Développement : SO₃(R) et les quaternions

Détails/Enoncé :

Soit $H$ le corps non commutatif des quaternions. Soit $G$ le groupe des quaternions de module $1$ : $G = \{ a + bi +cj + dk \in H : a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \}$.

On montre qu'il existe un isomorphisme entre $G / \{ 1 , -1 \}$ et $SO_3(\mathbb{R})$.

Recasages pour l'année 2026 :

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    L'auteur du document donne comme reference :H2G2 D. Perrin, Cours d'algebre A. Jeanneret, D. Lines, Invitation a l'algebre
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    Bizarrement je n'ai aucun atome crochu ni avec les quaternions, ni avec les groupes hermitiens, mais c'était l'occasion de s'y accoutumer (ça sent un peu le thème d'écrit). Le nombre de recasages est infini et l'isomorphisme est vraiment utile, de la topologie (groupe fondamental de $SO(3))$ à l'informatique (représentation des rotations). Le travail de fond est quasi nul : faire un grand exo sur les quaternions et réviser la leçon sur les matrices unitaires, i. e. un bon petit dév sans surprise.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Cours d'algèbre , Perrin (utilisée dans 537 versions au total)
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni (utilisée dans 123 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 195 versions au total)
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométrie, tome 2, Philippe Caldero et Jérôme Germoni (utilisée dans 42 versions au total)