Développement : Décomposition en valeurs singulières (SVD)

Détails/Enoncé :

Pour A une matrice m*n, on la décompose sous la forme A = UΣV*, avec :
U une matrice carrée m*m unitaire ; V une matrice carrée n*n unitaire ; Σ une matrice m*n rectangulairement diagonale (Σ_i,j = 0 si i différent de j).

Dans ce cas, la matrice pseudo-inverse de A, notée A+, est définie comme :
A+ = V(Σ+)U* , où Σ+ est la matrice Σ avec tous les coefficients non nuls remplacés par leurs inverses.

Application : Résolution de Ax = b lorsque le nombre de variables de x est inférieure à la quantité de contraintes, c'est à dire m < n.
Minimisation de ||Ax - b||_2.

Développement très difficile qu'il faut ABSOLUMENT tronquer pour faire passer en quinze minutes. Aucune référence sous la main pour l'instant

Recasages pour l'année 2024 :

Autres années :

Versions :

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Références utilisées dans les versions de ce développement :