Leçon 106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

150 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.

Générateurs de O(E) et SO(E)

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

Je me suis un peu fait coincée sur le lien entre Générateurs de O(E) et SO(E) et Pivot de Gauss que j'ai présenté dans le mauvais sens / mal en défense de plan et sur quoi je me suis pas vraiment rattrapée pendant les questions.

Il y a eu la question de réduction des isométries sous la forme diagonale par bloc : (Bloc Id_r, Bloc -Id_s, Blocs de dimension 2 de rotation theta)
Un rotation d'angle theta se construit comme produit de quelles 2 réflexions ?
Question pour justifier une formule du plan, qui revenait à dénombrer les racines n ème de 1 dans le corps F_q. J'avais à peu près 90% de la réponse et au moment de conclure, pas moyen de mettre 1 et 1 ensemble pour faire 2 donc ils m'ont laissé galérer un moment puis m'ont fait changer de question.

Souvent je trouvais que la question était peu claire, et quand un jury différent essayait de reformuler ou d'orienter ce n'était pas mieux. Je ne sais pas si c'est eux qui sont vraiment flous pour ne pas donner la réponse mais posent la question de manière trop peu claire, ou si avec le stress et la chaleur mon cerveau avait déjà pris des vacances...

Je me souviens peu des questions en elle-même, mais j'ai trouvé que le niveau des questions était vraiment pertinent : des questions auxquelles j'ai pu répondre du tac au tac, des questions auxquelles j'ai pu réfléchir et répondre, des questions qui m'ont bloquée. Je me suis dit qu'ils avaient à la fois estimé mon niveau et mes limites.

Un peu manque de recul et du stress qui peut faire faire des bêtises et je n'ai pas l'impression au vu des notes que ce soit trop rédhibitoire, ils doivent avoir l'habitude.

Les méta plans préparés en amont sont partis en fumée face à la réalité du jour J mais plutôt que de chercher à faire à la mémoire j'ai juste repris les bouquins que j'avais l'habitude d'utiliser et j'ai construit à partir de là.

13.75

106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

150 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.

Morphismes continus du cercle dans GLn(R)

• Le groupe SO3(R) est simple

Pas de réponse fournie.

