Leçon 157 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

(2023) 158

Dernier rapport du Jury :

(2023 : 158 - Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.) Le théorème spectral est indispensable dans cette leçon. Une place importante mérite d'être faite au cas particulier des matrices symétriques positives et dénies positives ; les candidates et candidats doivent connaître leurs propriétés fondamentales, leur rôle, et la structure de leur ensemble. La notion de signature pourra être présentée en montrant comment elle détermine la classe de congruence d'une matrice symétrique réelle. L'action du groupe linéaire et du groupe orthogonal sur l'espace des matrices symétriques peut donner un cadre naturel à cette leçon. Le lien avec les formes quadratiques et les formes hermitiennes est incontournable. L'orthogonalisation simultanée est un résultat important de cette leçon. Il faut en connaître les applications géométriques aux quadriques. Les candidates et candidats maîtrisant ces notions pourront illustrer la leçon en évoquant le cas des matrices de covariance de vecteurs aléatoires et discuter les conditions en assurant le caractère inversible, la décomposition de Cholesky, qui a de nombreuses applications pour le calcul scientifique (en lien avec la résolution de systèmes linéaires ou de problèmes de moindres carrés) ou en probabilités (construction d'un vecteur gaussien de matrice de covariance donnée à partir d'un vecteur gaussien de matrice de covariance identité), ou la décomposition en valeurs singulières d'une matrice (particulièrement importante pour le traitement massif de données).

(2022 : 158 - Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.) Le théorème spectral est indispensable dans cette leçon. Une place importante mérite d'être faite au cas particulier des matrices symétriques positives et dénies positives ; les candidats doivent connaître leurs propriétés fondamentales, leur rôle, et la structure de leur ensemble. La notion de signature pourra être présentée en montrant comment elle détermine la classe de congruence d'une matrice symétrique réelle. L'action du groupe linéaire et du groupe orthogonal sur l'espace des matrices symétriques peut donner un cadre naturel à cette leçon. Le lien avec les formes quadratiques et les formes hermitiennes est incontournable. L'orthogonalisation simultanée est un résultat important de cette leçon. Il faut en connaître les applications géométriques aux quadriques. Les candidats familiers avec ces notions pourront illustrer la leçon en évoquant le cas des matrices de covariance de vecteurs aléatoires et discuter les conditions en assurant le caractère inversible. Une discussion de la décomposition de Cholesky, qui a de nombreuses applications pour le calcul scientifique (en lien avec la résolution de systèmes linéaires ou de problèmes de moindres carrés) ou en probabilités (construction d'un vecteur gaussien de matrice de covariance donnée à partir d'un vecteur gaussien de matrice de covariance identité), peut mériter sa place dans cette leçon. On poura également évoquer la décomposition en valeurs singulières d'une matrice (particulièrement importante pour le traitement massif de données).
(2019 : 158 - Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.) Le théorème spectral est indispensable dans cette leçon sans toutefois constituer un développement consistant. Une place importante mérite d’être faite au cas particulier des matrices symétriques positives et définies positives ; les candidats doivent connaître leurs propriétés fondamentales, leur rôle, et la structure de leur ensemble. La notion de signature pourra être présentée en montrant comment elle détermine la classe de congruence d’une matrice symétrique réelle. L’action du groupe linéaire et du groupe orthogonal sur l’espace des matrices symétriques peut donner un cadre naturel à cette leçon. Le lien avec les formes quadratiques et les formes hermitiennes est incontournable. L’orthogonalisation simultanée est un résultat important de cette leçon. Il faut en connaître les applications géométriques aux quadriques. $\\$ Les candidats familiers avec ces notions pourront illustrer la leçon en évoquant le cas des matrices de covariance de vecteurs aléatoires et discuter les conditions en assurant le caractère inversible. $\\$ Une discussion de la décomposition de Cholesky, qui a de nombreuses applications pour le calcul scientifique (en lien avec la résolution de systèmes linéaires ou de problèmes de moindres carrés) ou en probabilités (construction d’un vecteur gaussien de matrice de covariance donnée à partir d’un vecteur gaussien de matrice de covariance identité), peut mériter sa place dans cette leçon. On pourra également évoquer la décomposition en valeurs singulières d’une matrice (particulièrement importante pour le traitement massif de données).
(2017 : 158 - Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.) Le théorème spectral est indispensable dans cette leçon sans toutefois constituer un développement consistant. La notion de signature doit être présentée ainsi que son unicité dans la classe de congruence d’une matrice symétrique réelle. L’action du groupe linéaire et du groupe orthogonal sur l’espace des matrices symétriques peut donner un cadre naturel à cette leçon. Le lien avec les formes quadratiques et les formes hermitiennes est incontournable. La partie réelle et la partie imaginaire d’un produit hermitien définissent des structures sur l’espace vectoriel réel sous-jacent. L’orthogonalisation simultanée est un résultat important de cette leçon. Il faut en connaître les applications géométriques aux quadriques. Les candidats familiers avec ces notions pourront illustrer la leçon en évoquant le cas des matrices de covariance de vecteurs aléatoires et discuter les conditions en assurant le caractère inversible. Une discussion de la décomposition de Cholesky, qui a de nombreuses applications pour le calcul scientifique (en lien avec la résolution de systèmes linéaires ou de problèmes de moindres carrés) ou en probabilités (construction d’un vecteur gaussien de matrice de covariance donnée à partir d’un vecteur gaussien de matrice de covariance identité), peut mériter sa place dans cette leçon.
(2016 : 158 - Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.) Le théorème spectral est indispensable dans cette leçon sans toutefois être un développement consistant. La notion de signature doit être présentée ainsi que son unicité dans la classe de congruence d’une matrice symétrique réelle. L’action du groupe linéaire et du groupe orthogonal sur l’espace des matrices symétriques peut donner un cadre naturel à cette leçon. Le lien avec les formes quadratiques et les formes hermitiennes est incontournable. La partie réelle et la partie imaginaire d’un produit hermitien définissent des structures sur l’espace vectoriel réel sous-jacent. L’orthogonalisation simultanée est un résultat important de cette leçon. Il faut en connaître les applications géométriques aux quadriques.
(2015 : 158 - Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.) C'est une leçon transversale. La notion de signature doit bien sûr figurer dans la leçon et on ne doit surtout pas se cantonner au cas des matrices définies positives. L'action du groupe linéaire sur l'espace des matrices symétriques peut donner un cadre naturel à cette leçon. Curieusement, il est fréquent que le candidat énonce l'existence de la signature d'une matrice symétrique réelle sans en énoncer l'unicité dans sa classe de congruence. L'orthogonalisation simultanée est un résultat important de cette leçon. Il faut en connaître les applications géométriques aux quadriques. On doit faire le lien avec les formes quadratiques et les formes hermitiennes. La partie réelle et la partie imaginaire d'un produit hermitien définissent des structures sur l'espace vectoriel réel sous-jacent.
(2014 : 158 - Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.) C'est une leçon transversale. La notion de signature doit figurer dans la leçon et on ne doit surtout pas se cantonner au cas des matrices définies positives. Curieusement, il est fréquent que le candidat énonce l'existence de la signature d'une matrice symétrique réelle sans en énoncer l'unicité dans sa classe de congruence. On doit faire le lien avec les formes quadratiques et les formes hermitiennes. La partie réelle et la partie imaginaire d'un produit hermitien définissent des structures sur l'espace vectoriel réel sous-jacent.

