(2023 : 153 - Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.)
Cette leçon ne doit pas être un catalogue de résultats autour de la réduction ; les polynômes d'endomorphismes doivent y occuper une place importante. Il faut consacrer une courte partie de la leçon à l'algèbre $K[u]$, en particulier connaître la dimension, et aux liens entre réduction de l'endomorphisme u et structure de l'algèbre $K[u]$. Il est ensuite possible de s'intéresser aux propriétés globales de cette algèbre (inversibles, condition nécessaire et suffisante assurant que ce soit un corps...). De même il est important de mettre en évidence les liens entre les idempotents et la décomposition en somme de sous-espaces caractéristiques. Le lemme des noyaux, les polynômes caractéristiques et minimaux doivent figurer dans la leçon. Il faut bien préciser que, dans la réduction de Dunford, les composantes sont des polynômes en l'endomorphisme, et en connaître des conséquences théoriques et pratiques.
On attend que la candidate ou le candidat soit en mesure, pour une matrice simple de justifier la diagonalisabilité et de déterminer un polynôme annulateur (voire minimal). L'aspect applications est trop souvent négligé. Il est par exemple possible d'envisager des applications au calcul de $A^k$ à l'aide d'un polynôme annulateur, aux calculs d'exponentielles de matrices ou de mener l'analyse spectrale de matrices stochastiques.
Pour aller plus loin, la candidate ou le candidat pourra étudier des équations matricielles et de calcul fonctionnel, avec par exemple l'étude de l'extraction de racines ou du logarithme.
141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Questions sur le dév :
-Comment justifiez-vous que exp(N+M) = expNexpM si N et M commutent ? (argument à l'oral avec le binôme de Newton et le produit de Cauchy)
-Vous avez dit qu'on peut aisément vérifier que l'exponentielle est de classe C^1, comment ? (j'ai justifié qu'elle était différentiable en 0 de différentielle l'identité, mais ensuite je me suis embrouillé pour montrer le caractère C^1 alors qu'il suffisait de dire qu'elle était C^infini comme somme d'une série entière)
-Vous dites dans votre plan que l'exponentielle sur M_n(R) n'est pas surjective sur GL_n(R), avez-vous un contre-exemple ? (je mets du temps à en retrouver, ils m'aident en me faisant redire que dét expA = e^trA ; et donc que les matrices inversibles de déterminant négatif ne sont pas atteintes (quel type de raisonnement utilisez vous ? -raisonnement par l'absurde); ils me demandent un exemple concret de taille n, je donne une matrice diagonale avec que des 1 et un -1, je dis que c'est la matrice d'une réflexion orthogonale, on me demande à quelle condition elle est orthogonale, je bégaye (c'est si la base est orthonormée))
Ensuite j'ai un exo sur les matrices semi-simples (qui sont dans mon plan), où je dois dire à quelle condition la matrice 2x2 (a -b ; b a) est semi-simple ; c'est tout le temps le cas (car le polynôme caractéristique est irréductible dès que b est non nul, et c'est une homothétie si b=0).
On passe ensuite au cas général de taille n, je dois montrer qu'une matrice est semi-simple ssi elle est semblale à une matrice diagonale par blocs formée de blocs de taille 1 et de taille 2 de la forme précédente. Il fallait se souvenir que le polynôme minimal d'une telle matrice est le PPCM des polynômes minimaux des blocs, ce que j'ai mis un certain temps à faire.
Deuxième exo : calculer la puissance d'une matrice 2x2. J'ai utilisé une technique décrite dans le plan (qui vient du Mansuy premier chapitre) qui donne directement A^m = (coeff)A + (coeff)I , on m'a fait faire le détail des calculs (ce qui prend du temps avec les petites erreurs dues au stress).
Plutôt bienveillant.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
J’ai proposé en développement un autre « même des noyaux » faisant intervenir le PPCM et le PGCD, ainsi que la dualité (cf Carnet de voyage et algébrie de Caldero-Perronier) et ils ont choisi celui là plutôt que Dunford (comme d’habitude Dunford ras le bol !!)
Questions :
- est ce que ce développement n'est valable que en dim finie ? Finalement non à priori
- redéfinir l'application transposée
- montrer que P(transposée de u) = transposée de P(u) si P est un polynôme : bon jusque là ...