Plan : (j’ai principalement suivi le Szpirglas que je trouve vraiment super pour cette leçon, avec
même une petite mise en contexte historique pour notre accroche).
I Le groupe linéaire.
1 Définitions et premières propriétés.
2 Générateurs.
3 Centre et commutateurs.
4 Propriétés particulières selon le corps de base.
II Le groupe orthogonal.
1 Cas général.
2 Cas de l’espace euclidien canonique. (dev 1 et 2)
Les développements 1 et 2 sont dans la même sous-partie donc c’est un peu chiant mais en vrai le
premier a juste besoin de la définition des matrices de rotation sinon il est très différent du 2e dans
tous les aspects donc c’est ok.
\textbf{Défense du plan : }J'ai commencé par une petite accroche historique grâce à ce qui est dit dans le Szpirglas (gloire aux livres qui font ça). Je me suis ensuite inspiré d'un rapport qu'on avait vu sur agreg-maths où il mettait le groupe linéaire au centre d'un triangle dont les sommets sont algèbre linéaire, groupe et géométrie, donc j'ai fait pareil et j'ai expliqué qu'est-ce qui illustrait chaque aspect dans mon plan. Pour l'algèbre linéaire : la caractérisation des endomorphismes inversibles en dim finie; pour l'aspect groupe : plus ou moins toute la partie I; pour l'aspect géométrie : le principe de conjugaison, la recherche de sous-groupes comme stabilisateurs pour certaines actions, et notamment l'action sur les f.q. non dégénérées, qui donne le groupe orthogonal.
\newline
\textbf{Déroulement du développement : }Ça s'est plutôt bien passé comme j'ai eu le temps de le revoir pendant la préparation, et j'ai eu le temps de finir assez largement en prenant mon temps sur la fin pour expliquer comment on revient à une relation de similitude dans \(\mathbb{R}\) qui ne dépend pas de \(t\). J'ai par contre admis que les morphismes continus \(\mathbb{R}\to GL_n(\mathbb{R})\) sont de la forme \(t\mapsto e^{tA}\) en disant que la preuve n'était pas trop dans l'esprit de la leçon.
\newline
\textbf{Questions : }\newline
(Questions sur le développement)\newline
\textbf{1)} Même si c'est pas trop dans l'esprit de la leçon, quelle topologie vous mettez sur \(\mathbb{S}^1\)?\newline
On a une bijection \(\mathbb{S}^1\simeq\mathbb{R}/\mathbb{Z}\) et donc on peut mettre la topologie quotient.\newline
\textbf{2)} Qu'est-ce que vous pouvez dire de plus sur ce genre de topologie et d'application?\newline
Au début je comprends pas trop ce qu'il veut puis je dis que c'est un revêtement et il semble content (un peu déçu de pas avoir plus insisté là dessus pcq je connais un peu en vrai)\newline
(Questions sur le plan)\newline
\textbf{3)} Qu'est-ce que vous entendez par \(GL_n(\mathbb{K})=GL(\mathbb{K}^n)\)?\newline
En effet c'est pas très rigoureux dans mon plan mais on peut identifier les deux espaces via la base canonique de \(\mathbb{K}^n\) qui nous donne un isomorphisme euh... d'espaces vectoriels entre \(M_n(\mathbb{K})\) et \(\mathcal{L}(\mathbb{K}^n)\).\newline
-Isomorphisme d'espace vectoriel, vous êtes sûr?\newline
Ah oui non de \(\mathbb{K}\)-algèbres.\newline
(exos)\newline
\textbf{4)} Est-ce que vous pouvez dire des choses plus précises sur les groupes linéaires des corps finis (dans mon plan j'avais juste mis les cardinaux)?\newline
Oui on a des isomorphismes exceptionnels mais je les connais pas.\newline
-Bah cool du coup montrez moi \(PGL_2(\mathbb{F}_3)\simeq\mathfrak{S}_4\).\newline
Je dis que je connais quand même la méthode donc on va regarder l'action \(PGL_2(\mathbb{F}_3)\) sur les droites de \(\mathbb{F}_3^3\) (là ils me font me reprendre sur la dimension) ah oui non les droites de \(\mathbb{F}_3^2\). L'action est fidèle pcq un endo qui fixe toutes les droites est une homothétie donc on a un morphisme injectif \(PGL_2(\mathbb{F}_3)\hookrightarrow\mathfrak{S}_4\) et il est surjectif car (et la je commence à dire un peu de la merde).\newline
-Y'a pas des techniques pour montrer la surjectivité dans ces cas?\newline
Ah bah oui on va utiliser les cardinaux. Donc j'applique bêtement la formule du plan et je trouve le même cardinal que \(\mathfrak{S}_4\) donc je conclus.\newline
\textbf{5)} Quelles sont les propriétés topologiques de \(O_n(\mathbb{R})\)?\newline
Tous les sous-groupes compacts de \(GL_n(\mathbb{R})\) sont conjugués à \(O_n(\mathbb{R})\) mais je saurais pas le montrer.\newline
-Bah du coup qu'est-ce que vous pouvez dire de plus simple déjà?\newline
Ah oui du coup \(O_n(\mathbb{R})\) est compact, j'ai oublié de le mettre dans mon plan.\newline
\textbf{6)} Comment vous pouvez expliquer la topologie de \(GL_n(\mathbb{R})\) à partir de celle de \(O_n(\mathbb{R})\)?\newline
Hmmmm... ah oui on peut utiliser la décomposition polaire pour montrer un homéo \(GL_n(\mathbb{R})\simeq O_n(\mathbb{R})\times S_n^{++}(\mathbb{R})\).\newline
\textbf{7)} Du coup il reste à expliquer la topologie de \(S_n^{++}\).\newline
Je sais plus trop ce que je dis mais c'était un peu de la merde\newline
-A quoi ça ressemble géométriquement?\newline
Un cône\newline
-Essayez de voir en dimension 1 pour se donner une idée pour trouver une paramétrisation ou quoi.\newline
En dimension 1 je dis c'est \(\mathbb{R}_+^*\) mais je suis un peu perdu, je dis qu'on peut essayer de diagonaliser dans une bon et de voir avec les valeurs propres mais je sais que c'est un peu nul ça va rien donner.\newline
-Le problème c'est la matrice de transition, mais déjà on veut quelle dimension?\newline
\(S_n^{++}\) c'est un ouvert de \(S_n^+\), et même de \(S_n\) donc c'est de dimension \(\dfrac{n(n+1)}{2}\).\newline
-Donc on peut essayer de paramétriser par \(S_n\).\newline
Ah oui l'exponentielle donne un homéo \(\exp:S_n\isoto S_n^{++}\).\newline
\textbf{9)} Là un des jurys regarde les autres en souriant et dit qu'il va revenir sur le groupe orthogonal (contexte c'est Clément de Seguins Pazzis aka monsieur formes quadratiques donc je tremble un peu) : dans votre plan on a une formule pour \(SO_2(\mathbb{F}_q)\), c'est cyclique comme dans le cas de \(\mathbb{R}\) donc on va essayer de le montrer.\newline
En fait j'avais mis cet item pcq je le faisais en dev dans d'autres leçons mais il commence à me faire partir dans une autre démo et j'ai pas réussi à m'imposer et montrer la démo que je connaissais. Du coup j'ai pas mal bégayé et on est à peu près allé jusqu'au bout mais il m'a beaucoup aidé. L'idée globalement c'était de prendre \(\mathbb{F}_{q^2}\) comme ev de dim 2 sur \(\mathbb{F}_q\) et de construire une bonne forme quadratique sur l'espace. Pour ça fallait considérer le groupe de galois de l'extension, dire qu'il était cyclique d'ordre 2 engendré par un \(\sigma\) puis considérer la forme quadratique \(N(x)=x\sigma(x)\) (qui est un truc très usuel en théorie de galois je crois) et montrer que \(SO_2(\mathbb{F}_q)=SO(N)\). Ensuite fallait s'inspirer du cas de \(\mathbb{R}\) pour regarder l'action \(SO\curvearrowright\{(x,y)\in\mathbb{F}_{q^2},x^2+y^2=1\}\) et montrer qu'elle était simplement transitive. J'ai pas eu le temps de finir après ça donc jsp trop comment conclure exactement mais il a dit que c'était simple à partir de ce moment.\newline

