Leçon 158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

(2022) 158

Dernier rapport du Jury :

(2019 : 158 - Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.) Le théorème spectral est indispensable dans cette leçon sans toutefois constituer un développement consistant. Une place importante mérite d’être faite au cas particulier des matrices symétriques positives et définies positives ; les candidats doivent connaître leurs propriétés fondamentales, leur rôle, et la structure de leur ensemble. La notion de signature pourra être présentée en montrant comment elle détermine la classe de congruence d’une matrice symétrique réelle. L’action du groupe linéaire et du groupe orthogonal sur l’espace des matrices symétriques peut donner un cadre naturel à cette leçon. Le lien avec les formes quadratiques et les formes hermitiennes est incontournable. L’orthogonalisation simultanée est un résultat important de cette leçon. Il faut en connaître les applications géométriques aux quadriques. $\\$ Les candidats familiers avec ces notions pourront illustrer la leçon en évoquant le cas des matrices de covariance de vecteurs aléatoires et discuter les conditions en assurant le caractère inversible. $\\$ Une discussion de la décomposition de Cholesky, qui a de nombreuses applications pour le calcul scientifique (en lien avec la résolution de systèmes linéaires ou de problèmes de moindres carrés) ou en probabilités (construction d’un vecteur gaussien de matrice de covariance donnée à partir d’un vecteur gaussien de matrice de covariance identité), peut mériter sa place dans cette leçon. On pourra également évoquer la décomposition en valeurs singulières d’une matrice (particulièrement importante pour le traitement massif de données).

(2017 : 158 - Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.) Le théorème spectral est indispensable dans cette leçon sans toutefois constituer un développement consistant. La notion de signature doit être présentée ainsi que son unicité dans la classe de congruence d’une matrice symétrique réelle. L’action du groupe linéaire et du groupe orthogonal sur l’espace des matrices symétriques peut donner un cadre naturel à cette leçon. Le lien avec les formes quadratiques et les formes hermitiennes est incontournable. La partie réelle et la partie imaginaire d’un produit hermitien définissent des structures sur l’espace vectoriel réel sous-jacent. L’orthogonalisation simultanée est un résultat important de cette leçon. Il faut en connaître les applications géométriques aux quadriques. Les candidats familiers avec ces notions pourront illustrer la leçon en évoquant le cas des matrices de covariance de vecteurs aléatoires et discuter les conditions en assurant le caractère inversible. Une discussion de la décomposition de Cholesky, qui a de nombreuses applications pour le calcul scientifique (en lien avec la résolution de systèmes linéaires ou de problèmes de moindres carrés) ou en probabilités (construction d’un vecteur gaussien de matrice de covariance donnée à partir d’un vecteur gaussien de matrice de covariance identité), peut mériter sa place dans cette leçon.
(2016 : 158 - Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.) Le théorème spectral est indispensable dans cette leçon sans toutefois être un développement consistant. La notion de signature doit être présentée ainsi que son unicité dans la classe de congruence d’une matrice symétrique réelle. L’action du groupe linéaire et du groupe orthogonal sur l’espace des matrices symétriques peut donner un cadre naturel à cette leçon. Le lien avec les formes quadratiques et les formes hermitiennes est incontournable. La partie réelle et la partie imaginaire d’un produit hermitien définissent des structures sur l’espace vectoriel réel sous-jacent. L’orthogonalisation simultanée est un résultat important de cette leçon. Il faut en connaître les applications géométriques aux quadriques.
(2015 : 158 - Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.) C'est une leçon transversale. La notion de signature doit bien sûr figurer dans la leçon et on ne doit surtout pas se cantonner au cas des matrices définies positives. L'action du groupe linéaire sur l'espace des matrices symétriques peut donner un cadre naturel à cette leçon. Curieusement, il est fréquent que le candidat énonce l'existence de la signature d'une matrice symétrique réelle sans en énoncer l'unicité dans sa classe de congruence. L'orthogonalisation simultanée est un résultat important de cette leçon. Il faut en connaître les applications géométriques aux quadriques. On doit faire le lien avec les formes quadratiques et les formes hermitiennes. La partie réelle et la partie imaginaire d'un produit hermitien définissent des structures sur l'espace vectoriel réel sous-jacent.
(2014 : 158 - Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.) C'est une leçon transversale. La notion de signature doit figurer dans la leçon et on ne doit surtout pas se cantonner au cas des matrices définies positives. Curieusement, il est fréquent que le candidat énonce l'existence de la signature d'une matrice symétrique réelle sans en énoncer l'unicité dans sa classe de congruence. On doit faire le lien avec les formes quadratiques et les formes hermitiennes. La partie réelle et la partie imaginaire d'un produit hermitien définissent des structures sur l'espace vectoriel réel sous-jacent.

Développements :

Plans/remarques :

2022 : Leçon 158 - Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.


2020 : Leçon 158 - Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Toutes les références sont à la fin du plan.

    Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...
  • Fichier :

2019 : Leçon 158 - Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.


2018 : Leçon 158 - Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.


2017 : Leçon 158 - Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.


2016 : Leçon 158 - Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.


2015 : Leçon 158 - Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.


Retours d'oraux :

2022 : Leçon 158 - Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

  • Leçon choisie :

    158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

  • Autre leçon :

    108 : Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Indicateur de Frobenius-Schur

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Au début, des questions sur le développement : quelques rectifications mineures (oubli de lettres, mauvais mot, etc), puis on me demande à quoi tout cela sert. Je leur parle du cas où on a des actions réelles, ça donne des identités ; je dis aussi que ça peut permettre de distinguer deux groupes (il me demande un exemple : le groupe diédral a une représentation irréductible réelle de degré 2, alors que celle des quaternions n’est pas réalisable sur les réels).
    Pour les questions :
    — Calculer le rang de $^tAA$ ; pourquoi $\ker(^t AA)= ker(A)$ ?
    — Donner une matrice symétrique complexe non diagonalisable (j’ai un peu eu du mal mais j’ai trouvé après des indications)
    — Combien d’orbites pour la congruence sur les matrices symétriques réelles ? (réponse : $n(n+1)/2 +n+ 1$)
    — Est-ce que $\mathcal S^{+}_{n}(\mathbf R)$ a une structure algébrique ? Et $\mathcal S^{++}_{n}(\mathbf R)$?
    — Montrer que $\text O_n(\mathbf R)$ est un sous-groupe compact maximal de $\text{GL}_n(\mathbf R)$ (celui-là j’ai un peu galéré ; cf Caldero-Germoni pour détails)— J’ai parlé de réduction simultanée de deux formes quadratiques, mais ils ne l’avaient pas vu dans mon plan : ils m’ont demandé ce que c’était.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Il était à l'écoute, et pouvait aider au besoin.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Je me suis moi-même surpris au temps sur le développement.

  • Note obtenue :

    18.25