(2022 : 106 - Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.)
Cette leçon ne doit pas se résumer à un catalogue de résultats épars sur $GL(E)$. Il est important de
savoir faire correspondre les sous-groupes du groupe linéaire avec les stabilisateurs de certaines actions
naturelles (sur des formes quadratiques, sur des drapeaux, sur une décomposition en somme directe,
etc.). On doit présenter des systèmes de générateurs de $GL(E)$ et étudier la topologie de ce groupe en
précisant pourquoi le choix du corps de base est important. Les liens avec le pivot de Gauss sont à
détailler. Il faut aussi savoir réaliser $\mathfrak{S}_n$ dans $GL(n,K)$ et faire le lien entre signature et déterminant.
S'ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en remarquant que la théorie des représentations
permet d'illustrer l'importance de $GL(n,C)$ et de son sous-groupe unitaire. Ils peuvent également
étudier les sous-groupes compacts maximaux et les sous-groupes fermés de $GL(n)$.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Je pense avoir fait un plan riche que je ma^trisais bien, et les questions ont
principalement tourne autour, ce qui fait que je m'en suis bien sorti. La seule
question qui ne ressemblait a rien de ce que j'avais deja vu je n'ai pas reussi a
y repondre!
Dans mon plan je parle de generateurs de Gl(E), O(E)...etc avec des appli-
cations a la structure de ces groupes, je reduis les matrices orthogonales et
unitaires et les deux parties que je prefere et sur lesquelles j'aimerais ^etre inter-
roge sont le denombrement sur les corps nis gr^ace a des actions de Gln(Fq) et
les representations de groupe.
Je propose en developpements la surjectivite de l'exponentielle matricielle com-
plexe via Dunford que je montre dans le dev, et la decomposition polaire dans
Gln(R)+ application a unitairement semblables implique orthogonalement sem-
blables (pour deux matrices reelles)+ application a la reduction des matrices
orthogonales en partant de celle des unitaires.
Ils choisissent le deuxieme dev, je le fais dans le temps imparti, rien de special
a dire (la montre electrique au poignet pour se chronometrer aide bien).
Les questions:
Jury: dans votre dev vous utilisez l'existence et l'unicite d'une racine symetrique
denie positive, comment montreriez-vous ce resultat?
Moi: pour l'existence on fait comme ca (je commence a detailler l'unicite au
tableau).
Jury: ok, nissez d'expliquer a l'oral (je le fais).En quoi votre dev est pertinent
par rapport a la lecon?
Moi: deja on montre et on utilise la decomposition polaire qui nous dit que
quand on restreint l'action par translation a gauche de Gln(R) sur lui-m^eme a
On(R), chaque orbite contient une unique matrice denie positive.Et aussi...
Jury:ok c'est ce que je voulais entendre.Soient a et b des reels tels que a2+b2 6= 0
et A =
a
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
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142 : Algèbre des polynômes à plusieurs indéterminées. Applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Une question sur le développement : pourquoi on a $\mu_i ^2 = \mu_i ' ^2 \iff \mu_i = \mu_i '$ (j'avais donné l'argument à l'oral) ? Pourquoi ces valeurs propres sont-elles bien positives ?
On considère la décomposition $\nu : O_n(\mathbb{R}) \times T_n^+(\mathbb{R}) \to GL_n(\mathbb{R})$ avec $T_n^+(\mathbb{R})$ ensemble des matrices triangulaires supérieures à coefficients diagonaux strictement positifs. A quel résultat est-elle liée ? Orthonormalisation de Gram-Schmidt. Quelle est l'expression de $\mu^{-1} \circ \nu$ ? S'écrit facilement.
Ensuite, plusieurs questions sur le plan, je ne me souviens pas de toutes, mais en tout cas : démonstration des isomorphismes exceptionnels (cf. Perrin), démonstration de la connexité de $GL_n(\mathbb{C})$, cas de $\mathbb{R}$.
Plutôt sympa. Un des membres du jury n'a pas dit un mot.
Un autre me demandait tout le temps de réexpliquer un argument alors que ça n'avait pas l'air de poser problème aux autres.
Pas de réponse fournie.
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229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
Théorème du point fixe de Kakutani et sous-groupes compacts de GLn(R)
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
A la suite du développement sur Kakutani : que peut on dire des sous groupes finis de GL2 ? Indication : on pourra utiliser le développement que vous venez de prouver... On se ramène aux sous groupes finis de O2. Puis comme sous-question : que peut on dire des sous groupes de SO2 ? On montre finalement qu'ils sont cycliques et puis rapidement pour le cas de O2 on dit que ça fait le diédral.
Etant donné deux matrices J=(1 1, 0 1), K = (1 1, -1 0), montrer qu'elles engendrent SL2(Z). Sous-question : est ce que les transvections engendrent SL2(Z) ? On adapte le pivot de Gauss pour montrer que oui, et en calculant J^n et JK on obtient toutes les transvections.
Des questions de topologie : pourquoi est ce que l'application inverse est un homéo ? Réponse avec la formule de la comatrice. Est ce un difféomorphisme ? Je pars dans les calculs de la différentielle en A pendant que le jury essaye de me faire remarquer que comme tout est polynomial, ça marche tout seul, et que pour montrer que la différentielle est bijective, il suffit de remarquer que l'application inverse est une involution.
Montrer que les matrices diagonalisables sont denses dans M_n(C). Pas trop eu le temps de finir la question, j'ai expliqué avec les mains qu'il faut perturber la matrice pour que le poly caract soit scindé à racines simples.
Une dernière question "pédagogique" : si vous enseignez cette partie à une classe, quels seraient les points délicats sur lesquels il faudrait insister ? Réponse : le lien avec la géométrie pour les petites dimensions, avec acquiescement du jury (notamment parce que j'ai pas mal galéré pour les sous groupes de SO2...)
Les questions étaient de niveau moyen, mais le jury n'était pas très attentif et blaguait beaucoup entre eux... Mais jury plutôt sympathique et enclin à aider.
Pas de questions sur le plan, et le jury qui semblait pas trop concentré pendant les questions.
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