C'était deux hommes et une femme (dont Clément de Seguins Pazzis) et ils étaient très sympa, même si monsieur formes quadratiques avait le visage assez fermé et me faisait un peu peur. Ils m'aidaient pas mal quand je bloquais, c'était assez agréable. Y'avait aussi un spectateur.

Mon plan était assez long, environ 60 items, mais comme c'était quasi tout dans le Szpirglas (et un peu le Perrin) j'ai quand même eu une heure pour réviser mes dev et préparer ma défense. Pour les infos pratiques, c'est les mêmes que les autres (il fait vraiment chaud). Et je conseille de noter sur le brouillon au début tous ce qui est vraiment nécessaire dans la leçon (par rapport à ce qui est dit dans le rapport) et de barrer au fur et à mesure pour être sûr de rien oublier.

19.75

106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

144 : Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

Décomposition polaire

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

Des questions sur mon développement (comment je construis formellement Q le polynome associant les valeurs propres lambda_i de AtA à leur racine, est ce que je connais des applications de la decomposition polaire)
Puis des corrections de mon plan (j'ai du corrigé les formules du cardinal de Gln(K) et Sln(K) où K est un corps fini, j'avais fait des erreurs de recopiage...)
Ensuite des exercices portant surtout sur des sous groupes de Gln(K) (par exemple si G est un sous groupe de Gln(K) vérifiant pour tout A dans G : A^2=In, alors G est abelien et donner son cardinal)

très souriants, encourageants. Ils m'ont donné des pistes régulièrement et si je ne voyais vraiment pas ils disaient "pas grave on passe à autre chose"

L'oral s'est passé mieux que je ne le pensais notamment grâce au jury qui m'a mise en confiance.

13.75

106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

121 : Nombres premiers. Applications.

Théorème de Von Neumann des sous-variétés

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

Plan :

I- $\mathrm{GL}(E)$ et $\mathrm{SL}(E)$, générateurs. (Perrin, Rombaldi)
1. Déterminant et $\mathrm{SL}(E)$,
2. Centres et générateurs,
3. Aspects combinatoires dans les corps finis.

II- Actions et sous-groupes remarquables de $\mathrm{GL}(E)$ (Rombaldi, Perrin)
1. Translation et équivalence.
2. Conjugaison et réduction.
3. Stabilisateurs et autres sous-groupes remarquables.

III- Aspects topologiques et géométriques (Rombaldi, Alessandri, Mneimné-Testard).

Je suis content du plan, je l'avais déjà préparé pendant l'année mais cette fois j'ai pu rajouter la partie de combinatoire sur les corps finis qui est un vrai plus dans cette leçon. La partie I tourne autour de la simplicité de PSL$(E)$ globalement, la partie II permet de mettre en valeur les aspects présentés dans le rapport du jury (stabilisateurs d'actions sur des sommes directes, des drapeaux, des formes quadratiques avec de la classification...) et qui est très bien présenté dans le Rombaldi, avec une sous-partie 2. qui n'a plus ou moins qu'un seul item : la réduction de Frobenius. J'ai pu mettre en annexe un tableau regroupant les différentes actions et les "formes normales" dans une orbite. La troisièle partie, enfin, traite du cas $K = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ avec de la topologie (compacité de $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$, densité de $\mathrm{GL}_n$ et connexité par arcs lorsque $K = \mathbb{C}$, connexité par arcs également de $\mathrm{SO}_n(\mathbb{R})$,...) et également de la géométrie en lien avec la topologie (produits scalaires invariants sur les sous-groupes compacts de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ : mon premier développement, et une petite partie sur l'exponentielle et les groupes de Lie matriciels avec mon deuxième développement : le théorème de Cartan-Von Neumann disant que les sous-groupes fermés de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ sont des sous-variétés de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$).

