Leçon 171 * : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.

(2018) 171

Dernier rapport du Jury :

(2017 : 171 - Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.) Dans cette leçon, la loi d’inertie de Silvester doit être présentée ainsi que l’orthogonalisation simultanée. L’algorithme de Gauss doit être énoncé et pouvoir être expliqué sur une forme quadratique de $R^3$; le lien avec la signature doit être clairement énoncé et la signification géométrique des deux entiers r et s composant la signature d’une forme quadratique réelle doit être expliqué. La différentielle seconde d’une fonction de plusieurs variables est une forme quadratique importante qui mérite d’être présentée dans cette leçon. La définition des coniques affines non dégénérées doit être connue, et les propriétés classiques des coniques doivent être données. On pourra présenter les liens entre la classification des formes quadratiques et celles des coniques ; de même il est intéressant d’évoquer le lien entre le discriminant de l’équation et la signature de la forme quadratique $ax^2 + bxy + cy^2$. S’ils le désirent, les candidats peuvent aussi aller vers la théorie des représentations et présenter l’indicatrice de Schur-Frobenius qui permet de réaliser une représentation donnée sur le corps des réels.

(2016 : 171 - Formes quadratiques réelles. Exemples et applications.) Dans cette leçon, la loi d’inertie de Silvester doit être présentée ainsi que l’orthogonalisation simultanée. L’algorithme de Gauss doit être énoncé et pouvoir être expliqué sur une forme quadratique de $R^3$ le lien avec la signature doit être clairement énoncé et la signification géométrique des deux entiers $r$ et $s$ composant la signature d’une forme quadratique réelle doit être expliqué. La différentielle seconde d’une fonction de plusieurs variables est une forme quadratique importante qui mérite d’être présentée dans cette leçon. La définition des coniques affines non dégénérées doit être connue, et les propriétés classiques des coniques doivent être données. On pourra présenter les liens entre la classification des formes quadratiques et celles des coniques ; de même il est intéressant d’évoquer le lien entre le discriminant de l’équation $ax^2 + bx + c = 0$ la signature de la forme quadratique $ax^2 + bxy + cy^2 $ S’ils le désirent, les candidats peuvent aussi aller vers la théorie des représentation et présenter l’indicatrice de Schur-Frobenius qui permet de réaliser une représentation donnée sur le corps des réels.
(2015 : 171 - Formes quadratiques réelles. Exemples et applications.) La preuve de la loi d'inertie de Silvester doit être connue ainsi que l'orthogonalisation simultanée. Le candidat doit avoir compris la signification géométrique des deux entiers $r$ et $s$ composant la signature d'une forme quadratique réelle ainsi que leur caractère classifiant. La différentielle seconde d'une fonction de plusieurs variables est une forme quadratique importante. Pour les candidats de bon niveau, l'indicatrice de Schur-Frobenius, sur la possibilité de réaliser une représentation donnée sur le corps des réels, permet une belle incursion de la théorie des représentations dans cette leçon.
(2015 : 180 - Coniques. Applications.) La définition des coniques affines non dégénérées doit être connue. Les propriétés classiques des coniques doivent être présentées. Bien distinguer les notions affines, métriques ou projectives, la classification des coniques étant sensiblement différente selon le cas. Souvent le candidat annonce qu'il va "classifier les coniques" mais sans être capable de préciser la nature de cette classification. Plus généralement, il serait bien que les candidats aient réfléchi à ce que l'on entend par "classification" en mathématiques. On peut se situer sur un autre corps que celui des réels. Le lien entre classification des coniques et classification des formes quadratiques peut être établi à des fins utiles.
(2014 : 171 - Formes quadratiques réelles. Exemples et applications.) La preuve de la loi d'inertie de Silvester doit être connue ainsi que l'orthogonalisation simultanée. Le candidat doit avoir compris la signification géométrique de ces deux entiers composant la signature d'une forme quadratique réelle ainsi que leur caractère classifiant. La différentielle seconde d'une fonction de plusieurs variables est une forme quadratique importante. Pour les candidats de bon niveau, l'indicatrice de Schur-Frobenius, sur la possibilité de réaliser une représentation donnée sur le corps des réels, permet un belle incursion de la théorie des représentations dans cette leçon.
(2014 : 180 - Coniques. Applications.) La définition des coniques affines non dégénérées doit être connue. Les propriétés classiques des coniques doivent être présentées. Bien distinguer les notions affines, métriques ou projectives, la classification des coniques étant sensiblement différente selon le cas. On peut se situer sur un autre corps que celui des réels. Le lien entre classification des coniques et classification des formes quadratiques peut être établi à des fins utiles.

Plans/remarques :

2018 : Leçon 171 - Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.


2017 : Leçon 171 - Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.


2016 : Leçon 171 - Formes quadratiques réelles. Exemples et applications.


2015 : Leçon 171 - Formes quadratiques réelles. Exemples et applications.


2016 : Leçon 180 - Coniques. Applications.


2015 : Leçon 180 - Coniques. Applications.


Retours d'oraux :

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