Leçon 154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

(2021) 154
(2023) 154

Dernier rapport du Jury :

(2022 : 154 - Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.) Dans cette leçon, il faut présenter des propriétés de l'ensemble des sous-espaces stables par un endomorphisme. Des études détaillées sont les bienvenues, par exemple dans le cas d'une matrice diagonalisable ou dans le cas d'une matrice nilpotente d'indice maximum. L'étude des endomorphismes cycliques et des endomorphismes semi-simples trouvent tout à fait leur place dans cette leçon. Dans le cas des corps R ou C, on pourra, si on le souhaite, caractériser ces derniers par la fermeture de leur orbite. La réduction des endomorphismes normaux et l'exemple de résolutions d'équations matricielles peuvent être présentés en applications. La décomposition de Frobenius constitue également une application intéressante de cette leçon. Il ne faut pas oublier d'examiner le cas des sous-espaces stables par des familles d'endomorphismes. Ceci peut déboucher par exemple sur des endomorphismes commutants entre eux ou sur la théorie des représentations.

(2019 : 154 - Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.) Dans cette leçon, il faut présenter des propriétés de l’ensemble des sous-espaces stables par un endomorphisme. Des études détaillées sont les bienvenues, par exemple dans le cas d’une matrice diagonalisable ou dans le cas d’une matrice nilpotente d’indice maximum. $\\$ L’étude des endomorphismes cycliques et des endomorphismes semi-simples trouvent tout à fait leur place dans cette leçon. Dans le cas des corps $\textbf{R}$ ou $\textbf{C}$, on pourra, si on le souhaite, caractériser ces derniers par la fermeture de leur orbite. $\\$ La réduction des endomorphismes normaux et l’exemple de résolutions d’équations matricielles peuvent être présentés en applications. $\\$ La décomposition de Frobenius constitue également une application intéressante de cette leçon. Il ne faut pas oublier d’examiner le cas des sous-espaces stables par des familles d’endomorphismes. $\\$ Ceci peut déboucher par exemple sur des endomorphismes commutant entre eux ou sur la théorie des représentations.
(2017 : 154 - Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.) Dans cette leçon, il faut présenter des propriétés de l’ensemble des sous-espaces stables par un endomorphisme. Des études détaillées sont les bienvenues, par exemple dans le cas d’une matrice diagonalisable ou dans le cas d’une matrice nilpotente d’indice maximum. La décomposition de Frobenius trouve tout à fait sa place dans cette leçon. Il ne faut pas oublier d’examiner le cas des sous-espaces stables par des familles d’endomorphismes. Ceci peut déboucher par exemple sur des endomorphismes commutants entre eux ou sur la théorie des représentations.
(2016 : 154 - Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.) Dans cette leçon, il faut présenter des propriétés de l’ensemble des sous-espaces stables par un endomorphisme. Des études détaillées sont les bienvenues, par exemple le cas d’une matrice diagonalisable ou le cas d’une matrice nilpotente d’indice maximum. La décomposition de Frobenius trouve tout à fait sa place dans cette leçon. Il ne faut pas oublier d’examiner le cas des sous-espaces stables par des familles d’endomorphismes. Ceci peut déboucher par exemple sur des endomorphismes commutant entre eux ou sur la théorie des représentations.
(2015 : 154 - Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.) Les candidats doivent s'être interrogés sur les propriétés de l'ensemble des sous-espaces stables par un endomorphisme. Des études détaillées de cas sont les bienvenues, par exemple le cas d'une matrice diagonalisable, le cas d'une matrice nilpotente d'indice maximum. La décomposition de Frobenius trouve tout à fait sa place dans la leçon. Notons qu'il a été ajouté à l'intitulé la notion de familles d'endomorphismes. Ceci peut déboucher par exemple sur des endomorphismes commutant entre eux ou sur la théorie des représentations.
(2014 : 154 - Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.) Les candidats doivent s'être interrogés sur les propriétés de l'ensemble des sous-espaces stables par un endomorphisme. Des études détaillées de cas sont les bienvenues. La décomposition de Frobenius trouve tout à fait sa place dans la leçon. Notons qu'il a été ajouté la notion de familles d'endomorphismes. Ceci peut déboucher par exemple sur des endomorphismes commutant entre eux ou sur la théorie des représentations.