Défense du plan :

Je fais au tableau un triangle avec un sommet algèbre linéaire, un sommet géométrie et un sommet groupe et j'ai mis au milieu GL(E) (celui qui unifie le tryptique) et ça justifiait donc l'intérêt de ce groupe. J'ai dit que la partie I traitait plutôt de l'aspect groupe (générateurs, centres, simplicité...), la partie II faisait le lien entre groupes et algèbre linéaire en regardant des actions sur des objets particuliers (sommes directes, drapeaux, formes quadratiques). Enfin je disais que la partie III traitait du lien entre groupes et géométrie avec un peu de topologie en plus.

Questions posées
I- Développement
1. Où est-ce qu'on utilise, dans le développement, que $\mathfrak{g}$ et $\mathfrak{g}'$ (un supplémentaire) sont supplémentaires ? Je réponds que ça intervient clairement pour appliquer le théorème d'inversion locale à la fonction :
\[
\begin{array}{ccrcl}
\Phi & : & \mathfrak{g} \times \mathfrak{g}' & \longrightarrow & \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\\
& & (M,M') & \longmapsto & \exp(M)\exp(M').
\end{array}
\]
en $(\textbf{O}_n,\textbf{O}_n)$.
2. Réexpliquer pourquoi il existe un voisinage $W \in \mathcal{V}_{\mathfrak{g}'}(\textbf{O}_n)$ tel que $\exp(W) \cap G = \{I_n\}$. On utilise le lemme que j'ai montré précédemment : Soit $(H_k)_{k \in \mathbb{N}} \in G^{\mathbb{N}}$ tel que :
\[
H_k \xrightarrow[k \to +\infty]{} I_n
\]
et :
\[
\forall k \in \mathbb{N}, \quad H_k \neq I_n.
\]
Alors toute valeur d'adhérence de la suite $\displaystyle \left(\frac{\mathrm{Log}(H_k)}{\Vert \mathrm{Log}(H_k) \Vert}\right)$ (bien définie à partir d'un certain rang) appartient à l'algèbre de Lie $\mathfrak{g}$.

En effet, grâce à ce lemme, on raisonne par l'absurde : si pour tout voisinage $W$ de $\textbf{O}_n$ dans $\mathfrak{g}'$, $\exp(W) \cap G \neq \{I_n\}$, alors on a :
\[
\forall k \in \mathbb{N}^*, \quad \exp\left(B_{\mathfrak{g}'}\left(\textbf{O}_n,\frac{1}{k}\right)\right)\cap G \neq \{I_n\}.
\]
On a donc à disposition une suite $H_k = \exp(N_k)$ avec $N_k \xrightarrow[k \to +\infty]{}0$, $N_k \in \mathfrak{g}'$ et $H_k \in G \setminus \{I_n\}$. Ainsi, d'après le lemme, les valeurs d'adhérence de la suite $\displaystyle \left(\frac{N_k}{\Vert N_k \Vert}\right)$ sont dans $\mathfrak{g}$, mais également dans $\mathfrak{g}'$ par fermeture de ce sous-espace vectoriel de dimension finie ! ABUSRDE !
3. Comment est défini l'exponentielle/le logarithme de matrice ? Si on prend une norme d'algèbre sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$, alors, pour tout $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$, la série :
\[
\sum_{k \geqslant 0} \frac{M^k}{k!}
\]
converge absolument, donc converge. Cela définit donc une application $\exp$. Par convergence normale, on montre que $\exp$ est en fait de classe $\mathcal{C}^{\infty}$. De même, pour toute matrice $M \in B(I_n,1)$, la série :
\[
\sum_{k \geqslant 1}(-1)^{k-1}\frac{(M-I_n)^k}{k}
\]
converge absolument, donc converge. Cela définit une application $\mathrm{Log}$ et on vérifie qu'il s'agit de la réciproque de $\exp$ sur ce voisinage.
4. Redéfinir ce qu'est une sous-variété et l'espace tangent en un point. Je bugue un peu mais en refaisant un dessin j'arrive à retrouver la définition. Dans mon développement, j'ai utilisé la définition suivante de l'espace tangent en un point $x$ d'une sous-variété $M$ de $\mathbb{R}^n$:
\[
T_xM = \left\{\gamma'(0), \text{ } \gamma : (-1,1) \longrightarrow M, \text{ }\gamma(0) = x\right\}.
\]

