Développement : Critère de Sylvester et applications

Détails/Enoncé :

Théorème [Critère de Sylvester]
Si $A \in S_n(\mathbb{R})$, alors $A$ est sym. déf. positive ssi tous ses mineurs principaux dominants sont strictement positifs.
En d'autres termes si $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n} \in S_n(\mathbb{R})$, on note $A_k=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq k} \in S_k(\mathbb{R})$. Alors $A \in S_n^{++}(\mathbb{R})$ si et seulement si $\det(A_k) > 0$ pour tout $k \in \{ 1,...,n\}$.

Application à la signature
Si $A \in M_n(\mathbb{R})$ est symétrique définie de signature $(r,s)$, alors elle est congruente à $diag(I_r, -I_s)$.

Exemple d'application
La matrice de coefficients $\frac{1}{|i+j|-1}$ est symétrique définie positive.

Recasages pour l'année 2024 :

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    Développement assez original, pas trop dur mais assez long. On utilise le théorème d'inertie de Sylvester, le développement par colonne du déterminant et le fait que si f est une fonction continue, positive, d'intégrale nulle alors f est nulle. Je propose comme recasages supplémentaires la 170 et la 171, à condition de bien insister sur le lemme. NB1 : Il faut se convaincre soi-même de la pertinence d'un recasage et être capable de défendre son choix le jour J devant le jury. Vous pouvez, évidemment, ne pas être d'accord avec moi. NB2 : Il peut y avoir des fautes dans ce que j'écris, faites attention.
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