Développements :

Plans/remarques :

2024 : Leçon 157 - Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Pas mal de références à maîtriser pour cette leçon. Il faut, à mon avis, éviter au maximum les développements d'analyse (type lemme de Morse) en algèbre.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
  • Fichier :

2023 : Leçon 158 - Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Leçon présentée en binôme pendant l'année. Pour les couplages finaux j'avais remplacé le dvp décomposition polaire par la méthode du gradient. Les références sont à la fin du pdf
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.
  • Fichier :

2022 : Leçon 158 - Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.


2020 : Leçon 158 - Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Toutes les références sont à la fin du plan.

    Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...
  • Fichier :

2019 : Leçon 158 - Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.


2018 : Leçon 158 - Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.


2017 : Leçon 158 - Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.


2016 : Leçon 158 - Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.


2015 : Leçon 158 - Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.


Retours d'oraux :

2024 : Leçon 157 - Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

  • Leçon choisie :

    157 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

  • Autre leçon :

    106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    L'exponentielle induit un homéomorphisme entre Sn(R) et Sn(R)++

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Assez déçu du tirage, je tombe sur deux leçons que j'ai préparé mais loin de mes sujets de prédilections.

    J’ai essayé de faire ma leçon rapidement parce que je sais que la méthode de gradient est assez longue donc je voulais bien l’avoir en tête, j’ai pas été trop ambitieux sur le plan, je me suis cantonné au minimum.