II- Plan
1. Item $4$ : ça veut dire quoi ? J'avais mis la suite exacte :
\[
\{e\} \rightarrow \mathrm{SL}(E) \hookrightarrow \mathrm{GL}(E) \overset{\det}{\twoheadrightarrow} K^* \rightarrow \{e\} \
\]
en disant que ça permettait de montrer l'isomorphisme suivant :
\[
\mathrm{GL}(E) \simeq \mathrm{SL}(E) \rtimes K^*.
\]
Je réexplique donc quelle est la loi du produit semi-direct : on la trouve à partir d'une section du déterminant, qui doit être un morphisme de groupes :
\[
\begin{array}{rcl}
K^* & \longrightarrow & \mathrm{GL}(E) \\
\lambda & \longmapsto & D_{\lambda} := \mathrm{Diag}(1,\ldots,1,\lambda).
\end{array}
\]
et on a la loi :
\[
\forall (M_1,M_2,\lambda_1,\lambda_2) \in \mathrm{SL}(E)^2\times \left(K^*\right)^2, \quad (M_1,\lambda_1) \rtimes (M_2,\lambda_2) = (M_1D_{\lambda_1}M_2D_{\lambda_1}^{-1},\lambda_1\lambda_2),
\]
de sorte que l'application :
\[
\begin{array}{rcl}
\mathrm{SL}(E) \rtimes K^* & \longrightarrow & \mathrm{GL}(E) \\
(M,\lambda) & \longmapsto & MD_{\lambda}
\end{array}
\]
soit un isomorphisme de groupe. Le jury a l'air content.
2. Redémontrer les formules des cardinaux sur les corps finis. Pour rappel :
- $\left \vert \mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_q)\right\vert = \left(q^n-1\right)\left(q^n-q\right)\ldots\left(q^n-q^{n-1}\right)$.
- $\displaystyle \left \vert \mathrm{SL}_n(\mathbb{F}_q)\right \vert = \left \vert \mathrm{PGL}_n(\mathbb{F}_q)\right\vert = \frac{\left \vert \mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_q)\right\vert}{q-1}$,
- $\displaystyle \left \vert \mathrm{PSL}_n(\mathbb{F}_q)\right\vert = \frac{\left \vert \mathrm{SL}_n(\mathbb{F}_q)\right\vert}{n \wedge (q-1)}$.

Les parties délicates à justifier sont le cardinal de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_q)$ et celui de $\mathrm{PSL}_n(\mathbb{F}_q)$. Pour $\mathrm{GL}_n$, on dénombre les bases sur $\mathbb{F}_q^n$ : le premier vecteur de base doit être non-nul : $q^n-1$ choix. Le deuxième vecteur de base doit être non-colinéaire au premier. On retire donc un sev de dimension $1$ : $q^n-q$ choix. Le troisième vecteur de base ne doit pas être dans le plan engendré par les deux premiers vecteurs de base : $q^n-q^2$ choix, etc. Enfin, pour justifier le cardinal de $\mathrm{PSL}_n(\mathbb{F}_q)$, il faut dire que le centre de $\mathrm{SL}_n(\mathbb{F}_q)$ est constitué des homothéties qui sont dans $\mathrm{SL}_n(\mathbb{F}_q)$. Ce doit donc être des homothéties de rapport une racine $n$-ième de l'unité dans $\mathbb{F}_q$. Il ne reste donc plus qu'à justifier qu'il y a $n \wedge (q-1)$ racines $n$-ième de l'unité dans $\mathbb{F}_q$. Si $\delta := n \wedge (q-1)$, on montre que les racines $n$-ièmes de l'unité dans $\mathbb{F}_q$ sont des racines $\delta$-ièmes de l'unité dans $\mathbb{F}_q$ grâce au théorème de Lagrange, et enfin, le polynôme $X^{\delta}-1$ est scindé à racines simples dans $\mathbb{F}_q$ étant donné qu'il divise $X^{q-1}-1$ qui est scindé à racines simples dans $\mathbb{F}_q$ : il y a donc exactement $\delta$ racines $\delta$-ièmes de l'unité dans $\mathbb{F}_q$, et donc il y a $\delta$ racines $n$-ièmes de l'unité dans $\mathbb{F}_q$.
3. Redémontrer que les éléments de $\mathrm{O}(q)$, pour $q$ une forme quadratique non-dégénérée sont produits d'au plus $n$ réflexions. Je réponds que dans le cas général c'est très dur (c'est un de mes développements). Elle me demande donc dans le cas euclidien. Je refais sans problèmes avec un dessin (qu'ils m'ont demandé de refaire parce qu'au début il était trop petit), puis la dame qui m'a posé la question me demande ce que ça donne en dimension $2$. Je fais un dessin avec une rotation et je dis que ladite rotation s'écrit comme produit de deux réflexions. La dame me demande alors en dimension $3$. Je suis un peu perdu, et elle me demande "c'est quoi les éléments de $\mathrm{O}_3(\mathbb{R})$ ?" Je commence donc à lister : les rotations, les anti-rotations,... et enfin elle me demande "du coup elles s'écrivent comme produit de combien de réflexions ?" du coup je dis "euh au plus 3 du coup" et elle a l'air satisfaite. J'ai pas trop compris du coup. Elle me demande enfin si je connais les grandes lignes de la démonstration dans le cas général. Je dis qu'il faut distinguer les cas selon s'il y a des vecteurs fixes isotropes ou non. Globalement j'écris les étapes de mon développement et elle a l'air satisfaite.

