Factorisation LU par le Pivot de Gauss

Leçons 162, 233.

Décomposition en valeurs singulières (SVD)

Je ne sais pas qui a mis ce développement sur agreg-maths mais en tous cas je suis triste qu'il n'ait ni références ni pdf, alors j'ai cherché et trouvé des références, et rédigé un pdf. Ce résultat est très joli (et pas forcément très dur ! C'est juste un théorème spectral appliqué à $A^*A$ !) et conviendra très bien aux habitué.e.s d'algèbre linéaire numérique. J'ai également rajouté le théorème d'Eckart-Young, qui dit la chose suivante : si $A \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{K})$ a pour SVD $U\Sigma V^*$, alors en notant, pour $k \in[\![1,\mathrm{rg}(A)]\!]$, $A_k := U\Sigma_k V^*$, où $\Sigma_k$ correspond à la matrice $\Sigma$, où on a remplacé les valeurs singulières $\sigma_{k+1},\ldots,\sigma_{\mathrm{rg(A)}}$ par $0$, alors $A_k$ vérifie :
\[
\vert\!\vert\!\vert A - A_k \vert\!\vert\!\vert_2 = \min_{\substack{B \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{K}) \\ \mathrm{rg}(B) = k}}\vert\!\vert\!\vert A - B \vert\!\vert\!\vert_2,
\]
où $\vert\!\vert\!\vert \cdot \vert\!\vert\!\vert_2$ désigne la norme subordonnée aux normes euclidiennes au départ et à l'arrivée.
Ce résultat est (était ?) très utilisé pour la compression de données ! Garder les plus grandes valeurs principales revient à garder les "directions de plus grandes tendances" dans la matrice : on enlève de l'information que l'on peut juger superflue.

Analyse numérique matricielle. Résolution approchée de systèmes linéaires, recherche d’éléments propres, exemples.

Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

Exemples de décompositions de matrices. Applications.

Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.

Les références sont à la fin du plan

Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

Systèmes d’équations linéaires; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.