Leçon 148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.

Dernier rapport du Jury :

(2023 : 148 - Exemples de décompositions de matrices. Applications.) [Rapport du jury 2022 et non 2023] Dans cette leçon, le candidat choisit quelques exemples de décompositions de matrices qu'il présente avec quelques applications significatives. Citons les plus classiques : décomposition LU, décomposition de Dunford, décomposition de Frobenius, décomposition de Jordan, décomposition QR, décomposition polaire, décomposition de Cholesky... Il ne s'agit pas d'établir un catalogue complet, mais plutôt de faire un choix avec des méthodes et des domaines d'applications variées. Les aspects de constructions effectives ou approches algorithmiques doivent être abordés. Les relations entre les différentes décompositions proposées, s'il y en a, doivent être connues.

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Développements :

Plans/remarques :

2023 : Leçon 148 - Exemples de décompositions de matrices. Applications.

Plan de raph.ou67

Auteur :
raph.ou67
Remarque :
Références en fin de plan avec les notations, essentiellement le Rombaldi à part pour mes développements (Dunford et décompo. polaire).

La partie algorithmique mériterait d'être plus poussée (QR, Iwasawa entre autres) mais mon quotient intellectuel ne me le permettrait pas le jour J.

On peut remplacer le Isenmann par le Gourdon.
Références :
Fichier :
- 148 Exemples de décompositions de matrices. .pdf

Plan de Laeti

Auteur :
Laeti
Remarque :
Les références sont à la fin du plan.
On peut prendre le Rombaldi à la place de Carnet de voyage. C'est juste que je préfère la preuve de la décomposition LU dans Carnet de voyage :)

On peut aussi développer un peu plus la sous-partie sur la factorisation QR et peut-être mettre une partie sur l'aspect algorithmique de la décomposition de Dunford.

Développements choisis :
1) Décomposition de Dunford + Application à l'exponentielle de matrice
2) Décomposition LU + Cholesky

Plan :
I. Réduction de matrices
1) Eléments propres
2) Diagonalisation
3) Trigonalisation
4) Décomposition de Jordan

II. Approche linéaire
1) Prérequis
2) Décomposition de Dunford
3) Théorème spectral et décomposition polaire

III. Point de vue algorithmique
1) Méthode du pivot de Gauss
2) Factorisation LU et décomposition de Cholesky
3) Factorisation QR
Références :
Fichier :
- 148_Exemples_de_decomposition_de_matrices.pdf

Plan de Crépusculaire

Auteur :
Crépusculaire
Remarque :
Développements choisis : Décomposition polaire et Décompositions LU + Cholesky.
Il faut peut-être ajouter les algorithmes en annexe.
Références :
Fichier :
- 148.pdf

Retours d'oraux :

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