III- Exercice
On considère $(E, \Vert \cdot \Vert)$ un $\mathbb{R}$-evn de dimension finie et on suppose que le groupe $\mathrm{O}(E) := \left\{u \in \mathrm{GL}(E) \text{ } \left \vert \text{ } \forall x \in E, \quad \Vert u(x) \Vert = \Vert x \Vert \right. \right\}$ agit transitivement sur la sphère unité. Montrer que la norme $\Vert \cdot \Vert$ est euclidienne. V'là l'exo ! Je suis complètement perdu au début et j'essaie de montrer que la norme vérifie l'identité du parallélogramme et je n'y arrive pas. Ensuite le monsieur du jury me demande ce que je sais sur le groupe $\mathrm{O}(E)$. Je réponds qu'il est compact. Le monsieur me demande pourquoi et je réponds qu'il est fermé et borné. Et ensuite le monsieur du jury me dit "donc il possède un produit scalaire invariant." J'étais pas prêt du tout à utiliser ce résultat ! On a donc à disposition une norme euclidienne $\Vert \cdot \Vert_e$ sur $E$ tel que les éléments de $\mathrm{O}(E)$ stabilisent cette norme. Je dis donc ensuite qu'il suffit de montrer que $\Vert \cdot \Vert$ et $\Vert \cdot \Vert_e$ sont égales. Le monsieur du jury me fait raffiner en disant qu'il suffit de montrer qu'elles sont égales sur la sphère unité pour $\Vert \cdot \Vert$ puis, par transitivité de l'action de $\mathrm{O}(E)$ sur la sphère, il suffit de montrer qu'elles sont égales en un seul vecteur. Puis il me demande s'il n'y a qu'un seul produit scalaire invariant. Là j'étais trop perturbé, du coup j'ai dit "euh oui ? Je sais pas." Le monsieur du jury me dit donc qu'on peut multiplier le produit scalaire invariant par un scalaire strictement positif, et ça restera un produit scalaire invariant. On s'est arrêté là mais du coup en y réfléchissant, si on prend $x$ tel que $\Vert x \Vert = 1$, on a juste à renormaliser la norme euclidienne invariante par $\Vert x \Vert_e$ pour avoir $\Vert x \Vert_e = 1$ et donc on en conclut que $\Vert \cdot \Vert = \Vert \cdot \Vert_e$ : c'est une norme euclidienne.

Les membres du jury étaient très gentils et mettaient à l'aise : ils me laissaient boire quand je le voulais, ils me laissaient prendre des pauses si j'étais stressé etc.

Oui, tout à fait. Vous pouvez regarder mon retour d'analyse (celui où j'ai choisi la 244 par rapport à la 243) pour plus de détails. Un truc qui m'a étonné par contre c'est qu'ils me demandaient beaucoup de détailler. Je pensais au début qu'il suffisait de donner les idées pour que ça passe, mais des fois j'ai dû détailler à fond (je crois que c'était sur les questions auxquelles j'étais pas sûr au premier abord)

19.75

106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

121 : Nombres premiers. Applications.

