Leçon 142 * : Algèbre des polynômes à plusieurs indéterminées. Applications.

(2016) 142

Dernier rapport du Jury :

(2017 : 142 - Algèbre des polynômes à plusieurs indéterminées. Applications.) Cette leçon, qui ne sera pas reconduite en 2018, ne devait pas se concentrer exclusivement sur les aspects formels ou uniquement sur les polynômes symétriques. Les aspects arithmétiques ont parfois pu être négligés. Le jury attendait que les candidats puissent montrer l’irréductibilité d’un polynôme à plusieurs indéterminées en travaillant sur un anneau de type $A[X]$ où $A$ est factoriel. Le théorème fondamental sur la structure de l’algèbre des polynômes symétriques est vrai sur $Z$. L’algorithme pouvait être judicieusement présenté sur un exemple. Les applications aux quadriques, aux relations racines/cœfficients ne devaient pas être délaissées : on pouvait faire par exemple agir le groupe $GL(n,R)$ sur les polynômes à n indéterminées de degré inférieur à 2. Les candidats pouvaient s’aventurer vers la géométrie algébrique et présenter le Nullstellensatz.

(2016 : 142 - Algèbre des polynômes à plusieurs indéterminées. Applications.) Cette leçon ne doit pas se concentrer exclusivement sur les aspects formels ou uniquement sur les polynômes symétriques. Les aspects arithmétiques ne doivent pas être négligés. Il faut savoir montrer l’irréductibilité d’un polynôme à plusieurs indéterminées en travaillant sur un anneau de type $A[X]$, où $A$ est factoriel. Le théorème fondamental sur la structure de l’algèbre des polynômes symétriques est vrai sur $Z$. L’algorithme peut être présenté sur un exemple. Les applications aux quadriques, aux relations racines/cœfficients ne doivent pas être délaissées : on peut faire par exemple agir le groupe $GL_n(R)$ sur les polynômes à n indéterminées de degré inférieur à 2. S’ils désirent aller plus loin, les candidats peuvent s’aventurer vers la géométrie algébrique et présenter le Nullstellensatz.
(2015 : 142 - Algèbre des polynômes à plusieurs indéterminées. Applications.) La leçon ne doit pas se concentrer exclusivement sur les aspects formels ou uniquement sur les polynômes symétriques. Les aspects arithmétiques ne doivent pas être négligés. Il faut savoir montrer l'irréductibilité d'un polynôme à plusieurs indéterminées en travaillant sur un anneau de type $A[X]$, où $A$ est factoriel. Le théorème fondamental sur la structure de l'algèbre des polynômes symétriques est vrai sur $\mathbb{Z}$. L'algorithme peut être présenté sur un exemple. Les applications aux quadriques, aux relations racines/coefficients ne doivent pas être délaissées : on peut faire par exemple agir le groupe $GL(n,\mathbb{R})$ sur les polynômes à n indéterminées de degré inférieur $2$.
(2014 : 142 - Algèbre des polynômes à plusieurs indéterminées. Applications.) La leçon ne doit pas se concentrer exclusivement sur les aspects formels ni sur les les polynômes symétriques. Les aspects arithmétiques ne doivent pas être négligés. Il faut savoir montrer l'irréductibilité d'un polynôme à plusieurs indéterminées en travaillant sur un anneau de type $A[X]$, où $A$ est factoriel. Le théorème fondamental sur la structure de l'algèbre des polynômes symétriques est vrai sur $Z$. L'algorithme peut être présenté sur un exemple. Les applications aux quadriques, aux relations racines coefficients ne doivent pas être négligées. On peut faire agir le groupe $GL(n, R)$ sur les polynômes à $n$ indéterminées de degré inférieur à 2.

Plans/remarques :

2017 : Leçon 142 - Algèbre des polynômes à plusieurs indéterminées. Applications.


2016 : Leçon 142 - Algèbre des polynômes à plusieurs indéterminées. Applications.


2015 : Leçon 142 - Algèbre des polynômes à plusieurs indéterminées. Applications.


Retours d'oraux :

2015 : Leçon 142 - Algèbre des polynômes à plusieurs indéterminées. Applications.