    Le jury me demande l’autre développement au final, celui que j’avais déjà présenté l’année dernière. A la suite du dev, on me demande de définir l’exponentielle de matrice, je crois que je l'ai pas trop fait proprement malheureusement, aussi de préciser mon polynôme interpolateur que j'utilise dans la preuve, et d'expliquer pourquoi la norme 2 dans le cas des matrices symétriques donne le rayon spectral. Aussi, on me demande pourquoi $A↦A−1$ est continue (il faut passer par la formule avec la comatrice) et pourquoi $\exp(PAP^{-1})=P\exp(A)P^{-1}$ (Argument de continuité).

    Puis on passe rapidement au plan, on me demande si en plus de la somme directe entre les matrices symétriques et antisymétriques, il n’y a pas autre chose d’un point de vue euclidien. Donc on a regardé la forme Trace et en fait les deux espaces sont orthogonaux.

    Ensuite, par rapport au théorème spectral, on me demande pourquoi les espaces propres d'une matrice symétrique sont orthogonaux , je m’exécute. Enfin, on m’interroge sur une proposition de mon plan qui dit $S_n^{++}(\mathbb{R})$ est ouvert dans $M_n(\mathbb{R})$ (J'ai mal dû lire ce qui était écrit dans le Rombaldi), finalement ils m’ont dit que c’était plutôt ouvert dans $S_n(\mathbb{R})$ et l’oral s’est arrêté là.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Pas de réponse fournie.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.


2022 : Leçon 158 - Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

  • Leçon choisie :

    158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

  • Autre leçon :

    108 : Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Indicateur de Frobenius-Schur

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Au début, des questions sur le développement : quelques rectifications mineures (oubli de lettres, mauvais mot, etc), puis on me demande à quoi tout cela sert. Je leur parle du cas où on a des actions réelles, ça donne des identités ; je dis aussi que ça peut permettre de distinguer deux groupes (il me demande un exemple : le groupe diédral a une représentation irréductible réelle de degré 2, alors que celle des quaternions n’est pas réalisable sur les réels).
    Pour les questions :
    — Calculer le rang de $^tAA$ ; pourquoi $\ker(^t AA)= ker(A)$ ?
    — Donner une matrice symétrique complexe non diagonalisable (j’ai un peu eu du mal mais j’ai trouvé après des indications)
    — Combien d’orbites pour la congruence sur les matrices symétriques réelles ? (réponse : $n(n+1)/2 +n+ 1$)
    — Est-ce que $\mathcal S^{+}_{n}(\mathbf R)$ a une structure algébrique ? Et $\mathcal S^{++}_{n}(\mathbf R)$?
    — Montrer que $\text O_n(\mathbf R)$ est un sous-groupe compact maximal de $\text{GL}_n(\mathbf R)$ (celui-là j’ai un peu galéré ; cf Caldero-Germoni pour détails)— J’ai parlé de réduction simultanée de deux formes quadratiques, mais ils ne l’avaient pas vu dans mon plan : ils m’ont demandé ce que c’était.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Il était à l'écoute, et pouvait aider au besoin.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Je me suis moi-même surpris au temps sur le développement.

  • Note obtenue :

    18.25


Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 251 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 408 versions au total)
Algèbre , Gourdon (utilisée dans 301 versions au total)
Petit guide de calcul différentiel , Rouvière (utilisée dans 165 versions au total)
Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation , Ciarlet (utilisée dans 54 versions au total)
Oraux X-ENS Algèbre 3 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 60 versions au total)
Algèbre et probabilités, Gourdon (utilisée dans 49 versions au total)
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni (utilisée dans 49 versions au total)
Probabilités et statistiques pour l'épreuvre de modélisation à l'agrégation de mathématiques, Chabanol, Ruch (utilisée dans 21 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 132 versions au total)
Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier (utilisée dans 76 versions au total)
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni (utilisée dans 109 versions au total)
Thèmes de Géométrie, Alessandri (utilisée dans 7 versions au total)
Algèbre linéaire , Grifone (utilisée dans 93 versions au total)
Algèbre linéaire numérique., Allaire, Grégoire & Kaber, Sidi Mahmoud (utilisée dans 8 versions au total)
Algèbre linéaire numérique, Allaire (utilisée dans 16 versions au total)
Statistique mathématique en action, Rivoirard, Stoltz (utilisée dans 5 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 458 versions au total)
Cours d'algèbre , Perrin (utilisée dans 377 versions au total)
Analyse numérique et optimisation : une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique, Allaire (utilisée dans 28 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 139 versions au total)
Matrices , Serre (utilisée dans 10 versions au total)