Le groupe SO3(R) est simple

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

(Il y a des problèmes d'affichage dans les retours d'oraux, mon 2e développement était la décomposition polaire avec une application aux sous-groupes compacts maximaux de $GL_n(\mathbb{R})$)

- Dans mon développement (présenté en 13mn20), il y avait un argument pas convaincant. Lorsque j'ai expliqué avec un dessin comment écrire un élément de $SO_3$ comme produit de deux réflexions, j'ai fixé un point pour illustrer mon propos, et les réflexions que j'ai construites semblaient dépendre du point... (en fait, ce point servait à construire deux réflexions qui convenaient ensuite pour tous les points, mais je l'ai mal expliqué)... Ça m'a beaucoup déstabilisé. Avec de l'aide, j'ai réussi à rendre l'argument rigoureux, mais j'ai un peu ramé car il y avait plusieurs façons de s'en sortir, le jury m'en suggérait une par ses indications, et je voulais me diriger vers une autre... bref.

- Un petit détail à corriger dans le développement : l'un des éléments considérés devait être distinct de l'identité, ce que j'avais oublié de préciser.

- J'ai admis un lemme de connexité par arcs pour mon développement, on m'a demandé pourquoi (parce que ça rendait le développement trop long et que ce n'était pas dans le thème de la leçon) et si c'était difficile à démontrer, j'ai dit non, on m'a répondu OK.

- Pourquoi considérer les composantes connexes par arcs et pas juste connexes ? ... parce que ça marche.

- Quel est le centre de $GL(E)$ (c'était dans le plan) ? Une matrice du centre commute avec les transvections, donc avec les matrices élémentaires, donc elle est scalaire. La réciproque est facile.

- Dans la classification des isométries, l'unicité des angles est à quoi près ? Au départ, j'ai dit "à permutation près", SAUF QUE, il faut faire attention à l'orientation des axes (pour des axes non orientés, l'angle est défini dans $[0,2\pi[$, non multiple entier de $\pi$, ET au signe près).

- Que se passe-t-il avec la décomposition polaire dans $\mathscr{M}_n(\mathbb{R})$ ? J'ai répondu qu'il y avait toujours existence dans $O_n(\mathbb{R}) \times \mathscr{S}_n^+(\mathbb{R})$ mais pas unicité (la matrice nulle est symétrique positive... ). On m'a demandé la preuve mais j'ai eu un trou (cf. Rombaldi).

- Montrer que $GL_n(\mathbb{C})$ est connexe par arcs. J'ai utilisé le pivot de Gauss pour écrire un matrice $M$ inversible comme produit de transvections et de $diag(1,...,1,\det M)$, et j'ai joint continûment chaque matrice à l'identité (bon, j'ai fait comme si $\mathbb{C}^*$ était convexe, erreur d'étourderie, mais j'ai bien dit "connexe par arcs", et je n'ai pas eu de remarque).

- Comment montre-t-on que $PGL_2(\mathbb{F}_3)$ est isomorphe à $\mathfrak{S}_4$ ? J'ai bien répondu (cf. Perrin pour la preuve).

- Quels sont les automorphismes de $SO_3$ ? Je n'en sais trop rien, mon brave monsieur (c'est écrit quelque part dans le Perrin).

- Déterminer les morphismes de groupe de $SL_n(\mathbb{K})$ vers $\mathbb{K}^*$. Il n'y a que le morphisme trivial (regarder l'image d'un commutateur).

- Déterminer les morphismes de groupes de $GL_n(\mathbb{C})$ vers $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$. Pas le temps de faire grand-chose : l'oral s'est arrêté là.

Le jury, composé de trois personnes, était bienveillant et n'hésitait pas à m'aider lorsque je séchais.

Ne vous fiez pas à votre impression ! J'ai eu du mal à digérer le fait que le jury insiste bien sur les points que je maîtrisais le moins, cela m'a déstabilisé, mais j'ai quand même obtenu une très bonne note.

17

106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

121 : Nombres premiers. Applications.

