(2014 : 106 - Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie $E$, sous-groupes de $GL(E)$. Applications.)
Cette leçon est souvent présentée comme un catalogue de résultats épars et zoologiques sur $GL(E)$. Il faudrait que les candidats sachent faire correspondre sous-groupes et noyaux ou stabilisateurs de certaines actions naturelles (sur des formes quadratiques, symplectiques, sur des drapeaux, sur une décomposition en somme directe, etc.). À quoi peuvent servir des générateurs du groupe $GL(E)$ ? Qu'apporte la topologie dans cette leçon ? Il est préférable de se poser ces questions avant de les découvrir le jour de l'oral.
Certains candidats affirment que $GL_n(K)$ est dense (respectivement ouvert) dans $M_n(K)$ . Il est judicieux de préciser les hypothèses nécessaires sur le corps K ainsi que la topologie sur $M_n(K)$.
Il faut aussi savoir réaliser $S_n$ dans $GL(n,R)$ et faire le lien entre signature et déterminant.