- Montrer que Ker(transposée de u) = Im(u) orthogonal (au sens du dual)
- montrer que (A+B) orthogonal = A orthogonal inter B orthogonal (au sens du dual)
Tout ça c’était sûrement pour vérifier que je connaissais bien le peu de difficulté de mon développement ..
- Une application de mon développement plutôt difficile avec des anneaux du type K[X]/(PQ) et un morphisme de cet anneau dans K[X]/(P) x K[X]/(Q) qui a un polynôme associe sa classe modulo P et modulo Q.. on m'a demandé quelle structure avait le noyau de ce morphisme (c'est un ideal) puis on m'a demandé de la calculer et c'était (P) inter (Q) et après on a posé un endomorphisme bizarre pour utiliser mon développement mais c’est trop flou et j’avais vraiment du mal à comprendre ce qu’ils voulaient..
- Donner un exemple de matrice 2x2 dont le polynôme caractéristique est pas scindé et donner sa décomposition de Dunford du type Semi simple + nilpotent : j'ai dit A =
0 1
-1 0
sa décomposition est A = A + 0 puisque le polynôme minimal de A est X^2 + 1 qui est irréductible donc A est semi simple
- Cest quoi les sous espaces stables de la matrice posée ? Alors on voit que c'est un endomorphisme cyclique donc y'a autant de sous espaces stables que de diviseurs unitaires du polynôme minimal c'est à dire un seul qui est E tout entier
- Et une preuve plus numérique sans utiliser les endomorphismes cycliques ?
Une droite peut pas être stable sinon il y aurait une valeur propre donc il n'y a que E tout entier
- Soit F l'ensemble des endomorphismes cycliques de E : quelle est la topologie ? (Ouvert, fermé ?)
J'ai rien su dire ducoup il m'a dit de montrer que c'est ouvert ..
Donc on pose x dans E et fx la fonction qui a u associe le déterminant de la famille (u^i (x))
Et l'union indexée par les x de E des images réciproques f^(-1)(C*) est un ouvert et c'est exactement l'ensemble des endomorphismes cycliques.
Pas très souriant, parfois même en désaccord entre eux par rapport aux questions qu’on me posait.
Cependant, pas cassant non plus, malgré tout ils ne m’ont pas non plus mis mal à l’aise !
RAS, temps de préparation correct, j’avais prévu 1h30 pour le plan et 1h20 pour les développements et les premières phrases de l’oral.
L’accès aux malles est simple
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103 : Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
Décomposition de Dunford (version algorithmique) #effectif #méthodeEuler
Pas de réponse fournie.
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D'abord des questions pour éclaircir des points du développement
Questions :
1. Dimension de K[u] (degré du polynome minimal) et preuve (j'ai déterminé K [u]~K [X]/($\pi_u$)}, mais plus simplement à l'aide du polynôme minimal, les puissances supérieures au degré du polynôme minimal s'écrivent avec un degré plus petit)
2. Donner la décomposition de Dunford de $\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}$
3. Preuve de la propriété : en dimension finie il existe toujours un polynôme annulateur (avec l'aide du jury)
4. Question sur la division euclidienne de deux polynômes (j'ai écrit A=BQ+R mais ils attendaient le nom?? L'écriture de la division avec les conditions sur le degré du reste a semblé satisfaire le jury)
5. Exemples de polynôme annulateur (avant de repondre ils ont conseillé de prendre des exemples issues de la géométrie). J'ai donné la symétrie axiale dans l'espace en donnant la matrice diagonale dans une base adaptée (ils ont demandé pourquoi u est diagonalisable évident avec la matrice donnée)
6. Connaissez vous ce qu'est un projecteur ? Oui! pop=p donc $x^2-x$ est annulateur
7. Exercice : G sous groupe fini de $GL_2(\mathbb{C})$. Que peut on dire de G? (Astuce : les valeurs propres sont les racines de l'unité)
Bienveillant, le jury a donné plusieurs indications pour répondre aux questions qui m'ont posé problème.
Déroulement de la préparation
Le temps de préparation commence à l'ouverture des sujets dans la "salle de tirage".
