Développement : Formes de Hankel

Détails/Enoncé :

On associe une forme quadratique réelle $\sigma$ de signature $(p,q)$ à un polynôme réel $P$ de manière à ce que $p+q$ soit le nombre de racines distinctes de $P$ et $p-q$ le nombre de racines réelles.

Recasages pour l'année 2025 :

Autres années :

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    Attention au passage de $\mathbb{R}$ à $\mathbb{C}$.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
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    - Définition de la forme $q$ associée à $P = \prod\limits_{k=1}^t(X-\alpha_k)^{m_k} \in \mathbb{R}[X]$ de degré $n$ par $q(R) = \sum\limits_{k=1}^t m_kR(\alpha_k)^2$ pour $R \in \mathbb{R}_{n-1}[X]$ ;
    - Lien entre la signature de $q$ et le nombre de racines (réelles et non réelles) distinctes de $P$ ;
    - Compléments : comment déterminer la signature de $q$ sans connaître les racines de $P$ en utilisant les sommes de Newton de $P$ / application au degré $2$ pour retrouver les résultats connus sur la résolution des équations quadratiques.

    Leçons concernées : 144, 170, 171
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni (utilisée dans 122 versions au total)
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni (utilisée dans 75 versions au total)
Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier (utilisée dans 143 versions au total)