  • Leçon choisie :

    142 : Algèbre des polynômes à plusieurs indéterminées. Applications.

  • Autre leçon :

    152 : Déterminant. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Structure des polynômes symétriques

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Questions sur le développement, notamment l'importance du poids et de si la récurrence passe ou pas. Question facile, mais avoir les idées au clair, ce qui fut laborieusement le cas pour moi.

    Questions sur la factorialité de A[X1,… XN], j'ai parlé de l'euclidiennité, la factorialité, etc. et de voir si cela passe à l'anneau de polynômes.

    Donner un exemple de polynôme à plusieurs variables qui admet un infinité de racines sans être nul.

    Question : On se donne un polynôme de 3 variables sur R symétrique. Ses zéros forment une quadrique de révolution. ( petit bad )

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury n'est pas cassant, mais assez fatigué. Il avait l'air de pas vouloir être là … et ce dès mon arrivée dans la salle.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    L'oral s'est assez mal passé je pense, les questions sur le développement m'ont un peu trop arrêté du coup on n'a pas eu le temps de faire des trucs sympas.

    Et ils n'en avaient que faire des applications sympas que j'avais mise ( détermination des polynômes de matrices invariants par similitude, algorithme de Faadeev, etc. ), sans doute parce que je me fais piéger sur les petites questions ...

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    142 : Algèbre des polynômes à plusieurs indéterminées. Applications.

  • Autre leçon :

    183 : Utilisation des groupes en géométrie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Nullstellensatz via le résultant (théorème des zéros de Hilbert)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    $A[X_1,\ldots,X_n]$ est noethérien, certes. Mais peut-on borner le nombre de générateurs d'un idéal ?
    Début de réponse : si $A$ est un corps, l'espace des polynômes homogènes de degré $d$ est de dimension $\begin{pmatrix} n+d-1 \\ n-1 \end{pmatrix}$, qui devient arbitrairement grand quand $d$ croît.

    Est-il alors possible de retirer des générateurs à l'idéal engendré par les polynômes homogènes pour en borner le nombre ?
    Je ne sais pas et on passe à autre chose.

    Peut-on utiliser le résultant pour déterminer l'intérieur des matrices diagonalisables dans $\mathbb{C}$ ?
    Oui, en exprimant la non-annulation du discriminant du polynôme caractéristique, mais ça n'a rien à voir avec la leçon puisqu'il n'y a qu'une indéterminée.

    Que signifie la propriété universelle des anneaux de polynômes (exprimée en termes de morphisme dans mon plan) ?
    Ça veut dire que $X_1,\ldots,X_n$ engendrent $A[X_1,\ldots,X_n]$ en tant que $A$-algèbre.

    Comment démontrer le théorème de d'Alembert-Gauß en utilisant les relations coefficients-racines ?
    Lire Gourdon ou demander à Denis Serre (selon vos préférences).

    Est-ce que $A[X_1,\ldots,X_n]$ est principal ? Pourquoi ?
    Si $n\geqslant 2$, non. Si l'idéal $(X_1,X_2)$ était engendré par un élément, celui-ci serait une constante pour des raisons de degré. C'est impossible, encore pour des raisons de degré.

    Est-ce que les polynômes à plusieurs indéterminées peuvent servir à résoudre des équations polynomiales, disons de degré $3$ ? Et de degré plus grand ?
    Oui, il existe des expressions via les relations coefficients-racines. En degré $4$, ça marche encore, mais dès le degré $5$, ça foire.

    Finalement, qu'est-ce qui se cache derrière tout ça ?
    La question de la résolubilité du groupe symétrique, et la théorie de Galois.

    Comment enseigneriez-vous ceci à des élèves de niveau L3 ?
    Réponse censurée : en faisant des rappels sur les polynômes à une indéterminée et en insistant sur la différence qu'il y a entre le cas d'une et de plusieurs indéterminées.
    Réponse non censurée : en donnant les définitions et en démontrant les théorèmes, comme pour n'importe quel autre sujet.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury neutre, questions de niveau moyen à facile.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    16.25