(2023 : 158 - Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.)
Le théorème spectral est indispensable dans cette leçon. Une place importante mérite d'être faite au cas particulier des matrices symétriques positives et dénies positives ; les candidates et candidats doivent connaître leurs propriétés fondamentales, leur rôle, et la structure de leur ensemble. La notion de signature pourra être présentée en montrant comment elle détermine la classe de congruence d'une matrice symétrique réelle. L'action du groupe linéaire et du groupe orthogonal sur l'espace des matrices
symétriques peut donner un cadre naturel à cette leçon. Le lien avec les formes quadratiques et les formes hermitiennes est incontournable. L'orthogonalisation simultanée est un résultat important de cette leçon. Il faut en connaître les applications géométriques aux quadriques.
Les candidates et candidats maîtrisant ces notions pourront illustrer la leçon en évoquant le cas des matrices de covariance de vecteurs aléatoires et discuter les conditions en assurant le caractère inversible, la décomposition de Cholesky, qui a de nombreuses applications pour le calcul scientifique (en lien avec la résolution de systèmes linéaires ou de problèmes de moindres carrés) ou en probabilités (construction d'un vecteur gaussien de matrice de covariance donnée à partir d'un vecteur gaussien de
matrice de covariance identité), ou la décomposition en valeurs singulières d'une matrice (particulièrement importante pour le traitement massif de données).
108 : Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Au début, des questions sur le développement : quelques rectifications mineures (oubli de lettres, mauvais mot, etc), puis on me demande à quoi tout cela sert. Je leur parle du cas où on a des actions réelles, ça donne des identités ; je dis aussi que ça peut permettre de distinguer deux groupes (il me demande un exemple : le groupe diédral a une représentation irréductible réelle de degré 2, alors que celle des quaternions n’est pas réalisable sur les réels).
Pour les questions :
— Calculer le rang de $^tAA$ ; pourquoi $\ker(^t AA)= ker(A)$ ?
— Donner une matrice symétrique complexe non diagonalisable (j’ai un peu eu du mal mais j’ai trouvé après des indications)
— Combien d’orbites pour la congruence sur les matrices symétriques réelles ? (réponse : $n(n+1)/2 +n+ 1$)
— Est-ce que $\mathcal S^{+}_{n}(\mathbf R)$ a une structure algébrique ? Et $\mathcal S^{++}_{n}(\mathbf R)$?
— Montrer que $\text O_n(\mathbf R)$ est un sous-groupe compact maximal de $\text{GL}_n(\mathbf R)$ (celui-là j’ai un peu galéré ; cf Caldero-Germoni pour détails)— J’ai parlé de réduction simultanée de deux formes quadratiques, mais ils ne l’avaient pas vu dans mon plan : ils m’ont demandé ce que c’était.
Il était à l'écoute, et pouvait aider au besoin.
Je me suis moi-même surpris au temps sur le développement.
18.25