Développement : Décomposition polaire

Détails/Enoncé :

Toute matrice inversible $M \in GL_n(\mathbb{R})$ se décompose de manière unique en $M=OS$ où $O \in O_n(\mathbb{R})$ et $S \in S_n^{++}(\mathbb{R})$.

En d'autres termes, l'application suivante est un homéomorphisme

$$ \begin{array}{ccc}
O_n(\mathbb{R}) \times S_n^{++}(\mathbb{R}) & \to & GL_n(\mathbb{R}) \\
(O,S) & \longmapsto & OS
\end{array}$$

Recasages pour l'année 2024 :

Autres années :

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    Lien de la vidéo Youtube que j'ai faite sur ce développement :
    https://www.youtube.com/watch?v=0ME81RkiOhg
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  • Remarque :
    D'après moi pour les leçons : 106, 150, 155, 158, 160.

    Attention il me semble que dans le NH2G2, il n'est pas mentionné à la fin qu'une suite dans un compact qui admet une unique valeur d'adhérence est convergente et que la démo s'arrête donc un tout petit peu trop tôt...

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
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    Développement très classique, relativement court et pas trop dur.
    On utilise le théorème spectral, le théorème de diagonalisation simultanée, les polynomes d'interpolation de Lagrange, la caractérisation séquencielle de la continuité, la compacité de On(R), et le fait qu'une suite dans un compact qui admet une seule valeur d'adhérence est convergente.
    NB1 : Il faut se convaincre soi-même de la pertinence d'un recasage et être capable de défendre son choix le jour J devant le jury. Vous pouvez, évidemment, ne pas être d'accord avec moi.
    NB2 : Il peut y avoir des fautes dans ce que j'écris, faites attention.
    NB3 : Le jury a choisi ce développement le jour de mon oral, on m'a, entre autres, posé les questions 1,2,3.
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    Également disponible dans le Isenmann-Pecatte.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
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    Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !

    Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !

    (Bon courage !)
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni (utilisée dans 118 versions au total)
Matrices , Serre (utilisée dans 10 versions au total)
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni (utilisée dans 52 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 133 versions au total)
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 2, Caldero, Germoni (utilisée dans 19 versions au total)
Groupes de Lie classiques, Mneimné, Testard (utilisée dans 25 versions au total)
Oraux X-ENS Algèbre 3 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 72 versions au total)