Développement : Sous-algèbre de L(E) dont le seul élément nilpotent est 0

Détails/Enoncé :

Référence : Exercice 3.39 p. 230 - Dugardin, Rezzouk

On considère $n$ est un entier supérieur ou égal à 2, $\mathbf{E}$ est un $\mathbb{C}$-espace vectoriel de dimension $n$ et $\mathcal{A}$ est une sous-algèbre commutative de $\mathcal{L}(\mathbf{E})$ dont le seul élément nilpotent est $0$.

1.a) Soit $u \in \mathcal{A}$. On note $\pi$ son polynôme minimal. Soit $\lambda$ une valeur propre de $u$, de multiplicité $m$ dans le polynôme $\pi$. On écrit alors
$$
\pi (X) = (X - \lambda)^{m}Q(X) \text{, avec } Q(\lambda) \neq 0
$$

On pose enfin
$$
\mathbf{F} = \ker(u - \lambda Id_{\mathbf{E}})^m \text{ et } \mathbf{G} = \ker Q(u)
$$
Expliquer pourquoi $\mathbf{E} = \mathbf{F} \oplus \mathbf{G}$. On note $p$ le projecteur sur $\mathbf{F}$ parrallèlement à $\mathbf{G}$.

b) Démontrer que $p$ est un polynôme en $u$ et en déduire que $(u - \lambda Id_{\mathbf{E}}) \circ p$ est nilpotent.
c) Démontrer que $u$ est diagonalisable.
d) Démontrer qu'il existe une base $\mathcal{B}$ de $\mathbf{E}$ telle que pour tout $u \in \mathcal{A}$, $M_{\mathcal{B}}(u)$ soit diagonale.
e) Conclure que $\dim \mathcal{A} \leq n$.

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