Matoumatheux
Remarque :
Ma version utilise le théorème spectral via la décomposition polaire pour montrer que deux matrices réelles unitairement semblables sont orthogonalement semblables. Je préfère faire ainsi, on passe du cas particulier (théorème spectral) au cas général : la réduction des normaux. J'ai rajouté un complément sur les opérateurs auto-adjoints compacts en dimension infinie.
Références :
- Groupes de Lie classiques, Mneimné, Testard
- Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
Fichier :
- Réduction des endo normaux.pdf

Version de Chloé

Auteur :
Chloé
Référence :
- Algèbre et probabilités, Gourdon
Fichier :
- Réduction des endomorphismes normaux.pdf

Version de kureru

Auteur :
kureru
Remarque :
Développement rédigé pour l'oral, attention aux éventuelles coquilles/erreurs.

Je suis tombée dessus à l'oral et j'ai eu 18/20. Comme quoi un développement aussi simple suffit largement.
Référence :
- Algèbre linéaire , Grifone
Fichier :
- Réduction endo normaux.pdf

Version de Baptiste Breton

Auteur :
Baptiste Breton
Remarque :
- Un endomorphisme d'un $\mathbb{R}$-espace vectoriel admet toujours une droite ou un plan stable ;
- Si $u$ est normal et $F$ est $u$-stable, alors $F^\perp$ est $u$-stable ;
- Réduction des endomorphismes normaux d'un plan euclidien ;
- Théorème général en dimension quelconque.

Leçons concernées : 150, 151, 152, 158
Référence :
- Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
Fichier :
- Endomorphismes normaux

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Algèbre , Gourdon (utilisée dans 349 versions au total)
Cours de mathématiques spéciales tome 2 : algèbre et applications à la géométrie, Ramis, Deschamps, Odoux (utilisée dans 1 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 677 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 627 versions au total)
Groupes de Lie classiques, Mneimné, Testard (utilisée dans 26 versions au total)
Algèbre et probabilités, Gourdon (utilisée dans 119 versions au total)
Algèbre linéaire , Grifone (utilisée dans 133 versions au total)