Action du groupe modulaire sur le demi-plan de Poincaré

Ellipsoïde de John Loewner

Théorème du point fixe de Kakutani et sous-groupes compacts de GLn(R)

Action du groupe modulaire sur le demi-plan de Poincaré

Théorème de Cauchy + Condition suffisante pour qu’un sous groupe soit distingué

Théorème du point fixe de Kakutani et sous-groupes compacts de GLn(R)

L'application est, je trouve, très sympa. J'ai mis un complément sur les produits scalaires invariants et l'équivalence entre l'existence d'un produit scalaire invariant et le fait d'être conjugué à un sous-groupe de $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$

Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

Ce plan est à mon avis trop long pour être préparé en 3h : il faut faire des choix (= ne pas parler de LU et Cholesky).

N'hésitez pas à m'écrire si vous repérez des coquilles.

Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

J'ai préparé ce plan en janvier, juste avant mes premiers oraux blancs et je suis tombé dessus le jour J (vous pourrez retrouver mon retour d'oral sur ce site). Vous verrez que mon plan ici est un peu différent de celui que j'ai adopté (j'ai pu notamment rajouter une partie combinatoire sur les corps finis le jour J) mais le contenu est globalement similaire. J'avais un peu raccourci le début pour mon oral notamment.
D'ailleurs si vous voulez rajouter une application au fait que tout sous-groupe compact de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ admette un produit scalaire invariant, vous pouvez mettre que si $(E, \Vert \cdot \Vert)$ est un $\mathbb{R}$-evn de dimension finie tel que le groupe $\mathrm{O}(E) := \{u \in \mathrm{GL}(E) \text{ }| \text{ }\forall x \in E, \quad \Vert u(x) \Vert = \Vert x \Vert\}$ agit transitivement sur la sphère unité de E pour la norme ambiante, alors cette norme est euclidienne !