Développement : Indicateur de Frobenius-Schur

Détails/Enoncé :

Soit $\rho : G \to \text{GL}(V)$ une représentation irréductible. On montre l'équivalence entre :
(i) $\chi=\text{tr}(\rho)$ est réel
(ii) $\rho$ fixe une forme bilinéaire non nulle sur $V$
(iii) $\rho$ fixe une forme bilinéaire non dégénérée sur $V$

Puis, dans le cas où (i) est réalisé, on montre l'équivalence entre
1) $\rho$ se réalise sur $\mathbf R$ (ie $\rho$ fixe un $\mathbf R$-espace vectoriel de dimension $\dim(V)$)
2) $\rho$ fixe une forme symétrique non nulle
2') $\rho$ fixe une forme symétrique non nulle
3) $I=\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \chi(g^2)=1$.

NB : il n'est pas possible de tout faire en 15 min

Recasages pour l'année 2024 :

Versions :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométrie, tome 2, Philippe Caldero et Jérôme Germoni (utilisée dans 20 versions au total)