Il faut écrire les intitulés des sujets sur une feuille A5
Il faut ensuite se déplacer jusqu'à la salle de préparation avec ses affaires personnelles dans une caisse en plastique.
Les plans sont ramassés 10 minutes avant la fin des 3h pour les photocopies.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
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(Autre dvlpt: Résolution d'une équa diff ordinaire/ suite récurrente sachant factoriser le polynôme caractéristique. Exemple tiré du livre MP, Dunod j'intègre, Warusfel, Ramis, Ruaud, Moulin...)
L'échange a commencé par des éclaircissements sur le dvlpt lui même. Bien justifier que la décomposition donné par le lemme des noyau est valable pour un sous-espace stable car les projecteurs sont donnés par des polynômes en l'endomorphisme. Ensuite, ils m'ont interrogé sur la
- dimension de k[u], donner un majorant;
- polynôme minimal d'un projecteur p, reconnaître que c'est semi-simple, sous-espaces stables de p
- décomposition de Dunford d'un matrice 2 x 2, le même que "PAYEUR" ou bien avec un 2 à la place du 0. Diagonalisable puisqu'elle admet 2 valeurs propres, partie nilpotente nulle donc c'est directement sa décomposition de Dunford.
- indice de nilpotence maximal pour un endomorphisme nilpotent, considérer un élément x dans E\ker(u^(r-1)) et la famille libre (x, u(x), u²(x)...). Appliquer u à différente puissance.
- G sous groupe de GL_n(C), tq tout élément soit de carré l'identité. G Abélien, c'est donc un groupe de matrices qui diagonalise dans une même base, avec valeurs propres \pm 1. Considérer un isomorphisme de groupe Gl_n =Gl_m et conclure que m=n.
Le jury m'a aidé quand j'en avais besoin et laissé réfléchir lorsque je le décidais. Il est rester assez neutre mais plutôt bienveillant.
C'était un peu plus cool que ce que j'imaginais, le jury n'a pas pinaillé sur des détails de mon plan ni posé de question piège.
Les oraux blancs organisé dans ma préparation m'ont donné une idée fidèle du déroulement le jour j.
En revanche dans les dernières minutes de la préparation, je trouve que les messages des surveillants (pensez à prendre votre fiche ou ranger les livres dans le bac ou aller aux toilettes ou que sais-je) sont franchement gênant, ce sont des moments important de révision des développement.
On doit rendre nos brouillons (où on est sensé écrire nos dvlpt). Je ne sais pas si cela compte pour l'évaluation.
13.25
105 : Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.
Pas de réponse fournie.
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-Retour rapide sur le développement pour quelques question de notation (l'un des profs n'aimait pas ma façon d'introduire les endomorphismes d et n), ils ont voulus savoir si j'utilisais bien la décomposition de Dunford pour montrer la surjectivité de l'exponentielle.
-Des questions sur le plan, j'avais oublié de finir ma définition de valeur spectral et ils m'ont fais remarqués qu'en dimension finie (ie dans le cadre de la leçon) valeur spectral et valeur propre c'est la même chose (j'aurais pas du en parler quoi). Ils m'ont demandés comment je justifiais l'existence de l'exponentiel d'un endomorphisme (j'ai un peu galéré). Ils m'ont demandés de démontrer quelques propositions du plan (avec plus ou moins de réussite), et ils sont revenus sur quelques critères de diagonalisation aussi je crois. Pour finir j'ai eu un exo où il fallait trouver la décomposition de Dunford d'une matrice et en déduire que l'application qui associe à une matrice de Mn(C) sa partie nilpotente était non continue.
Le Jury était plutôt souriant, jamais cassant et a aidé beaucoup. Globalement l'oral était plutôt agréable.
On avait plus de 3h entre le tirage du sujet et la fin de la composition (3h05 à 3h10), sinon pour ce premier jour les surveillant ont un peu galérés pour la mise en place.
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Pas de réponse fournie.
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Fluide. Des questions très basiques au début et un exercice plus difficile à la fin (j'ai eu besoin d'un peu d'aide pour l'exercice).
Gentil, aidant. Cependant, ils ont fait deux fautes en essayant de me poser des questions, cela m'a un peu destabilisé.
Pas de réponse fournie.
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