Développement : Formes de Hankel

Détails/Enoncé :

On associe une forme quadratique réelle $\sigma$ de signature $(p,q)$ à un polynôme réel $P$ de manière à ce que $p+q$ soit le nombre de racines distinctes de $P$ et $p-q$ le nombre de racines réelles.

Vous n'êtes pas d'accord avec les recasages ci-dessous ? Connectez-vous pour proposer les vôtres !

Recasages pour l'année 2025 :

144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité. Applications.

Autres années :

Versions :

Version de Mafurude

Auteur :
Mafurude
Référence :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni

Version de Zakhysni

Auteur :
Zakhysni
Remarque :
Attention, ce développement est dangereux pour le passage parfois ambigu de R à C ! L'invariance du rang est ainsi un indispensable !
Référence :
- Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni
Fichier :
- Dev2.pdf

Version de abarrier

Auteur :
abarrier
Référence :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- abarrier_dev_formes_Hankel.pdf

Version de Malartre

Auteur :
Malartre
Remarque :
CouZaert est passée sur ce développement lors de son oral d'algèbre (leçon 144). Nous avons relu cette version ensemble.

La version du NH2G2 tome 1 est assez elliptique : quelques passages mériteraient d'être plus détaillés.

Selon moi : leçons 144 et 170 (2023). À la limite 171, mais je pense qu'il y a bien mieux à faire.

N'hésitez pas à m'écrire si vous repérez des coquilles.
Référence :
- Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni
Fichier :
- Malartre_formes_de_Hankel.pdf

Version de JULIEN L

Auteur :
JULIEN L
Fichier :
- Formes de Hankel.pdf

Version de Demesmay

Auteur :
Demesmay
Référence :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- Formes de Hankel.pdf

Version de Geoffrey D

Auteur :
Geoffrey D
Référence :
- Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
Fichier :
- Formes de Hankel.pdf

Version de Matoumatheux

Auteur :
Matoumatheux
Remarque :
Un résultat rigolo, qui correspond au passage au quotient par $(P)$ de la forme quadratique :
$$
\begin{array}{rcl}
\mathbb{C}[X] & \longrightarrow & \mathbb{C} \\
Q & \longmapsto & \displaystyle \sum_{i = 1}^{t}m_iQ(\alpha_i)^2
\end{array}
$$
où on a noté $\alpha_1,\ldots,\alpha_t$ les racines complexes distinctes de $P$ et $m_1,\ldots,m_t$ les multiplicités des racines de $P$.
Référence :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
Fichier :
- Formes de Hankel.pdf

Version de Hugo

Auteur :
Hugo
Remarque :
Attention au passage de $\mathbb{R}$ à $\mathbb{C}$.

Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
Fichier :
- formes-de-hankel.pdf

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni (utilisée dans 120 versions au total)
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni (utilisée dans 68 versions au total)
Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier (utilisée dans 114 versions au total)