Développements :

Plans/remarques :

2022 : Leçon 154 - Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.


2020 : Leçon 154 - Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Toutes les références sont à la fin du plan.

    Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...
  • Fichier :

2019 : Leçon 154 - Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.


2018 : Leçon 154 - Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.


2017 : Leçon 154 - Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.


2016 : Leçon 154 - Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.


2015 : Leçon 154 - Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.


Retours d'oraux :

2022 : Leçon 154 - Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

  • Leçon choisie :

    154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

  • Autre leçon :

    171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Réduction des endomorphismes normaux

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Beaucoup de questions autour du développement notamment, des questions basiques mais qui ont su tous de même me déstabiliser. Ils ont finit par un exercice classique en me demandant les sous espaces stables d'un endomorphisme nilpotent dont l'indice de nilpotence était la dimension de l'espace.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Un jury très bienveillant et aidant lorsque l'ont bloque. C'était très appréciable surtout lorsque l'on cède à la panique face à des questions simple ça aide à se remobiliser.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    L'oral s'est déroulé comme prévu en terme d'organisation, pour ce qui est des questions un peu étonné que le jury ne s'intéresse pas vraiment aux plans sur ce coup ci.

  • Note obtenue :

    12


2018 : Leçon 154 - Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

  • Leçon choisie :

    154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

  • Autre leçon :

    182 : Applications des nombres complexes à la géométrie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Invariants de similitude (réduction de Frobenius)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    À la fin du développement beaucoup de question sur celui-ci, le jury semblait ne pas comprendre certains points. Ensuite on m'a demandé de déterminer les sous-espaces stables par l'endomorphisme représenté dans la base canonique de $K^4$ par la matrice
    \[\left(
    \begin{array}{cccc}
    1 & 1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 2 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 2
    \end{array}
    \right).\]
    Ensuite un exercice en rapport avec le développement : on pose $F_x=\ker (\pi_{f,x}(f))$, montrer que $E=\cup_{x\in E} F_x$, que peut-on dire de $\pi_{f,x}$ et $\pi_f$ ? ($\pi_{f,x}\mid \pi_f$), que dire des diviseurs de $\pi_f$ : il y en a un nombre fini à coefficient multiplicatif près. Quelle condition est suffisante pour que $\pi_{f,x}= \pi_f$ ?

    Enfin sur le plan : preuve du critère de diagonalisation sur les corps finis, préciser l'énoncé de la décomposition de Dunford de l'exponentielle de $f$ ($k=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, il faut que $f$ admette une décomposition de Dunford), puis de montrer l'équivalence $f$ diagonalisable ssi $exp(f)$ l'est. En toute fin on m'a demandé la preuve du théorème de Maschke, et pourquoi quand on moyennise le produit scalaire cela reste un produit scalaire.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était plutôt neutre, l'un avait l'air agacé parfois.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'ai été surpris des questions sur mon développement qui était classique et pas compliqué.

  • Note obtenue :

    17.25

  • Leçon choisie :

    154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

  • Autre leçon :

    190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Lemme de Maschke

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Il n’y a eu que très peu de questions sur les représentations (que des bases, définitions, premières propriétés, exemples). La majeure partie des questions était sur la décomposition de dunford : démonstration de l’existence, détermination de la décomposition pour une matrice 2x2 triangulaire supérieure avec un paramètre alpha, complexité de l’algorithme.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était très agréable.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    13.5


Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Algèbre linéaire réduction des endomorphismes, R. Mansuy, R. Mneimné (utilisée dans 39 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 276 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 123 versions au total)
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 215 versions au total)
Algèbre , Gourdon (utilisée dans 238 versions au total)
Représentations linéaires des groupes finis , Serre (utilisée dans 6 versions au total)
Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Humphreys (utilisée dans 4 versions au total)
Cours d'algèbre , Perrin (utilisée dans 287 versions au total)
Invitation aux formes quadratiques , Seguin (utilisée dans 5 versions au total)
Elements d'analyse et d'algèbre , Colmez (utilisée dans 17 versions au total)
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni (utilisée dans 92 versions au total)