Décomposition polaire

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

Je pense avoir fait un plan riche que je ma^trisais bien, et les questions ont
principalement tourne autour, ce qui fait que je m'en suis bien sorti. La seule
question qui ne ressemblait a rien de ce que j'avais deja vu je n'ai pas reussi a
y repondre!
Dans mon plan je parle de generateurs de Gl(E), O(E)...etc avec des appli-
cations a la structure de ces groupes, je reduis les matrices orthogonales et
unitaires et les deux parties que je prefere et sur lesquelles j'aimerais ^etre inter-
roge sont le denombrement sur les corps nis gr^ace a des actions de Gln(Fq) et
les representations de groupe.
Je propose en developpements la surjectivite de l'exponentielle matricielle com-
plexe via Dunford que je montre dans le dev, et la decomposition polaire dans
Gln(R)+ application a unitairement semblables implique orthogonalement sem-
blables (pour deux matrices reelles)+ application a la reduction des matrices
orthogonales en partant de celle des unitaires.
Ils choisissent le deuxieme dev, je le fais dans le temps imparti, rien de special
a dire (la montre electrique au poignet pour se chronometrer aide bien).
Les questions:
Jury: dans votre dev vous utilisez l'existence et l'unicite d'une racine symetrique
denie positive, comment montreriez-vous ce resultat?
Moi: pour l'existence on fait comme ca (je commence a detailler l'unicite au
tableau).
Jury: ok, nissez d'expliquer a l'oral (je le fais).En quoi votre dev est pertinent
par rapport a la lecon?
Moi: deja on montre et on utilise la decomposition polaire qui nous dit que
quand on restreint l'action par translation a gauche de Gln(R) sur lui-m^eme a
On(R), chaque orbite contient une unique matrice denie positive.Et aussi...
Jury:ok c'est ce que je voulais entendre.Soient a et b des reels tels que a2+b2 6= 0
et A =
a

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

19

106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie $E$, sous-groupe de $GL(E)$. Applications.

142 : Algèbre des polynômes à plusieurs indéterminées. Applications.

Décomposition polaire

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

Une question sur le développement : pourquoi on a $\mu_i ^2 = \mu_i ' ^2 \iff \mu_i = \mu_i '$ (j'avais donné l'argument à l'oral) ? Pourquoi ces valeurs propres sont-elles bien positives ?

On considère la décomposition $\nu : O_n(\mathbb{R}) \times T_n^+(\mathbb{R}) \to GL_n(\mathbb{R})$ avec $T_n^+(\mathbb{R})$ ensemble des matrices triangulaires supérieures à coefficients diagonaux strictement positifs. A quel résultat est-elle liée ? Orthonormalisation de Gram-Schmidt. Quelle est l'expression de $\mu^{-1} \circ \nu$ ? S'écrit facilement.

Ensuite, plusieurs questions sur le plan, je ne me souviens pas de toutes, mais en tout cas : démonstration des isomorphismes exceptionnels (cf. Perrin), démonstration de la connexité de $GL_n(\mathbb{C})$, cas de $\mathbb{R}$.

Plutôt sympa. Un des membres du jury n'a pas dit un mot.
Un autre me demandait tout le temps de réexpliquer un argument alors que ça n'avait pas l'air de poser problème aux autres.

Pas de réponse fournie.

17

106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie $E$, sous-groupes de $GL(E)$. Applications.

229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

Théorème du point fixe de Kakutani et sous-groupes compacts de GLn(R)

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

A la suite du développement sur Kakutani : que peut on dire des sous groupes finis de GL2 ? Indication : on pourra utiliser le développement que vous venez de prouver... On se ramène aux sous groupes finis de O2. Puis comme sous-question : que peut on dire des sous groupes de SO2 ? On montre finalement qu'ils sont cycliques et puis rapidement pour le cas de O2 on dit que ça fait le diédral.

Etant donné deux matrices J=(1 1, 0 1), K = (1 1, -1 0), montrer qu'elles engendrent SL2(Z). Sous-question : est ce que les transvections engendrent SL2(Z) ? On adapte le pivot de Gauss pour montrer que oui, et en calculant J^n et JK on obtient toutes les transvections.

Des questions de topologie : pourquoi est ce que l'application inverse est un homéo ? Réponse avec la formule de la comatrice. Est ce un difféomorphisme ? Je pars dans les calculs de la différentielle en A pendant que le jury essaye de me faire remarquer que comme tout est polynomial, ça marche tout seul, et que pour montrer que la différentielle est bijective, il suffit de remarquer que l'application inverse est une involution.

Montrer que les matrices diagonalisables sont denses dans M_n(C). Pas trop eu le temps de finir la question, j'ai expliqué avec les mains qu'il faut perturber la matrice pour que le poly caract soit scindé à racines simples.

Une dernière question "pédagogique" : si vous enseignez cette partie à une classe, quels seraient les points délicats sur lesquels il faudrait insister ? Réponse : le lien avec la géométrie pour les petites dimensions, avec acquiescement du jury (notamment parce que j'ai pas mal galéré pour les sous groupes de SO2...)

Les questions étaient de niveau moyen, mais le jury n'était pas très attentif et blaguait beaucoup entre eux... Mais jury plutôt sympathique et enclin à aider.

Pas de questions sur le plan, et le jury qui semblait pas trop concentré pendant les questions.

16